中南大学土木工程测量课件 第7章误差与平差
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土木工程测量PPT课件
260m以这个大地水准面为高程基准建立的高程系称为1985国家高程基准ch1985简称85高程基准在水准原点85高程基准使用的大地水准面比56黄海系使用的大地水准面高出1985国家高程基准或沿用1956年黄海高程系统在远离国家水准点的新设城市或在改造旧有水准网因高程变动而影响使用时经上级行政主管部门批准后可暂时建立或用地方高程系统但应争取条件归算到1985国家高程基准上来
• 可以应用天文测量方法测定地面点的天文经度和天文纬度。例如广州地区 的概略天文地理坐标为东经113°18′，北纬23°07′。
• 2) 大地地理坐标系
• 大地地理坐标又称大地坐标，是表示地面点在参考椭球面上的位置，它的 基准是法线和参考椭球面，它用大地经度(geodetic longitude)和大地纬 度(geodetic latitude)表示。
第7页/共22页
• 位于各带中央的子午线称为该带的中央子午线(central meridian)。第一 个 6°带的中央子午线的经度为3°，任意带的中央子午线经度与投影带号 的关系为
– 投影时是设想用一个空心椭圆柱横套在参考椭球外面，使椭圆柱与某一中央子 午线相切，将椭球面上的图形按保角投影的原理投影到圆柱体面上，然后将圆 柱体沿着过南北极的母线切开，展开成为平面，并在该平面上定义平面直角坐 标系。
• P点天文经度：过P点的天文子午面NPKS与首子午面NGMS的两面角，从 首子午面向东或向西计算，取值范围是0°～180°，在首子午线以东为东经， 以西为西经。
• 过P点垂直于地球旋转轴的平面与地球表面的交线称为P点的纬线(woof)， 过球心O的纬线称为赤道(equator)。
• P点天文纬度：P的铅垂线与赤道平面的夹角，自赤道起向南或向北计算， 取值范围为 0°～90°，在赤道以北为北纬，以南为南纬。
• 可以应用天文测量方法测定地面点的天文经度和天文纬度。例如广州地区 的概略天文地理坐标为东经113°18′，北纬23°07′。
• 2) 大地地理坐标系
• 大地地理坐标又称大地坐标，是表示地面点在参考椭球面上的位置，它的 基准是法线和参考椭球面，它用大地经度(geodetic longitude)和大地纬 度(geodetic latitude)表示。
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• 位于各带中央的子午线称为该带的中央子午线(central meridian)。第一 个 6°带的中央子午线的经度为3°，任意带的中央子午线经度与投影带号 的关系为
– 投影时是设想用一个空心椭圆柱横套在参考椭球外面，使椭圆柱与某一中央子 午线相切，将椭球面上的图形按保角投影的原理投影到圆柱体面上，然后将圆 柱体沿着过南北极的母线切开，展开成为平面，并在该平面上定义平面直角坐 标系。
• P点天文经度：过P点的天文子午面NPKS与首子午面NGMS的两面角，从 首子午面向东或向西计算，取值范围是0°～180°，在首子午线以东为东经， 以西为西经。
• 过P点垂直于地球旋转轴的平面与地球表面的交线称为P点的纬线(woof)， 过球心O的纬线称为赤道(equator)。
• P点天文纬度：P的铅垂线与赤道平面的夹角，自赤道起向南或向北计算， 取值范围为 0°～90°，在赤道以北为北纬，以南为南纬。
中南大学土木工程测量小区域控制测量PPT学习教案
第10页/共102页
二等三角网
第11页/共102页
第12页/共102页
小区域的平面控制网
小区域的平面控制通常是指面 积在10km2以内区域控制测量， 尽量与国家控制网联测，联测 有困难时，可采用假定坐标系。
小区域的平面控制网的分级
测区中最高级的控制：首级控 制
测区中最第低13页/级共102的页 控制：图根控 制
第26页/共102页
测距(Measuring Distances)
钢尺或测距仪可用来测定导线 点间的距离。
如果测距仪被使用，在每一导 线点上的角度和距离可一并测 出。
当初始观测距离得到后，应对
第27页/共102页
其作相应的改正，以得到水平
§8－3 导线测量的内业计算
Traversing Computation
第39页/共102页
3、坐标增量的计算与
调整（续）
（4）坐标增量的调整
vxi
fx d
di
vyi
fy d
di
检核：
vx fx vy fy
第40页/共102页
4、导线点坐标的计算
从已知控制点开始，对未知
坐标的导线点逐一计算其坐
标x。2 x1 x12
x3 x2 x23
y2 y1 y12 y3 y2 y23
第28页/共102页
导线计算步骤
角度闭合差的计算与角度的改正 坐标方位角的计算 坐标增量的计算与坐标增量的改正 坐标的计算
第29页/共102页
一、闭合导线
A、B为已知点，1、2、3、4、5为新建导线点。 1
A
B
B
BB
(X,YBiblioteka )DB1 0D5B
二等三角网
