电磁感应导轨电路中的电容问题

导轨电路中的电容问题

1．两相互平行且足够长的水平金属导轨MN 、PQ 放在竖直平面内，相距0.4m ，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m ，右端接滑动变阻器R 。水平匀强磁场磁感应强度为10T ，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD 与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计。

现在用与金属导轨平行，大小为2N 的恒力F 使棒从静止开始运动。已知R 的最大阻值为2Ω，g=10m/s 2

。则：

⑴ 滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率。

⑵当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于 稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多大。

解：（1）当棒达到匀速运动时，棒受到的安培力F 1与外力F 相平衡，即

F=F 1=BIL ① （1分） 此时棒产生的电动势E=BL v ，则电路中的电流。

I ＝ E R ＋r ＝ BL v R ＋r ② （1分）

由①②式得此时棒的速度 V ＝F(R ＋r) B 2L 2

③ （1分） 拉力功率 P ＝FV ＝F 2

(R ＋r)

B 2L 2

④ （1分） 由④式知回路的总电阻越大时，拉力功率越大，

当R=2Ω时，拉力功率最大，P m =(W) （1分） (2)当触头滑到中点即R=1Ω时，由③式知棒匀速运动的速度

v 1＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝(m/s) （1分）

导体棒产生的感应电动势 E 1=BL v 1=10××=1(V) （1分）

电容器两极板间电压 U 1＝E 1R

R ＋r

＝(V) （1分）

由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电,此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v 0,由平衡条件知： F+f=G

即 q U 1

d ＋q v 0B=mg ⑤ （2分）

当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度

V 2＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝ 38

(m/s ) （1分）

导体棒产生的感应电动势 E 2=BLV 2=伏 （1分）

R

M N C P D F

电容器两极板间的电压 U 2＝E 2R

R ＋r ＝1伏 （1分）

由于小球在平行板间做匀速圆周运动,电场力与重力平衡，于是： q U 2

d

＝mg ⑥ （2分） 联立⑤⑥并代入数值解得 v 0＝U 2—U 1

Bd ＝(m/s ) （1分）

小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力,有

q v 0B ＝m

v 02

r

⑦ （2分）

联立⑥⑦解得小球作圆周运动的半径为r ＝0.0125 m （2分）

2、 如图所示，光滑的平行导轨P 、Q 相距l =1m ，处在同一水平面中，导轨的左端接有如图所示的电路，其中水平放置的电容器两极板相距d =10mm ，定值电阻R 1=R 3=8Ω，R 2=2Ω，导轨的电阻不计，磁感强度B =的匀强磁场竖直向下穿过导轨面，当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动（开关S 断

开）时，电容器两极之间质量m =1×10-14kg ，带电量q =-1×10-15

C 的微粒恰

好静止不动；当S 闭合时，微粒的加速度a =7m /s 2

向下做匀加速运动，取g =10m /s 2, 求：

（1）金属棒所运动的速度多大电阻多大

（2）S 闭合后，使金属棒ab 做匀速运动的外力的功率多大

解答：（1）带电微粒在电容器两极间静止时，受向上的电场力和向下的重力而平衡，根据平

衡条件有d U

q mg 1=，解得电容器两极间电压为：V q mgd U 110

1.0101015

14

1=⨯⨯==-- 由于微粒带负电，可知上板电势较高，由于S 断开，R 3上无电流，R 1、R 2上电压等于

U 1, 可知电路中的感应电流，即通过R 1、R 2的电流强度为：A R R U I 1.02

11

1=+=

根据闭合电路欧姆定律，可知ab 切割磁感线运动产生的感应电动势为：r I U E 11+= （1）

S 闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：ma d

U q

mg =-2

可以求得S 闭合时电容器两板间的电压为：V q

d

a g m U 3.0)(2=-=

这是电路中的电流为：2I =

A R U 15.02

2

= 根据闭合电路欧姆定律有：)(

23

13

12r R R R R R I E +++= （2）

将已知量代入（1）（2）式，可求得：2.1=E V ，Ω=2r

由E=BLv 得：s m BL

E

v /3==

（2）S 闭合时，通过ab 电流I 2=0.15A ，ab 所受磁场力为N L BI F B 06.02==，ab 的速度v =3m /s 做匀速运动，所受外力与磁场力F B 大小相等，方向相反，即F =，方向向右，则外力功率为P=Fv =×3w =

3.如图所示,在水平方向与纸面垂直的足够大的匀强磁场中,有一足够长的 形金属框架abcd 以v1=2m/s 的速度向右做切割磁感线运动,在框架abcd 上下两板内产生一个匀强电场.有一个带电油滴以水平速度v2从P 点(ap=L/2)向左射入框架内做匀速圆周运动(g=10m/s2).求:

(1) 油滴必须带什么性质的电荷, 油滴做匀速圆周运动的周期是多少

(2) 为使油滴不跟框架壁相碰, 油滴速度v2与框架宽度L 的比值v2/L 应满足什么条件 (3) 为使油滴不离开电场,并且能够在框架内完整地运动一周,速

度v2要满足什么条件

解： 油滴应带负电. 由于框架左边作切割磁感线运动,使上下两板间产生电压

两板间电场强度 E=L U

=Bv1

由油滴做匀速圆周运动的条件得 mg=qE=qBv1

∴ B=1qv mg

油滴运动的周期 T=5

2221π

ππ=

=g v qB

m s （2）∵

R v m

qBv 2

2

2= R g v v mg qv q mv Bq mv 21122=⋅== 油滴不跟框架壁相碰应满足条件

2R ＜L/2 即g v v 212＜2L

∴ L v 2

＜14v g =

(3)油滴顺时针做圆周运动,若v2的水平速度大小等于v1时未脱离电场,则以后不再会脱离.设当油滴

转至其线速度方向与竖直方向的夹角为θ时油滴速度v2的水平分量大小等于v1, 油滴刚好运动至框架右边缘,(如图所示) 则

V2sin θ=v1

t=

2

2323V R ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπω

θπ

v1t ＞Rcos θ

d

a P

V

V

θ