空间曲线及其方程

轴旋转, 绕z轴旋转 得空间的一个圆 该圆在平面 z = ω (t ) , 其半 轴旋转 得空间的一个圆, 上 径为点 M 1到z轴的距离 [ϕ (t )]2 + [ψ (t )]2 , 因此 固定 的方 轴的距离 因此, 固定t的方 内变动,方程 就是该圆的参数方程. 程(*)就是该圆的参数方程 再令 在 [α , β ] 内变动 方程 就是该圆的参数方程 再令t在 (*)便是旋转曲面的方程 便是旋转曲面的方程. 便是旋转曲面的方程
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三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) = 0 设空间曲线的一般方程： 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) = 0
消去变量z后得： H ( x , y ) = 0 后得： 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征 特征： 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面
x + y = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
2 2
交线为椭圆. 交线为椭圆
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z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例3 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4 解 z = a2 − x2 − y2
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如图:投影曲线的研究过程 如图 投影曲线的研究过程. 投影曲线的研究过程
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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x = x (s, t ), y = y (s, t ), z = z (s , t ).
例如空间曲线Γ
x = ϕ (t ), y = ψ (t ), z = ω (t )
(α ≤ t ≤ β )
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x
z
O
y
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x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 2x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
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中国劳动关系学院Biblioteka 高等数学z 例如直线
x = 1, y = t, z = 2t 轴旋转所得旋转曲面(如图 绕z轴旋转所得旋转曲面 如图 的方程为 轴旋转所得旋转曲面 如图)的方程为 x = 1 + t 2 cos θ , y = 1 + t 2 sin θ , x z = 2t . (上式消去 和θ ,得曲面的直角坐标方程为 上式消去t和 得曲面的直角坐标方程为 上式消去
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螺旋线的参数方程还可以写为
x = a cosθ y = a sinθ v z = bθ (θ = ω t , b = )
螺旋线的重要性质： 螺旋线的重要性质： 性质
ω
上升的高度与转过的角度成正比． 上升的高度与转过的角度成正比． 即 z : bθ 0 → bθ 0 + bα , θ : θ0 → θ0 + α ,
o
y
z2 x2 + y2 = 1 + ) 4
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2 2 2 2 可看成zOx面上的半圆周 又如球面 x + y + z = a 可看成 面上的半圆周
x = a sin ϕ , y = 0, z = a cos ϕ
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例 6 求抛物面 y2 + z2 = x与平面 x + 2 y − z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程
解
截线方程为
y2 + z2 = x x + 2y − z = 0
α = 2π, π
上升的高度 h = 2bπ 螺距
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* 曲面的参数方程
下面顺便介绍一下曲面的参数方程. 下面顺便介绍一下曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是 含两个参数的方程, 含两个参数的方程 形如
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二、空间曲线的参数方程
x = x( t ) y = y( t ) 空间曲线的参数方程 z = z( t )
当给定 t = t1 时 ， 就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
(1) (2)
求它们的交线C在 面上的投影方程. 求它们的交线 在xOy面上的投影方程 面上的投影方程
而母线平行于z轴的柱面方程 轴的柱面方程. 解 先求包含交线 C 而母线平行于 轴的柱面方程 因此 要由方程(1), (2)消去 z , 为此可先从 式减去 式并化简 式减去(2)式并化简 要由方程 消去 为此可先从(1)式减去 式并化简, 得到 y+z =1 再以 z=1-y 代入方程(1)或(2) 即得所求的柱面方程为 代入方程 或 x2 + 2 y2 − 2 y = 0 容易看出, 这就是交线C关于 关于xOy面的投影柱面方程 于是 面的投影柱面方程, 容易看出 这就是交线 关于 面的投影柱面方程 两球面的交线在xOy面上的投影方程是 两球面的交线在 面上的投影方程是
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2 2 2
x + y + z = 1 在坐标面上的投影. 例5 求曲线 在坐标面上的投影 1 z = 2
解 （1）消去变量z后得 ）
3 x +y = , 4
2 2
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x + y = 4, z = 0
2 2
y2 + z2 + 2 y − z = 0 . （ 3）消去 x 得投影 ） x = 0
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例7 已知两球面的方程为 和
x2 + y2 + z2 = 1, 2 2 x2 + ( y − 1) + (z − 1) = 1,
如图, 如图
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2 2
x + 5 y + 4 xy − x = 0 , （ 1）消去 z 得投影 ） z = 0 x + 5 z − 2 xz − 4 x = 0 （2）消去 y 得投影 ） , y = 0
解
z
取时间t为参数， 取时间 为参数， 为参数 动点从A点出 动点从 点出 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
ωt
o
x A
M
•
x = a cos ω t y = a sin ω t z = vt
y
M′
螺旋线的参数方程
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面上的投影曲线 空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地： 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
xoz面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
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轴旋转, 绕z轴旋转 所得旋转曲面的方程为 轴旋转
x = [ϕ (t )]2 + [ψ (t )]2 cos θ , α≤t≤β 2 2 ） y = [ϕ (t )] + [ψ (t )] sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π （*） z = ω (t ). 这是因为, 固定一个t, 这是因为 固定一个 得 Γ上一点M 1 (ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )), 点 M 1
x = a sin ϕ cos θ , y = a sin ϕ sin θ , z = a cos ϕ .
0≤ϕ ≤π
z
绕z轴旋转所得 如图), 故球面方程为 轴旋转所得(如图 轴旋转所得 如图
0≤ϕ ≤π 0 ≤ θ ≤ 2π
O
y
x
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第四节
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、 空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线 空间曲线 可看作空间两曲面的交线. 可看作空间两曲面的交线
部点. 部点
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例 4 如果空间一点 M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 轴旋转， 角速度ω 绕 z轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于 z 轴的正方向上升（ 都是常数）， ），那么点 轴的正方向上升（其中ω 、 v都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线．
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
空间曲线的一般方程
z
S1 S2
C
特点： 特点：曲线上的点都满足 方程， 方程，满足方程的点都在 曲线上， 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 不能同时满足两个方程
o
x
y
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1 （2）因为曲线在平面 z = 上， ） 2 面上的投影为线段. 所以在 xoz 面上的投影为线段
1 3 z = | x |≤ ; 2, 2 y = 0 面上的投影也为线段. （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段 ） 1 z = 2, x = 0 3 | y |≤ . 2
球心在坐标原点， 球心在坐标原点，半径为 a 的上半球面, 的上半球面 2
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a 2 a 2 (x − ) + y = 2 4
母线平行于z轴的圆柱面 母线平行于 轴的圆柱面, 它的 轴的圆柱面 准线是xOy面上的圆 这圆的圆 面上的圆,这圆的圆 准线是 面上的圆 a a ，半径为 . 心在点 ,0 2 2 交线如图. 交线如图
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x2 + y2 = 1, 例1 方程组 表示怎样的曲线? 表示怎样的曲线 2x + 3z = 6
解 方程组中第一个方程表示 母线平行于z轴的圆柱面 轴的圆柱面, 母线平行于 轴的圆柱面 其准 面上的圆, 线是 xOy 面上的圆 圆心在原 半径为1. 点O,半径为 半径为 方程组中第二个方程表示一个 母线平行于y轴的柱面 轴的柱面, 母线平行于 轴的柱面 由于它 的准线是zOx面上的直线 因此 面上的直线, 的准线是 面上的直线 它是一个平面. 它是一个平面 方程组就表示上述平面与圆柱 面的交线, 如图所示. 面的交线 如图所示