2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附标准答案)
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附规范标准答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ2OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，则A为（）B．[，2]C．{，2}D．{，1，2}2.已知复数。
是z的共轭复数，则=（）___．3.曲线y=。
在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣24.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（﹣。
），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q46.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100B．200C．300D．4007.如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8.设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x ﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞6}D．{x|x＞2或x＜﹣2}9.若。
α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．5πa211.已知函数。
若a，b，c互不相等，且f（a）=2=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12.已知双曲线E的中心为原点，P（3，）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）改写】1.原文中有明显的格式错误和缺失，需要进行排版和补充。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
【分析】要求∫ f〔 x〕dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．〔 5 分〕〔2021?XX〕正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥〔其他正确答案同样给分〕〔写出三种〕【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可答复此题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱〔放倒的情形〕、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．〔 5 分〕〔2021?XX〕过点 A〔4，1〕的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B〔2，221〕，那么圆 C 的方程为〔x﹣3〕+y =2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A〔4，1〕，过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为〔 x﹣a〕2+〔 y﹣b〕2=r2，那么，解得，故所求圆的方程为〔 x﹣ 3〕2+y2 =2．故答案为：〔 x﹣3〕2 +y2=2．16．〔5 分〕〔2021?XX〕在△ ABC中，D 为边 BC上一点，BD= DC，∠ ADB=120°，AD=2，假设△ ADC的面积为，那么∠ BAC= 60° ．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ ADC 的面积求得 DC，进而根据三角形ABC的面积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得 AB．最后在三角形 ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠ BAC的值．【解答】解：由△ ADC的面积为可得解得，那么．AB2=AD2 +BD2﹣2AD?BD?cos120°=，，那么=．故∠ BAC=60°．三、解答题〔共8 小题，总分值 90 分〕17．〔 12 分〕〔2021?XX〕设数列满足a1=2，a n+1﹣ a n =3?22n﹣1（1〕求数列 { a n} 的通项公式；（2〕令 b n=na n，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n．【分析】〔Ⅰ〕由题意得 a n+1=[ 〔a n+1﹣ a n〕+〔 a n﹣a n﹣1〕+⋯+〔 a2﹣a1〕]+ a1=3〔22n ﹣1+22n﹣3+⋯+2〕+2=22〔n+1〕﹣1．由此可知数列 { a n} 的通项公式为 a n =22n﹣1．〔Ⅱ〕由 b n=na n=n?22n﹣1知 S n=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：〔Ⅰ〕由，当 n≥1 时， a n+1=[ 〔a n+1﹣a n〕+〔a n﹣ a n﹣1〕+⋯+〔 a2﹣a1〕]+ a1=3〔22n﹣1+22n﹣3+⋯+2〕+2=3×+2=22〔n+1〕﹣1．而a1=2，所以数列 { a n} 的通项公式为 a n=22n﹣1．〔Ⅱ〕由 b n=na n=n?22n﹣1知 S n=1?2+2?23+3?25+⋯+n?22n﹣1①从而 22S n=1?23+2?25 +⋯+n?22n+1②①﹣②得〔 1﹣22〕?S n =2+23+25+⋯+22n﹣1﹣n?22n+1．即．18．〔 12 分〕〔2021?XX〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形， AB ∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 中点〔 1〕证明： PE⊥BC〔 2〕假设∠ APB=∠ADB=60°，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值．【分析】以 H 为原点， HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．〔 1〕表示，，计算，就证明PE⊥BC．