工程数学统计与概率的主要方法和知识点

1

工程数学概率论与数理统计的主要方法与知识点 整理者：万明贵 总述

Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？

答：概率论与数理统计研究的对象是随机问题。

Ⅱ．概率与数理统计研究的主要内容是什么？

答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。

Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？

答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。

第一章 概率论的基本概念

3．事件之间有几种关系？

答：事件之间有四种关系—包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.

4．事件间有几种运算？

答：事件间有三种运算—和（或并），积（或交），差。

8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？

答：具有以下两个特点的试验，称为古典概型（或等可能概型）

① 试验的样本空间S 只包含有限个元素，即} , , ,{21n e e e S =；

② 每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n e P e P e P === . 若要计算古典概型中事件A 的发生的概率，须先确定试验的样本空间S 中基本事件总数n ，再计算导致事件A 发生的基本事件个数k （即A 包含的基本事件个数），从而在古典概型中事件A 发生的概率为n

k A P =

)(. 9．计算概率的常用公式有哪些？

答：计算概率的常用公式有 （1）古典概型中事件概率的计算公式 中基本事件的总数

包含的基本事件数S A n k A P ==

)(. （2）几何概型中事件概率的计算公式 的度量样本空间的度量图形S A S L A L A P ==)()()(. （3）若n A A A , , ,21 是两两互斥的事件，则

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= .

1

（4）逆事件的概率计算公式 )(1)(A P A P -=.

（5）加法公式 对于任意事件A 和B ，有)()()()(AB P B P A P B A P -+= . 推广 ① )()()()()()(3221321321A A P A A P A P A P A P A A A P --++=

)()(32131A A A P A A P +-.

② ∑∑∑≤<<≤≤<≤=+-=n k j i k

j i n

j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 11121)()()()( )()

1(211n n A A A P --+-. （6）条件概率计算公式 )

()()|(A P AB P A B P =，)0)((>A P . （7）乘法公式 设0)(>A P ，则)|()()(A B P A P AB P =.

① 设C B A , ,为事件，且0)(>AB P ，则)|()|()()(AB C P A B P A P ABC P =. ② 设n A A A , , ,21 为n 个事件，2≥n ，且0)(121>-n A A A P ，则

)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P .

（8）全概率公式 ∑==n

i i

i B A P B P A P 1)|()()(. （9）贝叶斯（Bayes ）公式 )

()|()()|(A P B A P B P A B P i i i =，) , ,2 ,1(n i =. （10）若B A ,独立，则)()()(B P A P AB P =.

（11）相互独立事件n A A A , , ,21 至少发生一个的概率计算公式

)()()(1)(2121n n A P A P A P A A A P -=.

（12）二项概率公式 k n k k n n p p C k P --=)

1()() , ,2 ,1 ,0(n k =. 11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式?

答: 关于全概率公式应注意以下几点

① 全概率公式1

()()(|)n k k

k P A P B P A B ==∑形式上是概率加法公式和乘法公式的综合; ② 全概率公式中体现的思想是分解，即把复杂事件A 分解成简单事件之和的形式： n k k AB

1=. 上面所述A 是复杂事件，主要指求A 的概率比较困难；而称k AB 是简单事件，

是指k AB 的概率容易求，即()()(|)k k k P AB P B P A B =常常是容易求得的。

③ 使用全概率公式的问题，一般都有二个层次：第一个层次是原因事件，第二个层次是结果事件，在全概率公式中，诸k B 便是原因事件，A 是结果事件。全概率公式处理的问题一般都是“由原因索结果”的问题。

贝叶斯公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下，

1

求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求)|(1A B P ，当)(A P （常用全概率公式计算），

)(1B P ，)|(1B A P 较易求得时，

就要用贝叶斯公式，处理的问题恰好是“由结果追原因的”。明白了这一点使用全概率公式和贝叶斯公式就容易多了。

第二章 随机变量及其分布

3．概率密度函数有哪些性质？

答：概率密度函数有以下性质

① 0)(≥x f ；

② 1)( =?∞+∞-dx x f ；

③ 对于任意实数21 ,x x )(21x x <，有 ?

