弹簧质量阻尼模型
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0
0
0 0
T* 1
e1.8833- 8.4864it
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
3.4167+ 9.7803i
T 1
3.4167- 9.7803i
- 3.3554+ 3.4224i
-
3.3554-
3.4224i
- 2.1017- 9.2399i - 2.1017+ 9.2399i 3.7199+ 3.2032i 3.7199- 3.2032i
x3
u1 (t )
k2 x2
(k1
k2 )x1 m1
(l1
l2 )x3
l2 x4
（2-3）
x4
u2 (t)
k2 x1
(k1
k2 )x2 m2
(l3
l2 )x4
l2 x3
整理得：
0
0
x
(k1 m1
k2
)
k2 m2
0
0
k2 m1 (k3 k2 ) m2
x1
y
1 0
0 1
0 0
5 求状态空间表达式的解
（1）求状态转移矩阵
T 1AT
e e At T T t 1
其中，T 为特征向量
0.0007- 0.0402i
eAt - 0.0171 0.0157i
0.8650
-
0.3442-
0.3621i
0.0007 0.0402i - 0.0171- 0.0157i
0.8650 - 0.3442 0.3621i
0 0 1 0
代入数据得： A
0
0
0
1
400 300 9 6
150
200 3 4.5
则系统的状态空间表达式为
0 0
B 0
0
1 0
0 0.5
1 0 0 0 C 0 1 0 0
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
0
0 1 0 0 0
.
x
0 400
0 300
0 9
量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态
方程 x’(t)=Ax(t)+Bu(t)
其解为：x(t) eAt x(0 )
t eA(t )Bu( )d
0
如果有限的时间内 0 < t < t1 内通过输入量 u(t)的作用把系统的所有状态引向状态 x(t1)[设
1
x
0
0
u
6 1 0
15
200 3 4.5
0 0.5
y
1 0
0 1
0 0
0 0
x
4 化为对角标准型
当系统矩阵 A 有 n 个不相等的特征根 (i 1,2,3...)时，相应的有 n 个不相等的特征向量 i
m m m m m (i 1,2,3...)，所以有矩阵 A 的特征矩阵 M
解得对角标准型为：
0.3667 21.5183i
x
0
0
0
0 0.3667 21.5183i
0 0
0
0
0.3466- 0.2323i - 0.2352- 0.0527i
0 1.8833 8.4864i
0
x
0.3466
+
0.2323i
- 0.2352+ 0.0527iu
0
0.2886- 0.0353i 0.2669- 0.1205i
（（（（（（（（（（
弹簧-质量-阻尼系统
1 研究背景及意义
弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技 也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量 的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变 结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究 弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
0
Bu( )d
根据凯莱－哈米尔顿定理， e-At、 eAt 可写成有限级数：
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
x(0 )
t1 eA Bu( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝Βιβλιοθήκη Baidu
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
0 0
x2 x3 x4
1
0
(l1 l2 ) m1 l2 m2
0
0
1
l2 m1 (l3 l2 m2
)
x1 x2 x3 x4
0 1 m1
0
0
0
0
u1
u2
1
m2
（2-4） （2-5）
m1 1, m2 2, k1 k3 100, k2 300 l1 l3 3,l2 6
0.3466- 0.2323i 0.3466+ 0.2323i 0.2886- 0.0353i 0.2886+ 0.0353i
- 0.4703- 0.1054i
- 0.4703+ 0.1054i
0.5337- 0.2409i
0.5337
+
0.2409i
状态转移矩阵为：
- 5.5977
- 0.6477+ 0.0000i 0.1999
...
