一类二次型独立的充要条件的简捷证明

定理… ： 设矩阵 Ｃ 一 ＝ ， ， Ｃ ， １ ……， ， 向量 ～ ，）则二次型 Ｃ ，＝１ …… ， 相互独 ｉ ｋ 随机 Ⅳ （ ， ， ｘｉ ， ｋ
立 的充 要 条件 为
Ｃ Ｃ ＝０ ｉ ，≠ （） １
在 １６ ９ ２年 以前 ， 后有 五 、 先 六个证 明 ， 往 往都 有 错 。张 润 楚 在 Ｃ ， ＝１ … … ， 等 幂 阵 的 时 但 ｉ ， ｋ是
Ｋｅ ｒ ： ｙ ｙ ｗｏ ｄｓ ｓ ｍｍｅｒｃ ｌｍ ａｒｘ； ｕ ｕ ｌｙ ｉ ｄ ｐ ｎ ｎ ； ｒｈｏ ｏ ａ ｒ ｎ ｆｒ ａ ｉｎ ｔｉａ ｔｉ ｍ ｔ ａｌ ｎ ｅ ｅ ｄｅ ｔ ｏｔ ｇ ｎ ｌｔａ ｓｏ ｍ ｔ ｏ
０ 引 言
一
类 二次 型独立 的充要 条 件最早 由 Ｃ ａ ｒｉ 提 出来 的 ， ｇ… 内容 如下 ：
定理 设矩 阵 Ｃ Ｃ ，＝１ … … ， ， ｉ ， ｋ 随机 变量 一 （ ，） 则 二 次型 Ｃ ， ＝１ …… ， Ⅳ ， ， ｘｉ ， ｋ相互 独 立
ＣＬ ＝０， Ｃｉ ｔ ≠ｊ
的充要 条 件为 充分 性 ： Ｃ Ｃ ＝ ｉ ，， １ … … ， Ｃ ＝Ｃ 及 ０， ｉ ＝ ， ｋ
候 证 明 了该定理 。我 国著 名概 率统计 学 家许宝 禄教 授 于 １６ ９２年 给 出 了该定 理 的正确 的证 明 。其 中关
键 的一步 是引理 的证 明 。
引理 … 设 Ａ、 Ｂ为 ｎ阶对称 阵它们 的非零 特 征根 为 ｛ … … ， ， ， Ａ， Ａ｝｛ 征根 正好 为 ｛ … 一 Ａ ， Ａ ， …－， ｝ － 。则 Ｂ Ａ ０ Ａ＝ Ｂ＝
ＬＩ Ｂａ ｈｕｉ Ｕ ｏ
（ ｃ ｏｌ ｆ ｉａ ｃ ｎ ｃｎ ｉｓＱｎ ｈ ｉ ｎｖｒｉ ， ｉｉｇ８ ０ １ Ｃ ｉａ Ｓ ｈｏ ｏ ｎ ｎｅａｄＥ ｏ ｍ ｃ ， ｉｇａ Ｕ ｉｅｓｙ Ｘ ｎｎ １０ ６， ｈｎ ） Ｆ ｔ
Ａｂ ｔ ｃ Ａ ｉ ｌ ｎ ｄｒ ｃ ｅ ｎ ｔａ ｉｎ ｏ ｈｅ ｎ ｃ ｓ ｅ ｙ ａ ｄ ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｃ ｎ ｉｉｎ ｏ ｉ ｄ ｏ ｓ ｒ ｔ： ｓｍｐ ｅ ａ ｄ ｉｅ ｔｄ ｍｏ ｓｒ ｔ ｎ ｔ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕ ｏ ｉ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｆ ａ ｋ ｎ ｆ ｏ ｑ ｄ ａｉ ｏ ｍ ｎ ｅ ｅ ｄｅ ｃ ｓ ｇｖ ｎ ｏ ｔｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒａ ｄ ｔ ｉ ｓ ｉ ｓ ｉｅ ｎ ｅ ｈ ｅ ｎ ｔａｉｎ ｕａ ｒ ｔｃ ｆ ｒ ｉ ｄ ｐ ｎ ｎ ｅ ｉ ｉ ｅ ｕ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｈｓ ｉ ｎ ｐ ｒ ｄ ｕ ｄ ｒｔ ｅ ｄ ｍｏ ｓｒ ｔｏ ｏ ｈ ａ ｕｅ ｔｏ ｄ ｙ ｐ ｏ ． ｏｕ， ａ ｕ ｒ ｂ ｂ ｌ ｙ ｓａｉｔｃａ ｎ Ｃｈ ｎ ． ｎ ｔ ｅ ｓ ｍｅ ｑ ｓｉｎ ｍａ ｅ ｂ ｒ ｆ Ｘｕ Ｂａ ｌ ａ ｆｍｏ ｓ ｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｔ ｔ ｉｉ ｎ ｉ ｉ ａ ｉ ｓ