=-=≤<21 1221)()()(}{x x dx x f x F x F x X x P ；

④ 若)(x f 在点x 处连续，则有)()(x f x F ='； ⑤ 连续型随机变量X 取某一数值a 的概率为0，即0}{==a X P .

其中性质①与②是概率密度函数的特征性质。若某函数)(x f 满足这两条特征性质，则)(x f 一定是某个连续型随机变量的概率密度。

5． 为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？

答：主要表现在三个方面

① 正态分布有极其广泛的实际背景。在客观实际中有许多随机变量，它是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，如:在任一指定时刻，一个城市的耗油量是大量用户耗油量的总和；一个实验的测量误差是许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们都服从或近似服从正态分布。 ② 有些分布（如二项分布）的极限分布是正态分布。

③ 有些分布（如2

χ分布、t 分布）又可以通过正态分布导出。

所以，无论在实际中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布。

6．常见随机变量的概率分布有哪些？

答：常见的离散型随机变量的概率分布主要有

① )10(-分布 设随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是 k k p p k X P --==1)1(}{，)1 ,0(=k )10(<

② 二项分布 设X 表示n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p A P =)(. 随机变量4 X 的分布律为

1

k n k k n p p C k X P --==)1(}{,) , ,2 ,1 ,0(n k =.

记作) ,(~p n b X .

③ 泊松分布 设随机变量4 X 的所有可能取值为 ,2 ,1 ,0，它的分布律是

λ-λ==e k k X P k

!

}{，) ,2 ,1 ,0( =k . 其中0>λ是常数，记为)(~λπX （或)(~λP X ）.

其中，二项分布是非常重要的一种分布，特别当1=n 时二项分布化成)10(-分布；

当∞→n 时，二项分布以泊松分布为极限分布。

常见的连续型随机变量的概率分布主要有

① 均匀分布 随机变量4 X 概率密度函数为：

?????<<-=其他

,0 ,1)(b x a a b x f ，

记为),(~b a U X . 其分布函数为

?????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,

1,,0)( ② 指数分布 随机变量4 X 概率密度函数为：

??

???≤>=-0 ,00 ,1)(x x e x f x θθ.

其分布函数为 ?????≤>-=-0

,00 ,1)(x x e x F x θ.

③ 正态分布 随机变量4 X 具有概率密度：

222)(21)(σμ--σπ=

x e x f ，)(+∞<<-∞x . 记为) ,(~2σμN X . 其分布函数为

?∞-σμ--σπ=x t dt e x F 2)(221

)(，)(+∞<<-∞x .

特别，当1 ,0=σ=μ时，称X 服从标准正态分布，即)1 ,0(~N X .

第三章 多维随机变量及其分布

1

1．如何判定一个二元函数是某个随机变量) ,(Y X 的概率密度？

答：若二元函数) ,(y x f 具有以下两条特征性质

①0) ,(≥y x f ；

② 1) ,( =??∞+∞-∞+∞-dxdy y x f .

则二元函数) ,(y x f 一定是某个二维随机变量) ,(Y X 的概率密度函数。

3．如何由联合分布确定两个边缘分布？

答：二维随机变量) ,(Y X 作为一个整体，具有分布函数) ,(y x F ，而是随机变量，设它们的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y ，则有

对于离散型随机变量) ,(Y X ，设) ,(Y X 的分布律为

) ,2 ,1 ,( =j i ，

则) ,(Y X 关于关于边缘分布律分别为

) ,2 ,1( =i .

) ,2 ,1( =j .

对于连续型随机变量) ,(Y X ，设它的概率密度为) ,(y x f ，则) ,(Y X 关于关于边缘概率密度分别为

?∞+∞-= ) ,()(dy y x f x f X ，?∞+∞-= ) ,()(dx y x f y f Y .

