2021年浙江中考数学总复习方法技巧专题(10) 隐圆问题训练

方法技巧专题(十)隐圆问题训练

1.如图F10-1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为()

图F10-1

A.3

B.2√10-2

C.2√13-2

D.4

2.在矩形ABCD中,已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为()

A.6 cm2

B.3 cm2

C.(2+π)cm2

D.(6-π)cm2

3.如图F10-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是AC的中点,将CD绕着点C逆时针旋转一周,在旋转的过程中,点D的对应点为点E,连结AE,BE,则△AEB的面积的最小值为()

图F10-2

A.1

B.2

C.3

D.4

4.如图F10-3,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,圆心为O,连结BD交圆O于点E,连结CE,则CE的最小值为()

图F10-3

A.√13-2

B.√13+2

C.5

D.16

5.如图F10-4,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.

图F10-4

6.如图F10-5所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为.

图F10-5

7.如图F10-6,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段CB边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连结B'D,则B'D的最小值是.

图F10-6

8.如图F10-7,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC 边上一动点,则P A+PG的最小值为.

图F10-7

9.如图F10-8,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F 运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值

为.

图F10-8

10.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为.

11.如图F10-9,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.

(1)使∠APB=30°的点P有个.

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标.

(3)当点P在y轴上移动时,∠APB何时有最大值?请说明理由.

图F10-9

12.[2019·衢州]如图F10-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F,G.

(1)求CD的长.

(2)若点M是线段AD的中点,求EF

的值.

(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?

备用图

图F10-10

【参考答案】

1.B [解析] 由AE ⊥BE ,可知点E 在以AB 为直径的圆弧上,取AB 中点O ,连结OE ,OC ,则CE 的最小值为OC -OE ,因为OC =√62+22=2√10,OE =1

2AB =2,所以CE 的最小值为2√10-2,故选B .

2.D [解析] 如图所示:由题意,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出此时P 到B 点距离始终为 1 cm,则木棒EF 的中点P 在运动过程中的轨迹为分别以A ,B ,C ,D 为圆心,1 cm 为半径的弧.

故所围成的图形的面积为:矩形面积-4个扇形面积=6-4×90π×12360

=(6-π)(cm 2).

3.D [解析] 如图,作CH ⊥AB 于H ,

易知AB =10,CH =24

5,由题意,得点E 在以点C 为圆心,CD =4为半径的圆上,故点E 到AB 的最小距离为CH -CD =24

5-4=4

5,所以△AEB 面积的最小值为1

2×10×4

5=4.

4.A [解析] 如图,连接AE ,则∠AED =90°,即∠AEB =90°,故点E 在以AB 为直径的圆弧上,设AB 中点为F ,连结EF ,CF ,则CE 的最小值为点C 到圆心F 的距离减去圆F 的半径,即CE ≥CF -EF =√32+22-2=√13-2,故选A .

5.88° [解析] 如图,∵AB =AC =AD ,∴点B ,C ,D 在以点A 为圆心,以AB 的长为半径的圆上,∴∠BAC =2∠BDC.

∵∠CBD=2∠BDC,

∴∠BAC=∠CBD,∠CAD=2∠BAC,而∠BAC=44°,

∴∠CAD=88°.

6.√15[解析] 以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交☉A于F,连结DF.

∵DC∥AB,∴DF=BC,

∴DF=CB=1,BF=2+2=4,

∵FB是☉A的直径,∴∠FDB=90°,

∴BD=√BF2-DF2=√15.

7.2√10-2[解析] 点B'在以E为圆心,EA长为半径的圆上运动,当D,B',E共线时,此时B'D的值最小.

根据折叠的性质,得△EBF≌△EB'F,

∴EB'⊥B'F,EB'=EB.

∵E是AB边的中点,AB=4,∴AE=EB'=2.

∵AD=6,∴DE=√62+22=2√10,

∴B'D=2√10-2.

8.4[解析] ∵EF=2,点G为EF的中点,∴DG=1,∴G是以D为圆心,以1为半径的圆弧上的点.

作A关于BC的对称点A',连结A'D,交BC于P,交以D为圆心,以1为半径的圆于G,此时的P A+PG值最小,最小

值为A'G的长.

∵AB=2,AD=3,∴AA'=4,∴A'D=5,

∴A'G=A'D-DG=5-1=4.∴P A+PG的最小值为4.

9.√5-1[解析] 如图,∵动点E,F的速度相同,∴AE=DF.

又∵正方形ABCD,

∴AD=AB,∠BAE=∠ADF=90°.

在△ABE和△DAF中,

{AB=AD,

∠BAE=∠ADF AE=DF,

∴△ABE≌△DAF.

∴∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠BEA=90°,∴∠F AD+∠BEA=90°,∴∠APB=90°.

∴点P在运动中保持∠APB=90°,

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧.

AB=1.

设AB的中点为G,连结DG交弧于点P,此时DP的长度最小,AG=BG=1

在Rt△ADG中,DG=√AG2+AD2=√12+22=√5.

∵PG=AG=1,∴DP=DG-PG=√5-1,即线段DP的最小值为√5-1.

10.(0,12)或(0,-12)[解析] 法一:设线段BA的中点为E,

∵点A(4,0),B(-6,0),∴AB=10,E(-1,0).

(1)如图①所示,过点E在第二象限作EP⊥BA,且EP=1

AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角形,∠

BP A=90°,P A=PB=5√2.