〔 2〕∠ APB=∠ADB=60°，求出 C，P 的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点， HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，那么A〔1，0，0〕，B〔0，1，0〕〔Ⅰ〕设 C〔m，0，0〕，P〔0，0， n〕〔m＜ 0， n＞ 0〕那么．可得．因为所以 PE⊥BC．〔Ⅱ〕由已知条件可得m=，n=1，故C 〔﹣〕，设 =〔x，y，z〕为平面 PEH的法向量那么即因此可以取，由，可得所以直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值为．19．〔 12 分〕〔2021?新课标〕为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性男女别是否需要志愿需要4300不需要126700（1〕估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2〕能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3〕根据〔 2〕的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P〔 k2＞0.00.0100.001k〕k 3.841 6.63510.828【分析】〔1〕由列联表可知调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2〕根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进展比拟，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3〕从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：〔1〕∵调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2〕根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3〕由〔2〕的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．〔 12 分〕〔2021?XX〕设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1斜率为 1 的直线 ? 与 E 相交于 A，B 两点，且 | AF2| ， | AB| ， | BF2|成等差数列．（1〕求 E 的离心率；（2〕设点 P〔 0，﹣ 1〕满足 | PA| =| PB| ，求 E 的方程．【分析】〔I〕根据椭圆的定义可知 | AF2|+| BF2|+| AB| =4a，进而根据 | AF2| ，| AB| ，| BF2| 成等差数表示出 | AB| ，进而可知直线 l 的方程，设 A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入直线和椭圆方程，联立消去 y，根据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2进而根据，求得 a 和 b 的关系，进而求得a 和 c 的关系，离心率可得．〔 II〕设 AB的中点为 N〔 x0，y0〕，根据〔1〕那么可分别表示出x0和 y0，根据 | PA| =| PB| ，推知直线 PN 的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：〔I〕由椭圆定义知 | AF2|+| BF2|+| AB| =4a，又 2| AB| =| AF2|+| BF2| ，得，l 的方程为 y=x+c，其中．设 A〔x1，y1〕，B〔x2， y2〕，那么 A、B 两点坐标满足方程组化简的〔 a2+b2〕 x2+2a2cx+a2〔c2﹣ b2〕=0那么因为直线 AB 斜率为 1，| AB| = | x1﹣x2| =，得，故 a2=2b2所以 E 的离心率〔 II〕设 AB的中点为 N〔 x0，y0〕，由〔 I〕知，．由| PA| =| PB| ，得 k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆 E的方程为．21．〔 12 分〕〔2021?XX〕设函数 f〔 x〕 =e x﹣ 1﹣ x﹣ax2．（1〕假设 a=0，求 f〔x〕的单调区间；（2〕假设当 x≥0 时 f〔 x〕≥ 0，求 a 的取值X围．【分析】〔1〕先对函数 f〔x〕求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．〔 2〕根据 e x≥1+x 可得不等式 f ′〔x〕≥ x﹣2ax=〔1﹣2a〕 x，从而可知当 1﹣2a ≥ 0，即时，f〔′ x〕≥ 0判断出函数f〔x〕的单调性，得到答案．【解答】解：〔1〕a=0 时， f〔x〕=e x﹣1﹣x，f ′〔x〕=e x﹣1．当 x∈〔﹣∞， 0〕时， f'〔 x〕＜ 0；当 x∈〔 0， +∞〕时， f'〔x〕＞ 0．故f〔 x〕在〔﹣∞， 0〕单调减少，在〔 0，+∞〕单调增加〔 II〕 f 〔′ x〕=e x﹣1﹣2ax由〔 I〕知 e x≥ 1+x，当且仅当 x=0 时等号成立．故f ′〔x〕≥ x﹣2ax=〔1﹣2a〕x，从而当 1﹣ 2a≥0，即时， f ′〔x〕≥ 0〔x≥0〕，而 f〔0〕=0，于是当 x≥0 时， f〔 x〕≥ 0．由 e x＞1+x〔x≠0〕可得 e﹣x＞1﹣x〔x≠0〕．从而当时， f ′〔x〕＜ e x﹣ 1+2a〔 e﹣x﹣1〕=e﹣x〔e x﹣ 1〕〔e x﹣2a〕，故当 x∈〔 0，ln2a〕时， f'〔 x〕＜ 0，而 f 〔0〕=0，于是当 x∈〔 0，ln2a〕时，f 〔 x〕＜ 0．综合得 a 的取值X围为．22．〔 10 分〕〔2021?新课标〕如图：圆上的弧，过C点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点，证明：〔Ⅰ〕∠ ACE=∠ BCD．〔Ⅱ〕 BC2=BE?CD．【分析】〔I〕先根据题中条件：“ 〞，得∠ BCD=∠ABC．再根据 EC是圆的切线，得到∠ ACE=∠ABC，从而即可得出结论．2．即证．故只须证明△～△即可．〔 II〕欲证 BC=BE x CD BDC ECB【解答】解：〔Ⅰ〕因为，所以∠ BCD=∠ABC．又因为 EC与圆相切于点 C，故∠ ACE=∠ABC所以∠ ACE=∠BCD．〔5 分〕〔Ⅱ〕因为∠ ECB=∠CDB，∠ EBC=∠BCD，所以△ BDC～△ ECB，故．2×．〔分〕即 BC10=BE CD．〔10分〕〔新课标〕直线1〔t 为参数〕，C2232021?C...