i
1
2
3
4
根据矩阵论
线性变换得：T M 1 z Tx x Mz
可以使用 matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便 了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用 matlab 简化计算。
（1）求特征值与特征向量 A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5] B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5] C=[1 0 0 0;0 1 0 0] [P,J]=eig(A) 求得结果：
理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入 u（t）引起状态 x（t）
的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出 y（t）的变化。能控能观便是定性的描述
输入 u（t）对状态 x(t)的控制能力，输出 y（t）对状态 x（t）的反应能力，他们分别回答了
“输入能否控制状态的变化”------可控性
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立
数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的 数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力 学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所 以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统 的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
0 0.5 3 2.25 163.5 80.875
n=4 满秩所以系统是可控的
可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态 x(0-)
都可以在有限的时间内通过系统的输出 y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分
初始状态，则称系统部分可观。有x(t状) 态e方At x程(0x’) (t)0=teAAx(t(t))+BBuu((t))dy(t)=Cx(t) 其解为
0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i 0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i
（3）带入公式 B PNB C CP
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图 2.1 所示，
图 2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图
其中 m1 ， m2 表示小车的质量， ci 表示缓冲器的粘滞摩擦系数， k i 表示弹簧的弹性系 数，Fi（t）表示小车所受的外力，是系统的输入即U i （t）= Fi（t）, X i (t)表示小车的位移， 是系统的输出，即 Yi （t）= X i (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中 m1 =1kg， m2 =2kg， k1 = k 3 =100N/cm， k 2 =300N/cm， c1 = c3 =3N • s/cm， c2 =6N • s/cm。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下：
对 m1 有：
（2-1）
对 m2 有：
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
（2-2）
3 建立状态空间表达式
令 x3 x1, x4 x2 , u1 F1, u2 F2 ,则原式可化为：
化简得：
m1x3 (l1 l2 )x3 l2x4 (k1 k2 )x1 k2x2 u1(t) m2x4 (l2 l3)x4 l2x3 (k2 k3)x2 k2x1 u2 (t)
x(t1)=0] ，则应有：
x(t1) eAt1 x(0 )
t1 eA(t1 )Bu( )d
0
0
即在给定 x(0-)和 A、B 的条件下求可以使 x(t)=x(t1)的 u(t)。换言之：上述方程有解则系统能
控。
eAt x(0 )
t1 eA(t )Bu( )d 0
0
x(0 )
e t1 A
0.4493
0.5509+ 0.0000i
-1.4700- 0.0000i
-1.7127- 0.0000i
5 可控性与可观性
不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传
递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出
量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制
e At
- 4.4097- 0.0000i
- 0.5817+ 0.0000i
0.2247+ 0.0000i
-12.5772+ 0.0000i - 29.8835- 0.0000i - 2.4502
- 7.2316+ 0.0000i
- 42.7799- 0.0000i
- 0.7350- 0.0000i
0.0401 + 0.0698i 0.0176 + 0.0792i 0.6682 - 0.2084i
0.7050
J=
0.3667 +21.5183i 0 0 0
（2）P 矩阵求逆 PN=inv(P) 求得结果： PN =
0 0.3667 -21.5183i
0 0
0 0 1.8833 + 8.4864i
0.0401- 0.0698i 0.0176- 0.0792i 0.6682 0.2084i
0.7050
e 0.0401 0.0698i 0.3667 21.5183it
0.0176 0.0792i *
0
0.6682- 0.2084i
0
0.7050
0
0
e0.3667 -21.5183it
0
0
0
0
e1.8833 8.4864it
“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性
另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态 x（t）的值通常是难测的，往往需要从
测量到的 y（t）中估计出状态，如果输出 y（t）不能完全反映出系统的状态 x（t），那么就