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小区域的平面控制网
小区域的平面控制通常是指面 积在10km2以内区域控制测量， 尽量与国家控制网联测，联测 有困难时，可采用假定坐标系。
小区域的平面控制网的分级
测区中最高级的控制：首级控 制
测区中最第低13页/级共102的页 控制：图根控 制
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测距(Measuring Distances)
钢尺或测距仪可用来测定导线 点间的距离。
如果测距仪被使用，在每一导 线点上的角度和距离可一并测 出。
当初始观测距离得到后，应对
第27页/共102页
其作相应的改正，以得到水平
§8－3 导线测量的内业计算
Traversing Computation
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3、坐标增量的计算与
调整（续）
（4）坐标增量的调整
vxi
fx d
di
vyi
fy d
di
检核：
vx fx vy fy
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4、导线点坐标的计算
从已知控制点开始，对未知
坐标的导线点逐一计算其坐
标x。2 x1 x12
x3 x2 x23
y2 y1 y12 y3 y2 y23
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导线计算步骤
角度闭合差的计算与角度的改正 坐标方位角的计算 坐标增量的计算与坐标增量的改正 坐标的计算
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一、闭合导线
A、B为已知点，1、2、3、4、5为新建导线点。 1
A
B
B
BB
(X,YBiblioteka )DB1 0D5B
《土木工程测量》第7章误差与平差PPT课件
△1 = L1 – X △2 = L2 – X
‥‥ △n = Ln – X 取以上各式的和并除以观测次数 n得：
[] [L] nX x X nnn
lim x X
n
由此可见，当观测量n无限大时，算术平均值的极限是观测值的真值。
二、算术平均值的中误差
设等精度独立观测值 L1,L2‥‥Ln的中误差为 m，等精度独立观测量最 可靠值的计算式可写为如下形式：
三、误差传播定律的应用
(一)水准测量的精度
(1) 按测站数求高差中误差
h h1 h2 hn
m站
mh m站 n
当各测站观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方 根成正比。
(2) 按水准路线长求高差中误差
一般情况下，各测站所测的两转点间的距离l大致都相等
令 m站
l
mh m站 n m站
其对全长的影响为： D n l
设为m′为尺段的系统中误差
m
l
全长的系统中误差为： mD D
同时考虑偶然误差和系统误差: mD 2 D 2 D 2
（四）光电测距的精度 D c0 n K 2ng f 2
m
2 D
D
2
mc20 c02
mn2g
n
2 g
m
2 f
f2
m
2 xn
应用误差传播定律时应注意以下三点： 1．要正确列立函数式。 2．函数式中观测值必须是独立的。
3．函数式中同时角度观测值和长度观测值时，单位要统一。
【例7—2】测量得某正方形建筑场地周长 ，四条边的测量结果为a=32.60m， 边长测量中误差均为ma=±0.01m。求该场地的周长及其中误差。
三、偶然误差特性
‥‥ △n = Ln – X 取以上各式的和并除以观测次数 n得：
[] [L] nX x X nnn
lim x X
n
由此可见，当观测量n无限大时，算术平均值的极限是观测值的真值。
二、算术平均值的中误差
设等精度独立观测值 L1,L2‥‥Ln的中误差为 m，等精度独立观测量最 可靠值的计算式可写为如下形式：
三、误差传播定律的应用
(一)水准测量的精度
(1) 按测站数求高差中误差
h h1 h2 hn
m站
mh m站 n
当各测站观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方 根成正比。
(2) 按水准路线长求高差中误差
一般情况下，各测站所测的两转点间的距离l大致都相等
令 m站
l
mh m站 n m站
其对全长的影响为： D n l
设为m′为尺段的系统中误差
m
l
全长的系统中误差为： mD D
同时考虑偶然误差和系统误差: mD 2 D 2 D 2
（四）光电测距的精度 D c0 n K 2ng f 2
m
2 D
D
2
mc20 c02
mn2g
n
2 g
m
2 f
f2
m
2 xn
应用误差传播定律时应注意以下三点： 1．要正确列立函数式。 2．函数式中观测值必须是独立的。
3．函数式中同时角度观测值和长度观测值时，单位要统一。
【例7—2】测量得某正方形建筑场地周长 ，四条边的测量结果为a=32.60m， 边长测量中误差均为ma=±0.01m。求该场地的周长及其中误差。