〔θ为参数〕，〔Ⅰ〕当α=时，求 C1与 C2的交点坐标；〔Ⅱ〕过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当α变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】〔I〕先消去参数将曲线 C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II〕设 P〔x，y〕，利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：〔Ⅰ〕当α=时， C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得 C1与 C2的交点为〔 1，0〕．〔Ⅱ〕 C1的普通方程为 xsin α﹣ycosα﹣sin α=0①．则OA 的方程为 xcosα+ysin α=0②，联立①②可得 x=sin2α， y=﹣cos α sin；αA 点坐标为〔 sin2α，﹣cos α sin〕α，故当α变化时， P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．〔 10 分〕〔2021?新课标〕设函数 f 〔x〕=| 2x﹣ 4|+ 1．〔Ⅰ〕画出函数y=f〔 x〕的图象：〔Ⅱ〕假设不等式f〔 x〕≤ ax 的解集非空，求a 的取值X围．【分析】〔I〕先讨论 x 的X围，将函数f〔x〕写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；21......〔θ为参数〕，〔Ⅰ〕当α=时，求 C1与 C2的交点坐标；〔Ⅱ〕过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当α变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】〔I〕先消去参数将曲线 C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II〕设 P〔x，y〕，利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：〔Ⅰ〕当α=时， C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得 C1与 C2的交点为〔 1，0〕．〔Ⅱ〕 C1的普通方程为 xsin α﹣ycosα﹣sin α=0①．则OA 的方程为 xcosα+ysin α=0②，联立①②可得 x=sin2α， y=﹣cos α sin；αA 点坐标为〔 sin2α，﹣cos α sin〕α，故当α变化时， P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．〔 10 分〕〔2021?新课标〕设函数 f 〔x〕=| 2x﹣ 4|+ 1．〔Ⅰ〕画出函数y=f〔 x〕的图象：〔Ⅱ〕假设不等式f〔 x〕≤ ax 的解集非空，求a 的取值X围．【分析】〔I〕先讨论 x 的X围，将函数f〔x〕写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；21...。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案
2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案( 宁夏、吉林、黑龙江、海南)（新课标）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式： 样本数据nx x x ,,21的标准差锥体体积公式(n s x x =++- 13V Sh = 其中x为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π= 343V R π= 其中S为底面面积，h为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2](C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)i z i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z •=A. 14B.12C.1D.2(3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （5）已知命题1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数，P 0Poyx22p ：函数22xxy -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400（7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x xx =-≥，则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=-(A)12-(B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A) 22136x y -= (B) 22145x y -=(C)22163x y -= (D)22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合A{xR|x |2}},B{xZ|x4},则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2} (2)已知复数 z3i2 (13i) ，z 是z 的共轭复数，则zz=(A)1 4(B)1 2(C)1(D)2x在点(1,1)处的切线方程为 (3)曲线yx2(A)y2x1(B)y2x1(C)y2x3(D)y2x2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2,2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为d 2 tOπ 4ABCD(5)已知命题xxp ：函数y22在R 为增函数， 1xxp ：函数y22在R 为减函数， 2则在命题 q ：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：p 1p 2和q 4：p 1p 2中，真命1 题是（A ） q ，1 q （B ） 3 q ， 2 q （C ） 3 q ， 1 q （D ） 4q ， 2 q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再 补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 开始 (A)100（B ）200 输入N (C)300（D ）400k=1,S=0 (7)如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于(A) 5 4 （B ）4 5(C) 6 5 （D ）5 61S=S+k(k+1) k<N 否 输出Sk=k+1 是(8)设偶函数f(x)满足 3 f(x)x8(x0)，结束则{x|f(x 2)0}(A){x |x2或x4}(B){x |x0或x4} (C){x |x0或x6}(D){x |x2或x2}(9)若cos 45 ，是第三象限的角，则 1tan 1tan2 2(A)1 2(B)1 2(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2 a(B)7 3 2 a(C)11 3 2 a(D)2 5a|lgx|,0x10,(11)已知函数 f x ()12x6,x10.