5．怎样判别随机变量X 与Y 相互独立？

答：设) ,(y x F 及)(x F X ，)(y F Y 分别是二维随机变量) ,(Y X 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的}{}{} ,{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，即则随机变量X 和Y 是相互独立的。

则随机变量X 和Y 是相互独立的。

当) ,(Y X 是离散型随机变量时，X 和Y 是相互独立的条件可化为：对于) ,(Y X 的所有可能取的值) ,(j i y x ，有EMBED Equation.3}{}{j i y Y P x X P =?==；

当) ,(Y X 是连续型随机变量时, ) ,(y x f ，)(x f X ，)(y f Y 分别) ,(Y X 的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 是相互独立的条件可化为：对一切的总有EMBED

Equation.3)()(y f x f Y X ?.

第四章 随机变量的数字特征

1．随机变量的数字特征有哪些？

答：随机变量数字特征有：数学期望、方差、矩、协方差、相关系数。

2．随机变量的分布与数字特征有何关系？

答：随机变量的分布完全确定数字特征，反之则不然。

4．数学期望有哪些性质？

答：数学期望具有几个重要性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）.

①设常数，则有

②设一个随机变量，常数，则有

③设两个随机变量，则有

推广设随机变量，常数，则有

④设两个相互独立的随机变量，则有

推广设相互独立的随机变量，则有

5．方差有哪些性质？

答：方差具有以下重要性质（设所遇到的随机变量其方差存在）.

①设常数，则有

②设随机变量，常数，则有

③设两个随机变量，则有

特别，若互独立，则有

推广设相互独立的随机变量，常数，则有

④充要条件是概率常数即显然，这里

6．常用分布的期望、方差是什么？

答：①布：

②二项分布③泊松分布④均匀分布⑤指数分布：⑥正态分布

③泊松分布④均匀分布⑤指数分布：⑥正态分布

④均匀分布⑤指数分布：⑥正态分布

⑤指数分布：⑥正态分布

⑥正态分布

1

1

第五章 大数定律及中心极限定理

1．大数定律说明什么问题？

答：在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。

2．中心极限定理的意义是什么？

答：中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的总和的分布渐近地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量独立的因素中每项因素的影响是均匀的，微小的没有一项因素起特别突出的影响。那么就可以断言，这些随机变量的和的分布，近似于正态分布。

第六章 样本及抽样分布

2.常用的统计量有哪些？

答：常用的统计量有

① 样本均值

② 样本方差

③ 样本原点矩

④ 样本中心矩

3．正态总体的某些常用抽样分布有哪些？

答：设总体来自总体一个样本，样本均值，样本方差，则有

① EMBED Equation.3),(~2

n

N σμ； ②

③

④

4.布、布、布及正态分布之间有哪些常见的关系？

答：① 正态分布与布：设随机变量立且同服从正态分布则

② 正态分布，布与布：如果随机变量且互独立，则

③ 布与布：如果且互独立，则

④ 布与布：如果且互独立，则

⑤布与布：若则

⑥布与布：若则

第七章参数估计

1．常用的点估计法有哪些？

答：在参数估计中，常用的点估计方法有三种：顺序统计量法、矩估计法、极大似然估计法。

2．矩估计法的步骤是什么？

答：设来自总体一个样本，总体分布中的两个未知参数，用矩估计法估计未知参数的做法是

①求出总体一阶原点矩二阶原点矩表达式中含有参数

②求出样本的一阶原点矩二阶原点矩

③令这是一个含有两个未知量个方程的方程组，解之可得矩估计。

3．极大似然估计法的步骤是什么？

答：设来自总体一个样本，总体分布中的未知参数，则求参数极大似然估计的步骤为：

①求出似然函数

②列出似然方程对数似然方程

③求解似然方程，得出极大似然估计值为

6．评价估计量好坏的常用标准是什么？

答：评价估计量好坏的常用标准是无偏性，有效性，一致性。

第八章假设检验

1．假设检验的依据是什么？

答：假设检验的依据是“实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。

2．假设检验可能产生的两类错误是什么？

答：第一类错误：真但拒绝了称此类错误为“弃真”；

第二类错误：假但接受了称此类错误为“取伪”。

3．假设检验的一般步骤是什么？

答：假设检验的一般步骤是

①根据给定问题提出原假设备择假设

1

②选取适当的统计量，并在原假设立的条件下确定其分布；

③给定显著性水平确定检验的拒绝域和接受域；

④根据样本观察值计算统计量的观察值；

⑤做出判断。

1