三、偶然误差特性
土木工程测量课件
14
前进方向
a A
B
b
hAB
A、B两点间高差hAB为：
h ab AB
高差等于后视读数减去前视读数。
15
二、计算未知点高程
1．高差法 前进方向
a A
HA
B
大地水准面
H H h
B
Hale Waihona Puke AABb hAB
HB
16
2．视线高法
前进方向
a A
HA
Hi
大地水准面
H i
H B
H A
H i
a
b
B
b
hAB
HB
17
37 44 10 37 42 00 37 42 04 A
110 28 58 110 26 48 110 26 52
B
D 150 14 51 330 14 43 + 8 150 14 47 150 12 37 150 12 33
O A 0 02 18 180 02 08 +10 0 02 13
（90 03 24）
点号
距离 /km
测站 实测高差 改正数 改正后高差
数
/m
/mm
/m
高程 /m
点号
备 注
1
2
3
4
5
6
7
89
BMA 1.0
1
1.2
2
1.4
3
BMA 2.2
∑ 5.8
8 ＋1.575 ＋12 ＋1.587
12 －2.036 ＋14 －2.022 14 ＋1.742 ＋16 ＋1.758
16 －1.349 ＋26 －1.323
26
前进方向
a A
B
b
hAB
A、B两点间高差hAB为：
h ab AB
高差等于后视读数减去前视读数。
15
二、计算未知点高程
1．高差法 前进方向
a A
HA
B
大地水准面
H H h
B
Hale Waihona Puke AABb hAB
HB
16
2．视线高法
前进方向
a A
HA
Hi
大地水准面
H i
H B
H A
H i
a
b
B
b
hAB
HB
17
37 44 10 37 42 00 37 42 04 A
110 28 58 110 26 48 110 26 52
B
D 150 14 51 330 14 43 + 8 150 14 47 150 12 37 150 12 33
O A 0 02 18 180 02 08 +10 0 02 13
（90 03 24）
点号
距离 /km
测站 实测高差 改正数 改正后高差
数
/m
/mm
/m
高程 /m
点号
备 注
1
2
3
4
5
6
7
89
BMA 1.0
1
1.2
2
1.4
3
BMA 2.2
∑ 5.8
8 ＋1.575 ＋12 ＋1.587
12 －2.036 ＋14 －2.022 14 ＋1.742 ＋16 ＋1.758
16 －1.349 ＋26 －1.323
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《土木工程测量》第07章测量误差理论
例地增加，并保持其符号不变。
水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数 误差，它与视线长度成正比而符号不变。 经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，
中 南 大 学
它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。
二、测量误差分类及处理（续）
Dept. of RE, CSU
2、偶然误差(Stochastic error)
中 南 大 学
观测实例
Dept. of RE, CSU
观测值：三角形内角和L 真值：任一三角形内角和的真值X为180°
观测值 : L ai bi ci , 真值 : X 180
ai
中 南 大 学
真误差 : L X
所观测的三角形个数：n=162
bi
ci
三角形内角和真误差统计表
中 南 大 学
仪器 观测者 外界环境
这三个因素被统称为观测条件
3．观测条件与精度
Dept. of RE, CSU
仪器 观测者 外界环境 等精度观测：相同观测条件下进行的观测，测量成果的质
量可以说是相同的 。
这三个因素被统称为观测条件
不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。
误差理论研究的目的：
中 南 大 学
中误差(Standard deviation)：方差的平方根 测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。
中 南 大 学
D( ) E ( ) lim n
2
[] n
方差与中误差（续）
Dept. of RE, CSU
实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观 测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求 出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量 中常用m来表示真误差的估值 。即 ˆ