无法实现对状态的估计。
能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入
P=
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i
-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i
0.8650
0.8650
-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i
0.0401 - 0.0698i 0.0176 - 0.0792i 0.6682 + 0.2084i 0.7050
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n，此时系统是可控的。
求可控性：
0 0 1 0
9
3
Q B c
AB
A* AB 0
1
0 0
0 9
0.5 3
3
2.25
301 163.5
0
1.8833- 8.4864i
0.2886 +
0.0353i
0.2669
+
0.1205i
0.0007- 0.0402i 0.0007+ 0.0402i 0.0401- 0.0698i 0.0401+ 0.0698i y - 0.0171+ 0.0157i - 0.0171- 0.0157i 0.0176- 0.0792i 0.0176+ 0.0792iu
0
0 0 0 1.8833 - 8.4864i
3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i -3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i -3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i
0
0 0
T* 1
e1.8833- 8.4864it
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
3.4167+ 9.7803i
T 1
3.4167- 9.7803i
- 3.3554+ 3.4224i
-
3.3554-
3.4224i
- 2.1017- 9.2399i - 2.1017+ 9.2399i 3.7199+ 3.2032i 3.7199- 3.2032i
x3
u1 (t )
k2 x2
(k1
k2 )x1 m1
(l1
l2 )x3
l2 x4
（2-3）
x4
u2 (t)
k2 x1
(k1
k2 )x2 m2
(l3
l2 )x4
l2 x3
整理得：
0
0
x
(k1 m1
k2
)
k2 m2
0
0
k2 m1 (k3 k2 ) m2
x1
y
1 0
0 1
0 0
5 求状态空间表达式的解
（1）求状态转移矩阵
T 1AT
e e At T T t 1
其中，T 为特征向量
0.0007- 0.0402i
eAt - 0.0171 0.0157i
0.8650
-
0.3442-
0.3621i
0.0007 0.0402i - 0.0171- 0.0157i
0.8650 - 0.3442 0.3621i
0 0 1 0
代入数据得： A
0
0
0
1
400 300 9 6
150
200 3 4.5
则系统的状态空间表达式为
0 0
B 0
0
1 0
0 0.5
1 0 0 0 C 0 1 0 0
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
0
0 1 0 0 0
.
x
0 400
0 300
0 9
量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态
方程 x’(t)=Ax(t)+Bu(t)
其解为：x(t) eAt x(0 )
t eA(t )Bu( )d
0
如果有限的时间内 0 < t < t1 内通过输入量 u(t)的作用把系统的所有状态引向状态 x(t1)[设
1
x
0
0
u
6 1 0
15
200 3 4.5
0 0.5
y
1 0
0 1
0 0
0 0
x
4 化为对角标准型
当系统矩阵 A 有 n 个不相等的特征根 (i 1,2,3...)时，相应的有 n 个不相等的特征向量 i
m m m m m (i 1,2,3...)，所以有矩阵 A 的特征矩阵 M
解得对角标准型为：
0.3667 21.5183i
x
0
0
0
0 0.3667 21.5183i
0 0
0
0
0.3466- 0.2323i - 0.2352- 0.0527i
0 1.8833 8.4864i
0
x
0.3466
+
0.2323i
- 0.2352+ 0.0527iu
0
0.2886- 0.0353i 0.2669- 0.1205i
（（（（（（（（（（
弹簧-质量-阻尼系统
1 研究背景及意义
弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技 也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量 的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变 结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究 弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
0
Bu( )d
根据凯莱－哈米尔顿定理， e-At、 eAt 可写成有限级数：
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
x(0 )
t1 eA Bu( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝Βιβλιοθήκη Baidu
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
0 0
x2 x3 x4
1
0
(l1 l2 ) m1 l2 m2
0
0
1
l2 m1 (l3 l2 m2
)
x1 x2 x3 x4
0 1 m1
0
0
0
0
u1
u2
1
m2
（2-4） （2-5）
m1 1, m2 2, k1 k3 100, k2 300 l1 l3 3,l2 6
0.3466- 0.2323i 0.3466+ 0.2323i 0.2886- 0.0353i 0.2886+ 0.0353i
- 0.4703- 0.1054i
- 0.4703+ 0.1054i
0.5337- 0.2409i
0.5337
+
0.2409i
状态转移矩阵为：
- 5.5977
- 0.6477+ 0.0000i 0.1999
...
