中南大学土木工程测量课件 第7章误差与平差
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函数Z真误差 表达式：
Z x f1x1x f2x2 x fnxn
[Z 2 ] x f1 2 [x 1 2 ] x f2 2 [x 2 2 ] x fn 2 [x n 2 ]
2 x f1 x f2 [x 1x 2 ] 2 x f1 x f3 [x 1x 3 ]
第七章 测量误差与平差 §7-1 测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及来源
1. 测量误差: 观测值与真值不一致 真误差△ = L - X
2. 误差的来源 （１）仪器 （２）观测者 （３）外界条件
｝观测条件
等精度观测：相同观测条件下进行的观测 不等精度观测：
研究误差理论的目的： 对误差的来源，性质及其产生和传播的规律进行
2xnf1xfn[xn1xn]
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
m Z x f1 2m x 2 1 xf2 2m x 22 xfn 2m x 2n
二、求任意函数中误差的一般步骤
1．列出独立观测值的函数式
三、偶然误差特性
在相同的观测条件下，观测了162个三角形的全部内角，三角形的内角和 的真值为已知，因此，计算出每个三角形内角和的真误差，将计算所得 162个真误差以为误差区间，按绝对值的大小和正负号分别排列，并统计 出误差出现在各个区间的个数和频率。
为了直观表示偶然误差的分布 ，可将表7－1的数据用直方图来表示：
n百度文库
【例7－1】 有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，甲组的真误差为：
+3 ，+2，-2，-1，0，-3；乙组的真误差为：+6，-7，-3，-4，+5， +2。问哪组观测值精度高。
m甲
[] 2.12
n
m乙
[] 4.81
n
2．容许误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值。
2
P(＜ ＜ )12 e22d0.683
来源：人感官能力限制或无法估计因素等，无法避免。
3．粗差 大于限差的误差称为粗差，是由于观测者的粗心或其它因素影响造成的 错误。在测量成果中绝对不允许有错误存在。 杜绝方法：细心进行工作，多余观测。
消除了粗差后，系统误差和偶然误差会同时存在。尽量消除 系统误差的影响，使其与偶然误差相比不起主导作用。 主要研 究偶然误差。
研究，解决实际问题。 (1) 确定最可靠值
(2)评定精度
(３)确定限差
二、测量误差的分类及处理
按对测量成果影响性质的不同，可分为系统误 差、偶然误差和粗差。
１. 系统误差
相同条件下进行的一组观测，误差的大小或符号 保持不变，或按一定规律变化．
水准测量：ＣＣ不平行ＬＬ 读数误差：△i=i”×S/206265
相对误差误差 观的 测绝 值对 T1值
作为分子的误差可以用不同的精度标准，如用中误差、容许误差、闭合差 或较差等，则其相对误差被分别称为相对中误差、相对容许误差、相对闭合差 或相对较差等。
§7－2 误差传播定律及其应用
一、误差传播定律
在测量工作中，一些未知量不能直接进行观测，是由一些直接观测值， 通过函数关系式计算得出。 h=a-b
误差传播定律就是说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律 . 已知独立观测值 x1、x2、 xn 的中误差分别为 mx1、 mx2、 mxn
Zf(x1,x2,xn)
Z Z f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 , x n x n )
Z Z f(x 1 ,x 2 , x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
vι n Δd
vι n
Δ
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
误差分布曲线的数学方程式为 ：
2
f ()
1
e 22
2
偶然误差的四大特性如下：
1．在一定的观测条件下．偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值．即超过一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3．绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即。也就是偶然误差的理论平均值 为零
2
P(2＜ ＜ 2)12 2 2 e22d0.955
2
P(3＜ ＜ 3)12 3 3 e22d0.997
-3σ -2σ -σ
f(Δ ) 0 -σ
Δ +2σ +3σ
取三倍的中误差作为偶然误差的极限值，称极限误差 ,在实际工作 中，更多的是取二倍的中误差作为容许误差。
容 2m
3．相对误差
当观测值的误差与观测值的大小有关时，要用相对误差衡量精度。
Zf(x1,x2,xn)
2．求出真误差关系式。
f f
f
d Z x1d1 xx2d2x xndnx
3．求出中误差关系式
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
1．中误差 方差定义式为:
2D ()E(2)lim []
n n
II
1 σ 2 2π
f(Δ ) 1
σ 1 2π
I
Δ
- σ 1 - σ 2 0 +σ 1 +σ 2
实际测量工作中不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有
ˆ 限的观测值的真误差求出中误差的估值
ˆ 在测量中常用m表示中误差的估值
mˆ []
即：
[]
lim 0 n n
误差分布曲线对应着某一种观测条件，当观测条件不同时， 其相应误差曲线的形状将随之改变。
四、评定精度的标准
在相同的观测条件下，对某一量进行的观测对应着一种误差分布，这
组观测值具有同等精度，但是在实际测量问题中并不需要求出误差的分 布情况．而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度及评定观测 成果的精度 .
