二次曲线的方程化简与分类

张 之 正 解析几何
Mathematical Science College
2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
利用转轴来消去二次曲线方程的 项，有一个几何
意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的 位置，这是因为如果二次曲线的特征根 确定的主方向为
，那么
tan Y a12 a11 ，
A2 x A1x
B2 y
A22 B1 y
C2z
B2 2 C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin
，
B1 A12 B12
cos ．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式 右端 y 的系数相等，即这两项的系数是同号的．
2.二次曲线方程的化简和分类
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定理1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可 以化成下列三个简化方程中的一个：
( I ) a11x2 a22 y2 a33 0, a11a22 0; ( II ) a22 y2 2a13x 0, a22a13 0; (III ) a22 y2 a33 0, a22 0.
2．二次曲线方程的化简与分类
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在二次曲线方程（1）里， 如 果 a12 0 ， 我 们 往 往 使 用 转 轴 使 新 方 程 中 的
a12 0 ．为此，取 ，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11sin 2 2a12 cos 2 0 ，
（2）
（其中α为坐标轴的旋转角）
x
逆变换公式：
y
x cos x sin
y sin y cos
x0 y0
（3）
x y
x cos y x sin
sin y cos
x0 cos y0 x0 sin
sin
y0 cos
（4）
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2. 转轴：
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x xcos ysin
y
x
sin
y
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
新方程的二次系数仅与原方程的二次项系数及旋转
角有关，而与一次项系数值及常数项无关．
2°一次项系一般要改变．
3°常数项不变
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1 (双曲线)
[4]
x2 a2
y2 b2
0 (点或相交于实点的共轭虚直线)
[5]
x2 a2
y2 b2
0 (两相交直线)
[6] y2 2 px (抛物线)
[7] y2 a2 (两平行直线)
[8] y2 a2 (两平行共轭虚直线)
[9] y2 0 (两重合直线)
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2．二次曲线方程的化简与分类
设二次曲线的方程为
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F x, y a11x2 2a12xy a22 y2 2a13x 2a23y a33 0 （1）
1. 移轴： 移轴变换规律：
x y
x y
x0 y0
1°二次项系数不变；
2°一次项系数变为 2F1 x0, y0 与 2F2 x0 , y0 ； 3°常数项变为 F x0, y0 .
当 x0 , y0 为二次曲线（1）的中心时，有 F1x0 , y0 0 ，
F２x0 , y0 0. 故当二次曲线(1)有中心时，作移轴，使原点
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中一次项消失.
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2．二次曲线方程的化简与分类
x y
A2 x A1x
B2 y C2 z
A22 B22 B1 y C1z
（﹡）
A12 B12
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1. 平面直角坐标变换
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为了使新坐标系仍然是右手坐标系，下面决定
（*）中的符号：
x y
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1. 平面直角坐标变换
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因为 x 是点 M x, y 到 Oy轴的距离，也就是 M到
l2 的距离，因此
同理
x A2 x B2 y C2 A22 B22
y A1x B1 y C1 A12 B12
从而
定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方
程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
[1]
x2 a2
y2 b2
1 (椭圆)
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2．二次曲线方程的化简与分类
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[2]
x2 a2
y2 b2
1 (虚椭圆)
[3]
x2 a2
y2 b2
如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合； 如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合； 如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中 心重合．因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线（1） 的主直径，然后以它作新坐标轴，作坐标变换即可．
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§5.6 二次曲线的方程化简与分类
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1. 平面直角坐标变换
1）一般坐标变换
移轴公式：
x
y
x y
x0 y0
（1）
或
x y
x y
x0 y0
（1）
一般坐标变换公式：
转轴公式：
x y
x x
cos sin
y sin y cos
（2）
或
x x cos y sin y x sin y cos
Baidu Nhomakorabea
cot 2 a11 a22
∴
2a12
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例题
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例2 化简二次曲线方程x2 4xy 4 y2 12x y 1 0
并画出它的图形．
例3 化简二次曲线方程 x2 xy y2 2x 4 y 0 ．
并画出它的图形．
X a22
a12
2
∴
cot 2
1 tan2
1
a12 a22
a11 a22
2 tan
2a12
2a12
．
a22
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2．二次曲线方程的化简与分类
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因此，通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法， 实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴） 重合的位置．
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例题
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例1 已知两垂直的直线 l1 : 2x y 3 0 与 l2 : x 2 y 2 0，
取 l1为 Ox 轴，l2为 Oy 轴，求坐标变换公式．
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1. 平面直角坐标变换
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2） 设在直角坐标系 xOy 里给定了两条相互垂直的直线
l1 : A1x B1 y C1 0
l2：A2 x B2 y C2 z 0
其中 A1 A2 B1B2 0 ．如果取 l1 为新坐标系中 的横轴Ox ，而 l2 为纵轴 Oy ，并设平面上任意点 M 的 旧坐标为与新坐标分别为 x, y 与 x, y ．