测量平差基础课件——误差传播定律
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
以 表示 。
E( ) f ()d Fra biblioteklim n n
ˆ n
平均误差与中误差的关系：
1.253 5
2
4
2 0.7979 4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。 2020/6/11 19
E() E(内E。(L) L)
E(L) E(L) 0
12
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
0.495
1.在一定的观测备条注 件下， 误vi差/ n 的绝对值有一定的 限d值 ，或者说，超出一
定 的00..概限05率67值45为的零误d。=差0，.0其2″出现
20..绝46对0值较小的误差比
绝 的 3差0000.....概 出对绝2210率 现9287值对5500大 的较值。概大相率等间值的等相误的于左的同差正。出负区端误现误 40.偶.0然30误差的差数学算期望入为 零0，.0即00： 该 区 间
N
表
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的 真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
《土木工程测量》第7章教案1
同济大学出版社 制作 覃辉
一等三角锁沿经线和纬线布设成纵横交叉的三角锁系，锁长200～250公里，构成许 多锁环。 一等三角锁内由近于等边的三角形组成，边长为20～30公里。 二等三角测量有两种布网形式，一种是由纵横交叉的两条二等基本锁将一等锁环划 分成4个大致相等的部分，这4个空白部分用二等补充网填充，称纵横锁系布网方案； 另一种是在一等锁环内布设全面二等三角网(triangulation network)，称全面布网方 案。 二等基本锁的边长为20～25公里，二等网的平均边长为13公里。 一等锁的两端和二等网的中间，都要测定起算边长、天文经纬度和方位角。 国家一、二等网合称为天文大地网(astro-geodetic network)。 我国天文大地网于1951年开始布设，1961年基本完成，1975年修补测工作全部结束， 全网约有5万个大地点。 三、四等三角网为在二等三角网内的进一步加密。 图7-1为广东省(含现在的海南省)的一等三角锁(triangulation chain)和二等三角基本 锁的布设略图。
同济大学出版社 制作 覃辉
3) 支导线 由一已知点C和一已知边的方向CD出发，延伸出去的导线C、9、10称为支导线。 支导线只有必要的起算数据，没有检核条件，它只限于在图根导线中使用，且支导 线的点数一般不应超过3个。 (2) 导线测量外业 导线测量外业工作包括：踏勘选点、建立标志、量边、测角。 1) 踏勘选点及建立标志 在踏勘选点之前，应到有关部门收集测区原有的地形图、高一等级控制点的成果资 料，然后在地形图上初步设计导线布设路线，最后按照设计方案到实地踏勘选点。 现场踏勘选点时，应注意下列事项： ① 相邻导线点间应通视良好，以便于角度测量和距离测量。如采用钢尺量距丈量 导线边长，则沿线地势应较平坦，没有丈量的障碍物。 ② 点位应选在土质坚实并便于保存之处。 ③ 在点位上，视野应开阔，便于测绘周围的地物和地貌。 ④ 导线边长应按参照表7-3~表7-6的规定，最长不超过平均边长的2倍，相邻边长尽 量不使其长短相差悬殊。 ⑤ 导线应均匀分布在测区，便于控制整个测区。 导线点位选定后，在泥土地面上，要在点位上打一木桩，桩顶钉上一小钉，作为临 时性标志； 在碎石或沥青路面上，可以用顶上凿有十字纹的大铁钉代替木桩； 在混凝土场地或路面上，可以用钢凿凿一十字纹，再涂上红油漆使标志明显。
一等三角锁沿经线和纬线布设成纵横交叉的三角锁系，锁长200～250公里，构成许 多锁环。 一等三角锁内由近于等边的三角形组成，边长为20～30公里。 二等三角测量有两种布网形式，一种是由纵横交叉的两条二等基本锁将一等锁环划 分成4个大致相等的部分，这4个空白部分用二等补充网填充，称纵横锁系布网方案； 另一种是在一等锁环内布设全面二等三角网(triangulation network)，称全面布网方 案。 二等基本锁的边长为20～25公里，二等网的平均边长为13公里。 一等锁的两端和二等网的中间，都要测定起算边长、天文经纬度和方位角。 国家一、二等网合称为天文大地网(astro-geodetic network)。 我国天文大地网于1951年开始布设，1961年基本完成，1975年修补测工作全部结束， 全网约有5万个大地点。 三、四等三角网为在二等三角网内的进一步加密。 图7-1为广东省(含现在的海南省)的一等三角锁(triangulation chain)和二等三角基本 锁的布设略图。
同济大学出版社 制作 覃辉