钢尺量距:名长30m，实长30.005m
每尺量短5mm
特点：积累性；来源：仪器缺陷、观测者某些习惯、外界影响
措施：合理观测方法；对观测值进行公式改正。
2.偶然误差 对某一未知量进行等精度观测，单个误差的大小和符号无明
显规律，但误差总体具有统计规律。 如：估读数值可能偏大可能偏小 照准目标可能偏左可能偏右
Z x f1x1x f2x2 x fnxn
[Z 2 ] x f1 2 [x 1 2 ] x f2 2 [x 2 2 ] x fn 2 [x n 2 ]
2 x f1 x f2 [x 1x 2 ] 2 x f1 x f3 [x 1x 3 ]
第七章 测量误差与平差 §7-1 测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及来源
1. 测量误差: 观测值与真值不一致 真误差△ = L - X
2. 误差的来源 （１）仪器 （２）观测者 （３）外界条件
｝观测条件
等精度观测：相同观测条件下进行的观测 不等精度观测：
研究误差理论的目的： 对误差的来源，性质及其产生和传播的规律进行
2xnf1xfn[xn1xn]
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
m Z x f1 2m x 2 1 xf2 2m x 22 xfn 2m x 2n
二、求任意函数中误差的一般步骤
1．列出独立观测值的函数式
三、偶然误差特性
在相同的观测条件下，观测了162个三角形的全部内角，三角形的内角和 的真值为已知，因此，计算出每个三角形内角和的真误差，将计算所得 162个真误差以为误差区间，按绝对值的大小和正负号分别排列，并统计 出误差出现在各个区间的个数和频率。
为了直观表示偶然误差的分布 ，可将表7－1的数据用直方图来表示：
n百度文库
【例7－1】 有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，甲组的真误差为：
+3 ，+2，-2，-1，0，-3；乙组的真误差为：+6，-7，-3，-4，+5， +2。问哪组观测值精度高。
m甲
[] 2.12
n
m乙
[] 4.81
n
2．容许误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值。
2
P(＜ ＜ )12 e22d0.683
来源：人感官能力限制或无法估计因素等，无法避免。
3．粗差 大于限差的误差称为粗差，是由于观测者的粗心或其它因素影响造成的 错误。在测量成果中绝对不允许有错误存在。 杜绝方法：细心进行工作，多余观测。
消除了粗差后，系统误差和偶然误差会同时存在。尽量消除 系统误差的影响，使其与偶然误差相比不起主导作用。 主要研 究偶然误差。
研究，解决实际问题。 (1) 确定最可靠值
(2)评定精度
(３)确定限差
二、测量误差的分类及处理
按对测量成果影响性质的不同，可分为系统误 差、偶然误差和粗差。
１. 系统误差
相同条件下进行的一组观测，误差的大小或符号 保持不变，或按一定规律变化．
水准测量：ＣＣ不平行ＬＬ 读数误差：△i=i”×S/206265
相对误差误差 观的 测绝 值对 T1值
作为分子的误差可以用不同的精度标准，如用中误差、容许误差、闭合差 或较差等，则其相对误差被分别称为相对中误差、相对容许误差、相对闭合差 或相对较差等。
§7－2 误差传播定律及其应用
一、误差传播定律
在测量工作中，一些未知量不能直接进行观测，是由一些直接观测值， 通过函数关系式计算得出。 h=a-b
误差传播定律就是说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律 . 已知独立观测值 x1、x2、 xn 的中误差分别为 mx1、 mx2、 mxn
Zf(x1,x2,xn)
Z Z f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 , x n x n )
Z Z f(x 1 ,x 2 , x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
vι n Δd
vι n
Δ
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
误差分布曲线的数学方程式为 ：
2
f ()
1
e 22
2
偶然误差的四大特性如下：
1．在一定的观测条件下．偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值．即超过一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3．绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即。也就是偶然误差的理论平均值 为零
2
P(2＜ ＜ 2)12 2 2 e22d0.955
2
P(3＜ ＜ 3)12 3 3 e22d0.997
-3σ -2σ -σ
f(Δ ) 0 -σ
Δ +2σ +3σ
取三倍的中误差作为偶然误差的极限值，称极限误差 ,在实际工作 中，更多的是取二倍的中误差作为容许误差。
容 2m
3．相对误差
当观测值的误差与观测值的大小有关时，要用相对误差衡量精度。
Zf(x1,x2,xn)
2．求出真误差关系式。
f f
f
d Z x1d1 xx2d2x xndnx
3．求出中误差关系式
m Z 2 x f1 2m x 2 1 x f2 2m x 2 2 x fn 2m x 2n
1．中误差 方差定义式为:
2D ()E(2)lim []
n n
II
1 σ 2 2π
f(Δ ) 1
σ 1 2π
I
Δ
- σ 1 - σ 2 0 +σ 1 +σ 2
实际测量工作中不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有
ˆ 限的观测值的真误差求出中误差的估值
ˆ 在测量中常用m表示中误差的估值
mˆ []
即：
[]
lim 0 n n
误差分布曲线对应着某一种观测条件，当观测条件不同时， 其相应误差曲线的形状将随之改变。
四、评定精度的标准
在相同的观测条件下，对某一量进行的观测对应着一种误差分布，这
组观测值具有同等精度，但是在实际测量问题中并不需要求出误差的分 布情况．而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度及评定观测 成果的精度 .
钢尺量距:名长30m，实长30.005m
每尺量短5mm
特点：积累性；来源：仪器缺陷、观测者某些习惯、外界影响
措施：合理观测方法；对观测值进行公式改正。
2.偶然误差 对某一未知量进行等精度观测，单个误差的大小和符号无明
显规律，但误差总体具有统计规律。 如：估读数值可能偏大可能偏小 照准目标可能偏左可能偏右