若a,b,c 互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc 的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15),则E 的方程式为(A) 22 xy 36 1 (B) 22 xy 45 1 (C) 22 xy 63 1 (D) 22 xy 541第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试求做答。
2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2010高考全国新课标卷数学(含解析)
AB2 +AC2 -BC2 1 = , ∠ BAC =60 ° 2AB ⋅ AC 2
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 设数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 − an = 3i 2 （1） 求数列 {an } 的通项公式；
2 n −1
而 a1 = 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an = 22 n −1 。 （Ⅱ）由 bn = nan = n ⋅ 22 n −1 知
Sn = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 25 + ⋯ + n ⋅ 2 2 n −1
从而
①
22 ⋅ S n = 1 ⋅ 23 + 2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 27 + ⋯ + n ⋅ 22 n +1
（2） 令 bn = nan ，求数列的前 n 项和 Sn
解： （Ⅰ）由已知，当 n≥1 时，
an+1 = [(an+1 − an ) + (an − an−1 ) + ⋯ + (a2 − a1 )] + a1
= 3(22 n −1 + 22 n −3 + ⋯ + 2) + 2
= 22(n +1)−1 。
x
1 t
利用复合命题真值表，显然 p1 ∨ p2 ， p1 ∧ ( − p2 ) 为真命题，选 C 命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再
- 2 -
补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）
理科数学试题
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|
4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=
（A)(０，2） （B)[０，2] (C ）{０,2] (D ）{0,1，2｝ (2)已知复数2
3(13)
i
z i +=
-，z 是ｚ的共轭复数,则z z ⋅= (Ａ)
14 (B)1
2
(C) 1 （D)2 （３)曲线2
x
y x =+在点(1,1)--处的切线方程为
(Ａ）21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- （D ）
22y x =--
（４)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
0(2,2)P -,角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的
函数图像大致为
t
d
π2
O
A B Ｃ D
(5)已知命题
1p :函数22x x y -=-在Ｒ为增函数，
2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，
则在命题1q ：12p p ∨,2q :12p p ∧,3q ：()12p p ⌝∨和4q :()12p p ∧⌝中，真命题是
(A)1q ,3q （B)2q ,3q (C ）1q ，4q (Ｄ)2q ,4q
(6）某种种子每粒发芽的概率都为0.９,现播种了10０0粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种２粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为 (A)1０0 (Ｂ)2０0 (C)300 (D)40０
（７)如果执行右面的框图，输入5N =,则输出的数等于
（A)54 （Ｂ)45
（Ｃ）65 （D)56
(8)设偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥, 则{|(2)0}x f x ->=
(Ａ) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 （C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或
(９)若4cos 5α=-，α是第三象限的角,则
1tan
21tan 2
α
α+=- (A) 12-ﻩ(B) 1
2
ﻩﻩ （C) ２ (D) 2-
（1０）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为
（Ａ) 2
a πﻩ(B)
273a πﻩ （C) 211
3
a π ﻩ(D ） 25a π (１1)已知函数|lg |,010,()16,10.2
x x f x x x <≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等,且()()(),f a f b f c ==则abc
的取值范围是
(A ） (1,10) ﻩ（B ） (5,6)ﻩﻩ(C) (10,12) ﻩ (D ） (20,24)
(12)已知双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点，
且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为。