3) 支导线 由一已知点C和一已知边的方向CD出发，延伸出去的导线C、9、10称为支导线。 支导线只有必要的起算数据，没有检核条件，它只限于在图根导线中使用，且支导 线的点数一般不应超过3个。 (2) 导线测量外业 导线测量外业工作包括：踏勘选点、建立标志、量边、测角。 1) 踏勘选点及建立标志 在踏勘选点之前，应到有关部门收集测区原有的地形图、高一等级控制点的成果资 料，然后在地形图上初步设计导线布设路线，最后按照设计方案到实地踏勘选点。 现场踏勘选点时，应注意下列事项： ① 相邻导线点间应通视良好，以便于角度测量和距离测量。如采用钢尺量距丈量 导线边长，则沿线地势应较平坦，没有丈量的障碍物。 ② 点位应选在土质坚实并便于保存之处。 ③ 在点位上，视野应开阔，便于测绘周围的地物和地貌。 ④ 导线边长应按参照表7-3~表7-6的规定，最长不超过平均边长的2倍，相邻边长尽 量不使其长短相差悬殊。 ⑤ 导线应均匀分布在测区，便于控制整个测区。 导线点位选定后，在泥土地面上，要在点位上打一木桩，桩顶钉上一小钉，作为临 时性标志； 在碎石或沥青路面上，可以用顶上凿有十字纹的大铁钉代替木桩； 在混凝土场地或路面上，可以用钢凿凿一十字纹，再涂上红油漆使标志明显。
《土木工程测量》PPT课件第5章-测量误差的基本知识
1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
（2）偶然误差的示例：
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数： 1590
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.02m，D2=200m，m2=±0.02m， 求： K1, K2
解：
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍，即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现，测量结果不可避免 的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差： 观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 （1）误差——真值与观测值之差（严格：真误差）
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次 独立观测，观测值为：L1、L2、…、Ln；其相应的真误差为 Δ1，Δ2，……，Δn；则定义该组观测值的
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
《测量误差与平差》PPT课件
• 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
《平差基础》课件
异常值和缺失值的影响：可能导 致模型预测不准确，需要谨慎处 理
添加标题
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缺失值处理：通过插值、填充、 删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱 线图、散点图、直方图等可视化 方法，以及统计方法如t检验、卡 方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值 插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等 外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值 外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型 模型确定：根据实际数据确定模型的参数 模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性 模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测 误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、 最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设 定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的 应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术 平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法 平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确 案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法 需要掌握一定的数 学和计算机知识， 需要不断学习和实 践
