高中数学函数知识点总结(完整版)

高中数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======

中元素各表示什么？

A 表示函数y=lgx 的定义域，

B 表示的是值域，

C 表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}

{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301

若，则实数的值构成的集合为

B A a ⊂

（答：，，）-⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭1013

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n

要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n

个子集。

当然，我们也要注意到，这2n

种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2

1n

-，非空真子集个数为

22n -

（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于的不等式

的解集为，若且，求实数x ax x a

M M M a --<∈∉5

0352

的取值范围。

()（∵，∴

·∵，∴

·，，）

335

30

555

50

15392522∈--<∉--≥⇒∈⎡

⎣

⎢⎫⎭⎪M a a M a a

a

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2

+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)

+∞

上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、

()()().

∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨

若为真，当且仅当为假⌝p p

命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔； 若 ；则

p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔；

若 ；则p 是q 的充要条件B A _____⇔；

若 ；则

p 是q 的既非充分又非必要条件___________⇔；

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m

个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，

若

}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。

函数

)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg

()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零；

● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；

●

对数式的底

数大于零且不等于一，真数大于零。

●

正切函数

x y tan = ⎪⎭⎫

⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

● 余切函数

x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且

●

反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定

义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0

义域是_____________。

[]

（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知

)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出

x 的范围，即为

[])(x g f y =的定义域。

例 若函数

)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数

)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：

2log 2

1

2≤≤x 解之，得 42≤≤x

∴

)(log 2x f 的定义域为{}4

2|≤≤x x

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x

1

的值域 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2

x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面