i
1
2
3
4
根据矩阵论
线性变换得：T M 1 z Tx x Mz
可以使用 matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便 了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用 matlab 简化计算。
（1）求特征值与特征向量 A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5] B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5] C=[1 0 0 0;0 1 0 0] [P,J]=eig(A) 求得结果：
理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入 u（t）引起状态 x（t）
的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出 y（t）的变化。能控能观便是定性的描述
输入 u（t）对状态 x(t)的控制能力，输出 y（t）对状态 x（t）的反应能力，他们分别回答了
“输入能否控制状态的变化”------可控性
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立
数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的 数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力 学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所 以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统 的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
0 0.5 3 2.25 163.5 80.875
n=4 满秩所以系统是可控的
可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态 x(0-)
都可以在有限的时间内通过系统的输出 y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分
初始状态，则称系统部分可观。有x(t状) 态e方At x程(0x’) (t)0=teAAx(t(t))+BBuu((t))dy(t)=Cx(t) 其解为
0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i 0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i
（3）带入公式 B PNB C CP
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图 2.1 所示，
图 2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图
其中 m1 ， m2 表示小车的质量， ci 表示缓冲器的粘滞摩擦系数， k i 表示弹簧的弹性系 数，Fi（t）表示小车所受的外力，是系统的输入即U i （t）= Fi（t）, X i (t)表示小车的位移， 是系统的输出，即 Yi （t）= X i (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中 m1 =1kg， m2 =2kg， k1 = k 3 =100N/cm， k 2 =300N/cm， c1 = c3 =3N • s/cm， c2 =6N • s/cm。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下：
对 m1 有：
（2-1）
对 m2 有：
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
（2-2）
3 建立状态空间表达式
令 x3 x1, x4 x2 , u1 F1, u2 F2 ,则原式可化为：
化简得：
m1x3 (l1 l2 )x3 l2x4 (k1 k2 )x1 k2x2 u1(t) m2x4 (l2 l3)x4 l2x3 (k2 k3)x2 k2x1 u2 (t)
x(t1)=0] ，则应有：
x(t1) eAt1 x(0 )
t1 eA(t1 )Bu( )d
0
0
即在给定 x(0-)和 A、B 的条件下求可以使 x(t)=x(t1)的 u(t)。换言之：上述方程有解则系统能
控。
eAt x(0 )
t1 eA(t )Bu( )d 0
0
x(0 )
e t1 A
0.4493
0.5509+ 0.0000i
-1.4700- 0.0000i
-1.7127- 0.0000i
5 可控性与可观性
不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传
递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出
量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制
e At
- 4.4097- 0.0000i
- 0.5817+ 0.0000i
0.2247+ 0.0000i
-12.5772+ 0.0000i - 29.8835- 0.0000i - 2.4502
- 7.2316+ 0.0000i
- 42.7799- 0.0000i
- 0.7350- 0.0000i
0.0401 + 0.0698i 0.0176 + 0.0792i 0.6682 - 0.2084i
0.7050
J=
0.3667 +21.5183i 0 0 0
（2）P 矩阵求逆 PN=inv(P) 求得结果： PN =
0 0.3667 -21.5183i
0 0
0 0 1.8833 + 8.4864i
0.0401- 0.0698i 0.0176- 0.0792i 0.6682 0.2084i
0.7050
e 0.0401 0.0698i 0.3667 21.5183it
0.0176 0.0792i *
0
0.6682- 0.2084i
0
0.7050
0
0
e0.3667 -21.5183it
0
0
0
0
e1.8833 8.4864it
“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性
另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态 x（t）的值通常是难测的，往往需要从
测量到的 y（t）中估计出状态，如果输出 y（t）不能完全反映出系统的状态 x（t），那么就
无法实现对状态的估计。
能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入
P=
（（（（（（（（（（（（
（（（（（（（（（（
0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i
-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i
0.8650
0.8650
-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i
0.0401 - 0.0698i 0.0176 - 0.0792i 0.6682 + 0.2084i 0.7050
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n，此时系统是可控的。
求可控性：
0 0 1 0
9
3
Q B c
AB
A* AB 0
1
0 0
0 9
0.5 3
3
2.25
301 163.5
0
1.8833- 8.4864i
0.2886 +
0.0353i
0.2669
+
0.1205i
0.0007- 0.0402i 0.0007+ 0.0402i 0.0401- 0.0698i 0.0401+ 0.0698i y - 0.0171+ 0.0157i - 0.0171- 0.0157i 0.0176- 0.0792i 0.0176+ 0.0792iu
0
0 0 0 1.8833 - 8.4864i
3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i -3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i -3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i