基本思想：最小 化误差平方和
数学模型：线性 方程组
求解方法：迭代 法、最小二乘法
应用领域：测量 学、统计学、工 程学等
点估计：通过样本数据计算 得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区 间估计
基本概念：参数估计就是通 过样本数据来估计总体参数 的过程
区间估计：通过样本数据计 算得到总体参数的一个置信
中南大学《误差理论与测量平差基础》考研复习重点笔记
考试复习重点资料（最新版）资料见第二页封面第1页第一章测量误差理论§1-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§1-2偶然误差的规律性2.直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3.误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4.偶然误差的特性第2章协方差传播律在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§2—1数学期望的传播数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。
其定义是：§2—2协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。
第3章最小二乘平差§3-1条件平差原理以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例计算步骤：1.列出r=n-t个条件方程；2.组成并解算法方程；3.计算V和的值；4.检核。
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第七章 测量误差与平差 §7-1 测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及来源
1. 测量误差: 观测值与真值不一致 真误差△ = L - X
2. 误差的来源 （１）仪器 （２）观测者 （３）外界条件
｝观测条件
等精度观测：相同观测条件下进行的观测 不等精度观测：
研究误差理论的目的： 对误差的来源，性质及其产生和传播的规律进行
n
【例7－1】 有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，甲组的真误差为：
+3 ，+2，-2，-1，0，-3；乙组的真误差为：+6，-7，-3，-4，+5， +2。问哪组观测值精度高。
m甲
[] 2.12
n
m乙
[] 4.81
n
2．容许误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值。
2
P(＜ ＜ )12 e22d0.683
2xnf1xfn[xn1xn]
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
m Z x f1 2m x 2 1 xf2 2m x 22 xfn 2m x 2n
二、求任意函数中误差的一般步骤
1．列出独立观测值的函数式
即：
[]
lim 0 n n
误差分布曲线对应着某一种观测条件，当观测条件不同时， 其相应误差曲线的形状将随之改变。
四、评定精度的标准
在相同的观测条件下，对某一量进行的观测对应着一种误差分布，这
组观测值具有同等精度，但是在实际测量问题中并不需要求出误差的分 布情况．而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度及评定观测 成果的精度 .
研究，解决实际问题。 (1) 确定最可靠值
(2)评定精度
(３)确定限差
二、测量误差的分类及处理
按对测量成果影响性质的不同，可分为系统误 差、偶然误差和粗差。
Hale Waihona Puke １. 系统误差相同条件下进行的一组观测，误差的大小或符号 保持不变，或按一定规律变化．
水准测量：ＣＣ不平行ＬＬ 读数误差：△i=i”×S/206265
误差传播定律就是说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律 . 已知独立观测值 x1、x2、 xn 的中误差分别为 mx1、 mx2、 mxn
Zf(x1,x2,xn)
Z Z f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 , x n x n )
Z Z f(x 1 ,x 2 , x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
相对误差误差 观的 测绝 值对 T1值
作为分子的误差可以用不同的精度标准，如用中误差、容许误差、闭合差 或较差等，则其相对误差被分别称为相对中误差、相对容许误差、相对闭合差 或相对较差等。
§7－2 误差传播定律及其应用
一、误差传播定律
