(完整word)高二数学选修2-2导数的计算.docx

导数的计算

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

一、用定义计算导数

问题 1：如何求函数y f ( x) c 的导数？

2．求函数y f (x)x 的导数

3．函数y f (x)x2的导数

1

4．函数y f ( x)的导数

x

5．函数y x 的导数

二

1.基本初等函数的导数公式表

函数

y c

y f (x) x n ( n Q * )

y sin x

y cos x

y f ( x) a x

y f ( x)e x

f ( x)lo

g a x

f ( x) ln x

分几类1、幂函数 2.三角函数

导数

y'0

y'nx n 1

y'cos x

y'sin x

y'a x ln a (a 0)

y'e x

1

f ' ( x)(a0且 a 1)

x ln a

f ' ( x)1

x

3 指数函数 4.对数函数

补充 f ( x)

1

x f ' (x)1

x2

f x 1

x

'

1

f ( x)

2公式的应用

典型题一、求导数

例1、求下列函数的导数

A (1)y x5( 2)y5(3)y1

x ( 4)y ln x(5)y log 2 x(6)y cos x

思考求 f ( x) 的方法有哪些？

3.导数的四则运算法则：

问题x ln x 如何求？

导数运算法则

1、

2、

3、

'推论：cf ( x)

f( x)

f ( x)

f(x)

g( x)

cf ' (x)

g ( x)

'

' (x)

f ' (x) g

'

f ' ( x) g(x) f ( x) g' ( x)

g( x)

'' ( x) g( x) f (x) g' ( x)

f

2(g (x) 0)

g (x)

提示：积法则 ,商法则 , 都是前导后不导,前不导后导 , 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号 .。

常见错误： f (x)

'

' ( x)g' ( x) g( x)f

'

f ' ( x) (

g (x)

f ( x)0)

g( x)g' (x)

典型题二、导数的四则运算法则

例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（ 1）y x32x3

（ 2） y x sin x ；

（ 3） y

(2 x 2 5x 1) e x ；

（ 4） y

x

cos x

lnx

A 变式练习 1

y x

1 y

sin x(cos x e x )

x

y

cos x

y

x 2 sin x

+lnx

x

y

sin x

cos x

A 变式 2.求下列函数的导数

（ 1） y=2 x 3 +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y= x sin x

(4)y=

ln x

1

x 2

A 变式 3．已知 f （ x ） =xcosx ﹣ sinx ，则 f ′（ x ）=（

）

解： ∵ f （ x ） =xcosx ﹣ sinx ，

∴ f ′（ x ）=cosx ﹣ xsinx ﹣ cosx=﹣xsinx ，

已知函数 f （ x ） = x 2 lnx ，则 f （′x ）等于（

）

函数 y=e x

sinx 的导数等于（ ）

A ．e x cosx

B ． e x sinx

C ．﹣e x

cosx D ． e x

（ sinx+cosx ）

分析：利用导数乘法法则进行计算，其中（ e x ） ′=e x

，sin ′x=cosx ．

解答：解： ∵ y=e x

sinx ，

∴ y ′=（ e x ） ′sinx+ （ e x

） ?（ sinx ）′ =e x sinx+e x

cosx

=e x

（ sinx+cosx ）． 故选 D ．

4.函数

的导数值为

0 时， x 等于（ ）

解： ∵

=

， ∴

令 y ′=0，即

，解得 x= ±a ．

A 变式练习 4

若函数 y=f （x ）的导数 f ′（ x ）=6x 2

，则 +5 A ．3x 2

3

+5x

B ． 2x +5x+6

解答：解： ∵ f'（ x ） =6x 2

+5

3

∴ f （ x ）

=2x +5x+c （ c 为常数）

故选 B ．

函数 f （ x ） =xsinx+cosx 的导数是（ ）

解： ∵ f （ x ） =xsinx+cosx

f （x ）可以是（

）

3

2

C ． 2x +5

D ． 6x +5x+6

∴ f ′（ x ）=（ xsinx+cosx ） ′=（ xsinx ） ′+（ cosx ） ′ =x ′sinx+x （ sinx ） ′﹣ sinx =sinx+xcosx ﹣ sinx=xcosx

ln x 1

2

x

若 f ′（ x ）=2e x +xe x

（其中 e 为自然对数的底数） ，则 f （x ）可以是（

）

A ．xe x +x

B ． （ x+1 ） e x +1

C ． xe x

D ． （ x+1） e x

+x

分析：利用导数的运算法则即可得出．

解答：解：利用导数的运算法则可得： A ．（ xe x +x ）′=e x +xe x

+1，

B ． [ （x+1 ） e x +1]=e x +（ x+1） e x

=（ x+2） e x ，C ．（xe x ） ′=e x +xe x ，

D ．[ （ x+1 ） e x +x]′=e x +（ x+1 ）e x +1= （ x+2） e x

+1．

故选 B ．

请默写出常见函数的导数

4、复合函数

问题 y

(2 x 1)2 求导是多少？