Ａ ・Ｉ… ｉ‘ … ＝． ＝‘ ｌ Ａ１ ［ ， ， Ａ］ ０ｊ “
Ａｉ ＝ Ａ ＝Ｆ ＦＦ ｒ Ｃ
＝
Ｆ Ｃ ｒ
∑ ｆ Ｙ ＥＡ Ｇ“
ｉ １… 一ｋ ＝， ，
令 人。 ＝ｒ ｒ， ＝ｒ ＣＦ， 由上式 可得
ｘＣｘ ｔ ｉ＝
≠ｊｉｊ ， … ， ，，＝１ … ｋ
２１ ０ １年 ２月
一
类 二 次 型 独 立 的 充 要 条 件 的 简 捷 证 明
刘 宝 慧
（ 海 大学 财 经学 院 ， 海 西 宁 青 青 ８０１） １０ ６
摘要： 本文在 概 率统计 学 家许 宝禄 教授 关 于一类二 次型独 立的 充要 条 件 的证 明的启 示下 。 出 给
… 一， ｝ 。如果 ＋Ｂ特
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解 淑 清等 在 １９ ９ ０年提 出了一种 证法 ， 李宏 忠 在 ２ ０ 又发 表 了这个 引理 的另 一种 证法 。 ０ ３年 本 文 在许 宝禄 教授证 明 的启示下 ， 给出 了定理 的一个 比文 献 ［ ］ １ 简捷 的证 明 。
１ 主 要 定 理
收 稿 日期 ：０ ０—１ ２ １ ０—１ ２ 作 者 简 介 ： 宝 慧 （ ９２ ） 女 ， 刘 １７ 一 ， 河北 涞 源人 ， 教 。 助
第 １期
刘 宝慧 ： 一类 二次 型独 立 的充 要条 件 的简捷 证 明
８ ９
０＝（ ）＝ ｃ ＝ ｃ Ｃ
从而
Ｃ ＝ Ｊ ， １……， Ｃｃ ， ｉ ： ， ｉ ， ｋ
青 海大 学学报
第２ ９卷
２ 证 明
（ ）反证 法证 明当 Ｃ 与 １ 独 立 时 ，＃ｊｉ ＝１ … … ， Ａ ， ｊ 对 角 阵 ， Ａ 不 是对 角 阵 ， ｉ ，， ， ， Ａ 是 若
第２ ９卷
第 １期
青 海 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ（ ａ ｒ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｈ ｉ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ Ｑ ｅｉ ｕ ｅ
Ｖ０ ． ９ Ｎｏ １ ２ ．１ Ｆｂ２ ｌ ｅ ． ０ｌ
了一 个更 简捷 的证 明。
关 键词 ： 对称 阵 ； 相互独 立 ； 交变换 正
中图分 类号 ： ２ ２ ４ Ｏ １ ．
文献标 志码 ： Ｂ
文章编 号 ：０ ６— ９ ６ ２ １ ） １— ０ ８— ３ １０ ８ ９ （０ １ ０ ０ ８ ０
Ｄｅ ｏ ｔ ａ ｉ ｎ ｎ ｔ ｅ ｎｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｓ ｆ ｃ ｅ ｏ ｉｉ ｎ ｍ ｎｓ ｒ ｔｏ ｏ ｈ ｃ ｓ ｅ ｙ ａ ｄ ｕ ｉ ｉｎｔ ｃ ｎｄ ｔｏ ｏ ｉ ｄ ｏ ｕａ ｒ ｔｃ ｆ ｒ ｎ ｐ ｎｄ ｎｃ ｆａ ｋ ｎ ｆ ｑ ｄ ａ ｉ ｏ ｍ ｉ ｄｅ ｅ ｅ ｅ