以点P为圆心,P A(或PB)长为半径作☉P,与y轴的正半轴交于点C.

∵∠BCA为☉P的圆周角,∴∠BCA=1

∠BP A=45°,则点C即为所求.

过点P作PF⊥y轴于点F,则OF=PE=5,PF=1,

在Rt△PFC中,PF=1,PC=5√2,由勾股定理得CF=√PC2-PF2=7,

∴OC=OF+CF=5+7=12,∴点C坐标为(0,12);

(2)如图②所示,在第三象限参照(1)作同样操作,

同理求得y轴负半轴上的点C坐标为(0,-12).

综上所述,点C坐标为(0,12)或(0,-12).

法二:

设点C 的坐标为(0,c ),

∵点A (4,0),B (-6,0),点C 是y 轴上的一个动点,∠BCA =45°, ∴AC =√42+c 2,BC =√(-6)2+c 2,AB =4-(-6)=10,

∴AB ·OC 2

=AC ·(BC ·sin∠ACB )

∴

10×|c |2

√42+c 2(√(-6)2+c 2·sin45°)

解得,c =12或c =-12或c =2(舍去)或c =-2(舍去), 即点C 的坐标为(0,12)或(0,-12).

11.解:(1)无数 [解析] 以AB 为边,在第一象限内作等边三角形ABC ,以点C 为圆心,AC 为半径作☉C ,交y 轴于点P 1,P 2.

在优弧AP 1B 上任取一点P ,如图①,则∠APB =1

2∠ACB =1

2×60°=30°. ∴使∠APB =30°的点P 有无数个. 故答案为:无数.

(2)a .当点P 在y 轴的正半轴上时,过点C 作CG ⊥AB ,垂足为G ,如图①. ∵点A (1,0),点B (5,0), ∴OA =1,OB =5. ∴AB =4.

∵点C 为圆心,CG ⊥AB ,

AB=2,∴OG=OA+AG=3.

∴AG=BG=1

∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=4,

∴CG=√AC2-AG2=√42-22=2√3,

∴点C的坐标为(3,2√3).

过点C作CD⊥y轴,垂足为D,P1,P2是☉C与y轴的交点,连结CP2,如图①.∵点C的坐标为(3,2√3),∴CD=3,OD=2√3.

∵P1,P2是☉C与y轴的交点,

∴∠AP1B=∠AP2B=30°.

∵CP2=CA=4,CD=3,

∴DP2=√422=√7.

∵点C为圆心,CD⊥P1P2,

∴P1D=P2D=√7,

∴P2(0,2√3?√7),P1(0,2√3+√7).

b.当点P在y轴的负半轴上时,

同理可得:P3(0,-2√3?√7),P4(0,-2√3+√7).

综上所述:满足条件的点P的坐标有:

(0,2√3?√7),(0,2√3+√7),(0,-2√3?√7),(0,-2√3+√7).

(3)如图②,当过点A,B的☉E与y轴相切于点P时,∠APB最大.

理由:作EH⊥AB于H,则∠APB=∠AEH,当∠APB最大时,∠AEH最大.

,得当AE最小即PE最小时,∠AEH最大.

由sin∠AEH=2

∴当圆与y轴相切时,∠APB最大.

12.[分析](1)根据三角函数求得DC;

(2)证明△DFM≌△AGM,再利用△BFE∽△BGA,由相似比求得EF

的值;

(3)根据∠CPG=60°,过C,P,G作圆,圆心为Q,△CQG是顶角为120°的等腰三角形,根据☉Q与DE相切,经过点E,经过点D三种情况分别求得DM的长,最后得出DM的长需满足的条件.

解:(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,

∴∠DAC=1

∠BAC=30°.

在Rt△ADC中,DC=AC·tan30°=2√3.

(2)易得,BC=6√3,BD=4√3.

由DE∥AC,得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM.

∵AM=DM,∴△DFM≌△AGM,∴DF=AG.

由DE∥AC,得△BFE∽△BGA,

∴EF

AG =BE

=BD

∴EF

DF =EF

=BD

=√3

6√3

(3)∵∠CPG=60°,过C,P,G作圆,圆心为Q,

∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形.

①当☉Q与DE相切时,如图①,过Q点作QH⊥AC,并延长HQ与DE交于点P,连接QC,QG.

设☉Q 的半径QP =r ,则QH =1

2r ,r +1

2r =2√3, 解得r =4

√3,∴CG =4

√3×√3=4,AG =2.

∴DF =2

3×4=83,

易知△DFM ∽△AGM ,可得

DM AM

DF AG

=43

,则

DM AD

∵AD =2CD =4√3,∴DM =

16√3

. ②当☉Q 经过点E 时,如图②,过C 点作CK ⊥AB ,垂足为K.

设☉Q 的半径QC =QE =r ,则QK =3√3-r. 在Rt △EQK 中,12+(3√3-r )2=r 2, 解得r =

14√39

,∴CG =

14√3

×√3=

,AG =43,DF =23×143

289

易知△DFM ∽△AGM ,∴DM

AM =DF

AG =7

3, ∴DM

AD =7

10,

∴DM=14√3

③当☉Q经过点D时,如图③,此时点M与点G重合,且恰好在点A处,可得DM=4√3.

综上所述,当DM=16√3

7或14√3