在测量工作中，一些未知量不能直接进行观测，是由一些直接观测值， 通过函数关系式计算得出。 h=a-b
函数Z真误差 表达式：
Z x f1x1x f2x2 x fnxn
[Z 2 ] x f1 2 [x 1 2 ] x f2 2 [x 2 2 ] x fn 2 [x n 2 ]
2 x f1 x f2 [x 1x 2 ] 2 x f1 x f3 [x 1x 3 ]
三、偶然误差特性
在相同的观测条件下，观测了162个三角形的全部内角，三角形的内角和 的真值为已知，因此，计算出每个三角形内角和的真误差，将计算所得 162个真误差以为误差区间，按绝对值的大小和正负号分别排列，并统计 出误差出现在各个区间的个数和频率。
为了直观表示偶然误差的分布 ，可将表7－1的数据用直方图来表示：
来源：人感官能力限制或无法估计因素等，无法避免。
3．粗差 大于限差的误差称为粗差，是由于观测者的粗心或其它因素影响造成的 错误。在测量成果中绝对不允许有错误存在。 杜绝方法：细心进行工作，多余观测。
消除了粗差后，系统误差和偶然误差会同时存在。尽量消除 系统误差的影响，使其与偶然误差相比不起主导作用。 主要研 究偶然误差。
钢尺量距:名长30m，实长30.005m
每尺量短5mm
特点：积累性；来源：仪器缺陷、观测者某些习惯、外界影响
措施：合理观测方法；对观测值进行公式改正。
2.偶然误差 对某一未知量进行等精度观测，单个误差的大小和符号无明
显规律，但误差总体具有统计规律。 如：估读数值可能偏大可能偏小 照准目标可能偏左可能偏右
Zf(x1,x2,xn)
2．求出真误差关系式。
f f
f
d Z x1d1 xx2d2x xndnx
3．求出中误差关系式
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
2
P(2＜ ＜ 2)12 2 2 e22d0.955
2
P(3＜ ＜ 3)12 3 3 e22d0.997
-3σ -2σ -σ
f(Δ ) 0 -σ
Δ +2σ +3σ
取三倍的中误差作为偶然误差的极限值，称极限误差 ,在实际工作 中，更多的是取二倍的中误差作为容许误差。
容 2m
3．相对误差
当观测值的误差与观测值的大小有关时，要用相对误差衡量精度。
vι n Δd
vι n
Δ
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
误差分布曲线的数学方程式为 ：
2
f ()
1
e 22
2
偶然误差的四大特性如下：
1．在一定的观测条件下．偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值．即超过一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3．绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即。也就是偶然误差的理论平均值 为零
1．中误差 方差定义式为:
2D ()E(2)lim []
n n
II
1 σ 2 2π
f(Δ ) 1
σ 1 2π
I
Δ
- σ 1 - σ 2 0 +σ 1 +σ 2
实际测量工作中不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有
ˆ 限的观测值的真误差求出中误差的估值
ˆ 在测量中常用m表示中误差的估值
mˆ []
1. 测量误差: 观测值与真值不一致 真误差△ = L - X
2. 误差的来源 （１）仪器 （２）观测者 （３）外界条件
｝观测条件
等精度观测：相同观测条件下进行的观测 不等精度观测：
研究误差理论的目的： 对误差的来源，性质及其产生和传播的规律进行
n
【例7－1】 有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，甲组的真误差为：
+3 ，+2，-2，-1，0，-3；乙组的真误差为：+6，-7，-3，-4，+5， +2。问哪组观测值精度高。
m甲
[] 2.12
n
m乙
[] 4.81
n
2．容许误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值。
2
P(＜ ＜ )12 e22d0.683
2xnf1xfn[xn1xn]
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
m Z x f1 2m x 2 1 xf2 2m x 22 xfn 2m x 2n
二、求任意函数中误差的一般步骤
1．列出独立观测值的函数式
即：
[]
lim 0 n n
误差分布曲线对应着某一种观测条件，当观测条件不同时， 其相应误差曲线的形状将随之改变。
四、评定精度的标准
在相同的观测条件下，对某一量进行的观测对应着一种误差分布，这
组观测值具有同等精度，但是在实际测量问题中并不需要求出误差的分 布情况．而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度及评定观测 成果的精度 .
