相似三角形概念

相似三角形基本概念

我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形，就是全等形.

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.

当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值都是1.

一般来说，两个数或两个同类的量a 和b 相除，叫做a 与b 的比，记作a :b (或b

a )，其中

b ≠0. a 除以b 所得的商叫做比值.如果a :b 的比值等于k ，那么a =kb .

如果a :b =c :d (或d

c b a =)，那么就说a 、b 、c 、

d 成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

如果a 、b 、c 、d 是比例线段，即d c b a =，那么线段a 、d 是比例外项，线段b 、c 是比例内项. 如果c

b b a =(或b 2=a

c )，那么b 叫做a 、c 的比例中项.

比例线段的基本性质:

①两个外项的积等于两个内项的积. 即如果d c b a =，那么ad=bc . ②如果d c b a =，那么c d a b =，d b c a =，b

d a c =，…. ③合比性质:如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a －－=. ④等比性质: 如果d c b a ==k ，那么k d

c b a

d b c a ===++ 等比性质推论：如果k n

m f e d c b a ===== ，且b +c +f +···+n ≠0，那么a c e m k b d f n +++⋯=+++⋯ 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB (AP >PB )两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项(即AP 2=AB ·PB )，那么称这种分割

为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点.较长的线段PA =215-AB ，较短的线段PB =253-AB .其中2

15-称为黄金分割数(简称黄金数)，2

15-是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心.

三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的2倍.

三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC

求证：AC AE AB AD = 三角形一边的平行线性质定理 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

已知：如图，△ABC 中，DE//BC 求证：AC AE BC DE AB AD == 三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

已知：如图，△ABC 中，AC

AE AB AD = 求证： DE//BC

平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

已知：l 1//l 2//l 3

求证：EF DE BC AB =

平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线 已知：l 1//l 2//l 3，AB=BC

上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 求证：DE=EF

C

B E D A A B

C D E E D C B A C

B E D A

A B C D E E D C B A C B E D A A B C D E E D C B A l 3l 2l 1F E D C B A l 3l 2l 1F E D C B A

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且妃们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.

相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比叫做这两个三角形的相似比(或比例系数) 三角形相似的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 已知：DE//BC

求证：△ADE ∽△ABC

相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.(两角对应相等的两个三角形相似)

相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(三边对应成比例的两个三角形相似)

直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似)

相似三角形的性质定理1 相似三角形所有的对应线段(对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长)的比都等于相似比.

相似三角形的性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方.

两个重要结论：

1、射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

已知：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB 于D .求证：CD 2=AD ·BD ；AC 2=AD ·AB ；BC 2=BD ·AB .

2、直线束分线段成比例定理：一组直线束截两条平行线，所得的对应线段成比例.

已知：直线l 1//l 2，直线AC 、AE 、AG 是过点A 的一束直线. 求证：EG

CE DF BD .

两个基本图形

1、(一线三直角)如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A =90°，E 在AB 上，DE ⊥EC . 求证：△ADE ∽△BCE

2、(一线三角)在△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，将一个与∠B 相等的角的顶点放在D 处，角的两边与直线AB 、AC 分别

相交于点E 、F .

求证：(1)△BDE ∽△DEF ∽△CDF ；

特别，当D 为BC 中点时，还有结论：(2)DE 、DF 分别平分∠BEF 、∠CFE ；(3)DE 2=BE ·EF ；DF 2=CF ·EF

C

B E D A A B

C

D

E E D C B A D C B A l 2l 1

F E C

G B D A F E

D B A

E D B C A