数学在社会科学中的应用

《红楼梦》的作者是谁
一般认为，每个人使用某些词的习惯是特有的。

于是贤平教授用大康先生对每个回目所用的47个虚字（之，其，或，亦等）出现的次数（频率），作为《红楼梦》各个回目的数字标志，然后用数学方法进行比较分析，看看哪些回目是出自同一个人的手笔。

最后教授得出了许多新结果：
·前80回与后40回之间有交叉
·前80回事雪芹据《石头记》写成，中间插入《风月宝鉴》和一些别的添加成分。

·后40回是雪芹亲友将雪芹的草稿整理而成。

宝黛故事为一人所写，贾府衰败情景为另一人所写。

关于人与人之间关系的数学描述
对于一小群人来说，可通过定义这群人上的一组二元关系（布尔矩阵）来刻画他们之间的有意义的关系。

例如，由于友谊或在某些背景下，哪些成员于另外哪些成员有来往。

可用这样的（0,1）——布尔矩阵A（i）表达这种二元关系，如，成员j与成员k有关系i，则
A（i）kj=0.一个问题是将这样的一个或一组矩阵分解成块，使同一块中的两个成员与其他成员有相同关系；另一种方法是，设在有A（i）生成的诸布尔矩阵的半环上有一半环同态，然后将这一群人分组。

数学在军事中的应用
军事运筹学是应用数学工具和现代计算技术对军事问题进行定量分析，为决策提供数量依据的一种科学方法。

它是一门综合性应用学科，是现代军事科学的组成部分。

第一次世界大战前期，英国工程师F.W.兰彻斯特发表了有关用数学研究战争的大量论述，建立了描述作战双方兵力变化过程的数学方程，被称为兰彻斯特方程。

后来，英国国防部成立以生理学教授A.V.希尔为首的研究雷达配置和高炮效率的防空试验小组（后改名为作战研究部），这是最早的运筹组织。

第二次世界大战中英国空、海、陆军都建立了运筹组织，主要是研究如何提高防御和进攻作战的效果。

美国军队也陆续成立了运筹小组，其中海军设立最早，是由P.M.莫尔斯博士发起和组织的，主要研究反潜战。

加拿大皇家空军也在1942年建立了运筹学小组。

运筹学作为一个独立的新学科于50年代初开始形成。

方程与海湾战争
1990年，伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日。

美国及其盟军曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。

这还不只是污染，因为满天烟尘，照不到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，就会造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态和经济后果。

据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼委托太平洋赛拉研究公司研究此问题。

这个公司利用流体力学的基本方程，以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论：点燃所有科威特油井的后果是严重的，但只会波及到海湾地区以及伊朗南部、印度和巴基斯坦
北部，不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失，亦即不至于产生全球性的后果。

这样促使美国下定决心，进兵伊拉克。

美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间便结束了海湾战争，这是由于运用了运筹学和优化技术。

因此，人们说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理战争(原子弹)，而海湾战争是数学战争”。

巴顿的战舰与浪高
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，在11月8日凌时晨登陆。

11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。

直到11月6日天气仍无好转。

华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。

巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。

11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登陆成功。

事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。

其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整个舰队造成危险。

相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。

巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。

数学在音乐中的应用
看一下乐器之王———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个C 键到下一个C 键就是音乐中的一个八度音程. 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键,而5 个黑键分成2 组,一组有2 个黑键,一组有3 个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.
如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的. 再来显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率) 是第一个C 键振动次数的2倍,因为用2 来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的. 我们容易求出分割比x ,显然x 满足
x12= 2 ,解这个方程可得x 是个无理数, 大约是1106.于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106 倍,而全音的音高是那个音的音高11062 倍. 实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[3].
数学在我国经济发展中的应用
1．应用于经济预测管理与决策优化
在经济和管理中，预测非常重要。

是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据。

经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益。

这要求数学的目标函数达到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小。

这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题。

优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于发展优化问题。

2．应用于资源开发与环境保护
通过数学理论和万法，可以分析人工地震的数据，以推断地质的构造，为探寻我国石油、天然气的储藏位置提供依据。

运用数理统计、Fourier分析、时间序列分析等数学方法，我国成功地开发了具有先进水平的地震数据处理系统。

近年来还用波动方程解的偏移叠加、逆散射等方法处理地震数据等。

另外，建立了一套地下水资源评价的理论和方法，取得了实际效益，并在农田灌溉及理论发展上得到许多成果。

数学工作者对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题成功地进行了分析和模拟；对于城市的交通、管理自然条件和社会的容纳力进行深入的发展预测和评价。