研究，解决实际问题。 (1) 确定最可靠值
(2)评定精度
(３)确定限差
二、测量误差的分类及处理
按对测量成果影响性质的不同，可分为系统误 差、偶然误差和粗差。
Hale Waihona Puke １. 系统误差相同条件下进行的一组观测，误差的大小或符号 保持不变，或按一定规律变化．
水准测量：ＣＣ不平行ＬＬ 读数误差：△i=i”×S/206265
误差传播定律就是说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律 . 已知独立观测值 x1、x2、 xn 的中误差分别为 mx1、 mx2、 mxn
Zf(x1,x2,xn)
Z Z f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 , x n x n )
Z Z f(x 1 ,x 2 , x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
相对误差误差 观的 测绝 值对 T1值
作为分子的误差可以用不同的精度标准，如用中误差、容许误差、闭合差 或较差等，则其相对误差被分别称为相对中误差、相对容许误差、相对闭合差 或相对较差等。
§7－2 误差传播定律及其应用
一、误差传播定律
在测量工作中，一些未知量不能直接进行观测，是由一些直接观测值， 通过函数关系式计算得出。 h=a-b
函数Z真误差 表达式：
Z x f1x1x f2x2 x fnxn
[Z 2 ] x f1 2 [x 1 2 ] x f2 2 [x 2 2 ] x fn 2 [x n 2 ]
2 x f1 x f2 [x 1x 2 ] 2 x f1 x f3 [x 1x 3 ]
三、偶然误差特性
在相同的观测条件下，观测了162个三角形的全部内角，三角形的内角和 的真值为已知，因此，计算出每个三角形内角和的真误差，将计算所得 162个真误差以为误差区间，按绝对值的大小和正负号分别排列，并统计 出误差出现在各个区间的个数和频率。
为了直观表示偶然误差的分布 ，可将表7－1的数据用直方图来表示：
来源：人感官能力限制或无法估计因素等，无法避免。
3．粗差 大于限差的误差称为粗差，是由于观测者的粗心或其它因素影响造成的 错误。在测量成果中绝对不允许有错误存在。 杜绝方法：细心进行工作，多余观测。
消除了粗差后，系统误差和偶然误差会同时存在。尽量消除 系统误差的影响，使其与偶然误差相比不起主导作用。 主要研 究偶然误差。
钢尺量距:名长30m，实长30.005m
每尺量短5mm
特点：积累性；来源：仪器缺陷、观测者某些习惯、外界影响
措施：合理观测方法；对观测值进行公式改正。
2.偶然误差 对某一未知量进行等精度观测，单个误差的大小和符号无明
显规律，但误差总体具有统计规律。 如：估读数值可能偏大可能偏小 照准目标可能偏左可能偏右
Zf(x1,x2,xn)
2．求出真误差关系式。
f f
f
d Z x1d1 xx2d2x xndnx
3．求出中误差关系式
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
2
P(2＜ ＜ 2)12 2 2 e22d0.955
2
P(3＜ ＜ 3)12 3 3 e22d0.997
-3σ -2σ -σ
f(Δ ) 0 -σ
Δ +2σ +3σ
取三倍的中误差作为偶然误差的极限值，称极限误差 ,在实际工作 中，更多的是取二倍的中误差作为容许误差。
容 2m
3．相对误差
当观测值的误差与观测值的大小有关时，要用相对误差衡量精度。
vι n Δd
vι n
Δ
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
误差分布曲线的数学方程式为 ：
2
f ()
1
e 22
2
偶然误差的四大特性如下：
1．在一定的观测条件下．偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值．即超过一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3．绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即。也就是偶然误差的理论平均值 为零
1．中误差 方差定义式为:
2D ()E(2)lim []
n n
II
1 σ 2 2π
f(Δ ) 1
σ 1 2π
I
Δ
- σ 1 - σ 2 0 +σ 1 +σ 2
实际测量工作中不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有
ˆ 限的观测值的真误差求出中误差的估值
ˆ 在测量中常用m表示中误差的估值
mˆ []