3．应用于信息处理和质量控制
电子商务已经成为经济发展的重要平台，在信息通讯中运用数学由来已久，如传统的编译码、滤波、呼唤排队等。

近年来，长途网络系统、移动通讯系统、国际互联网系统中出现的数学问题更为可观。

目前，我国应用数学原理，发展了计算机指纹自动识别，发展成功了新一代图像数据压缩技术，发展成功了计算机视觉，创造了从单幅图像定量恢复三维形态的代数方法、应用模式识别和信息论，在时间序列和信号分析的发展中取得新的进展。

应用代数编码，使计算机本身具有误差检测能力，提高了计算机的可靠性。

提高产品质量是国民经济中的一个关键问题，针对工业系统性能可靠性要求，产生了可靠性抽样检查、质量控制等新的数学方法，收到了良好的效果。

4．应用于设计与制造和大型工程
数学在制造业中的应用进入了新阶段。

数学设计技术和计算机技术密不可分，数学设计技术成果可应用于飞机、汽车、船体、机械模具、服装、首饰等设计。

可以运用数学原理，对各项工程设计以周密的计算来提供精确的数据，大型工程尤其如此。

我国数学家设计了一批工程计算专用程序，在国家重点工程建设中发挥了作用，如三峡水利工程是举世关注的超大型工程，其中一个严重的施工问题是大体积混凝土在凝结过程中化学反应产生的热，它使得坝体产生不均匀应力甚至形成裂缝，危害大坝安全。

以往的办法是花大量财力进行事后修补。

现在我国已研制成可以动态模拟混凝土施工过程中温度、应力和徐变的计算机软件。

人们可用计算方法分析、比较各种施工方案以实现工程最优化，还可用它来对大型工程建成后的运
行进行监控和测算以保障安全。

5．应用于农业经济
我国数学工作者在分析了我国传统的生态农业思想与人类开发关系等问题之后，提出了一个生态农业经济发展及整治的理论框架与行动措施，建立了许多数学模型。

其中包括：一般水环境整治与扩建水电能源的投入产出与经济系统的优化、林业开发与土地资源开发等优化模型。

同时，我国运用数学、生物、化学与经济发展交叉的发展成果，建立了平原农业资源配置的数学模型和资源配置规划。

运用线性规划、对策论参数规划等数学工具，建立了多地区的种植业和畜牧业，制定最优的结构布局方案，采用模糊聚类分析方法，建立了水产业最优结构的模型，为农村剩余劳力提出了合理转移方案。

数学在社会学中的应用
社会调查研究体系主要分为三个部分：方法论，具体方法和技术。

这其中的每一部分都广泛应用了数学思想与方法。

数学在心理学中的应用
1.
高尔顿等人创造性地把数学（特别是概率论）应用于心理学的研究，为数学在心理学中应用开创了广阔前景，并促成了心理测验和心理统计的产生。

2.
1927年瑟斯顿在制定心理量表时提出了比较判断率，并用公式来表明两个刺激间的主观距离。

3. 心理学中也是可以用数学公式来表达的。

下列给出的是一些心理学理论的数学公式：
① 弗洛姆的期望理论公式如下：∑==n
j j ij i i V E f F 1)]([
m n i 1+=
0>i f
Φ=j i
其中，F i 为i 行为的力，E ij 为i 行为是由j 结果所产生的期望强度（0≤E ij ≤1），V j 为j 结果所具有的效价。

② 德国心理学家费希纳在1860年的心理物理学研究中，最早用数学公表达了客观物理量和主观感觉强度之间的函数关系。

费希纳定律：S=KlogR+C ，其中，S 是感觉强度，R 是刺激强度，K 和C 均是常数。

4. 数学在心理统计学中的应用。

数学在心理统计学中随处可见，就拿最简单的 集中量数和差异量数来
说，也都是数学中的知识，集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平均数和几何平均数等，差异量数包括全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差与方差等。

5. 数学在实验心理学中的应用。

如平均差误法计算差别阈限：
① 方法1把每次的调整结果（X ）与主观相等点（PSE 、M ）的差的绝对值加以平均，作为差别阈限的估计。

公式为：N PSE X AE M ∑-=|| ② 方法二：把每次调整结果（X ）与标准刺激（St ）的差的绝对值加以平均作为差别阈限的估计的估计。

公式为：
N S X AE st ∑-=||t 6. 目前实验心理学的许多重要领域，如测量、决策、学习和社会的相互作用等方面，都已制定出大量的
数学模型。

数学在传播学中的应用。