克里金插值法
普通克里金插值法计算
普通克里金插值法计算一、普通克里金插值法是啥呢？哎呀，普通克里金插值法这东西啊，可真是个有趣的小玩意儿呢。
简单来说，它就是一种在地理信息系统、地质勘探等好多领域都能用到的方法。
比如说，你想知道一块大地上某个地方的土壤养分含量，但是你只在几个点上测量过，这时候普通克里金插值法就能闪亮登场啦。
它就像是一个超级侦探，根据那些已知点的数据，去推测其他未知点的数据。
二、普通克里金插值法的计算原理它的原理其实也不是特别复杂啦。
它是基于一种叫做变异函数的东西。
这个变异函数呢，就像是描述数据之间关系的一个小规则。
比如说，两个点离得近，那它们的数据可能就比较相似，离得远呢，数据可能就差别大一点。
普通克里金插值法就利用这个变异函数，再加上一些权重计算，就可以得出那些未知点的估计值啦。
就好像是给每个已知点都分配一个小任务，让它们根据自己和未知点的关系，来贡献自己的力量，最后算出未知点的值。
三、普通克里金插值法的计算步骤1. 首先要收集数据啦。
这就像是做饭之前要买菜一样重要。
你得有那些已知点的数据，比如说坐标啊，还有你要插值的那个变量的值，像土壤养分的含量数值之类的。
2. 然后就是计算变异函数。
这个变异函数可不是那么好算的呢，要根据你收集到的数据，用一些数学公式去计算。
这个过程就像是在解一道很复杂的谜题，要小心翼翼地按照规则来。
3. 接着就是确定权重啦。
根据变异函数算出每个已知点对于未知点的权重，这就像是给每个小助手（已知点）分配任务的重要性一样。
权重越大，说明这个已知点对未知点的影响就越大。
4. 最后呢，就可以计算未知点的值啦。
把每个已知点的值乘以它的权重，再把这些结果加起来，就得到了未知点的估计值。
就像是大家一起努力，终于完成了一个大工程一样，超级有成就感呢。
四、普通克里金插值法的优缺点1. 优点它的估计结果比较准确呢。
因为它考虑了数据之间的空间关系，就像是考虑了各个点之间的小秘密一样，所以能给出比较靠谱的估计。
它还能给出估计的误差。
克里金插值法（参考内容）
克⾥⾦插值法（参考内容）克⾥⾦插值法克⾥⾦插值法⼜称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进⾏⽆偏最优估计的⼀种⽅法，是地统计学的主要内容之⼀，由南⾮矿产⼯程师D. Matheron 于1951年在寻找⾦矿时⾸次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该⽅法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克⾥⾦插值法。
1 克⾥⾦插值法原理克⾥⾦插值法的适⽤范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利⽤克⾥⾦插值法进⾏内插或外推。
其实质是利⽤区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进⾏线性⽆偏、最优估计，⽆偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平⽅和最⼩[1]。
因此，克⾥⾦插值法是根据未知样点有限领域内的若⼲已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、⼤⼩和空间⽅位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进⾏的⼀种线性⽆偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克⾥⾦插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ（1）式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在⼀定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对⽅向变化有关，克⾥⾦插值⽅法将研究的对象称“区域化变量”针对克⾥⾦⽅法⽆偏、最⼩⽅差条件可得到⽆偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满⾜关系式： 11=∑=n i i λ（2）以⽆偏为前提，kriging ⽅差为最⼩可得到求解待定权系数i λ的⽅程组：==+∑∑= = 1 )n ,2,1 )( , ( ) , (1 1 n iijjin iijx x C x x C λµ（3）式中，C（x i，x j）是Z(x i)和Z(x j)的协⽅差函数。
克里金插值法.pptx
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
3
导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
i
ni
dw 1
i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
克里金插值法原理
克里金插值法原理克里金插值法是一种用于插值运算的重要数学方法，它可以根据已知的数据点来求出某函数在某一特定点的值，受到许多工程师和科学家的广泛应用。
本文旨在介绍克里金插值法的原理、它的优点和应用，以及一些计算机实际应用中的解决方案。
（正文）一、里金插值法的原理克里金插值法是拟合多个已知的数据点，以获取其中某一点的未知函数值的有效方法。
它的核心思想是采用差商的形式来求出拟合的函数的系数，从而求出拟合函数的值。
可以这样来理解：在一组给定的数据点中，求出它们之间的差商，再根据差商来求出拟合数据点的函数值。
克里金插值法的标准公式可以这样表示：P(x) = P0 +(x-x0)[ (P1-P0)/(x1-x0) ] +(x-x0)(x-x1)[ (P2-P1)/(x2-x1)/(x2-x0) ] ++ (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)[ (Pn-Pn-1)/(xn-xn-1)/(xn-xn-2)…(xn-x0) ] 这个公式是基于差商求出数据点的函数值的，其中P0, P1, P2,…, Pn代表的是已知的数据点，x0, x1, x2,…, xn代表的是已知的数据点的坐标。
二、里金插值法的优点克里金插值法具有如下优点：1、算简单：克里金插值法只需要用简单的算法计算即可求出拟合函数的函数值，而且结果对应的误差比较小。
2、合精度高：克里金插值法的拟合精度比较高，能够很好的拟合多个数据点。
3、泛应用：克里金插值法受到了广泛的应用，在计算机科学、工程计算、统计分析以及数据拟合等领域都有重要的应用。
三、里金插值法的应用1、合数据：克里金插值法可以用来拟合有限的数据，从而得到比较精确的拟合函数。
2、解方程：克里金插值法还可以用来求解某个函数的零点，这对于求解一些复杂的方程也可以有效的应用。
3、算机实际应用：克里金插值法在计算机科学中有重要的应用，如图像处理、信号处理等。
在图像处理中，克里金插值法可以用来进行图像放大、缩小等操作，从而获得更加精细的图像。
克里金插值(kriging)
F (u; z | (n)) Pr ob{Z (u) z | (n)}
离散变量（类型变量）：
P
F(u; k | (n)) Pr ob {Z(u) k | (n)}
不同的取值方式：估计（estimation） 模拟（simulation）
连续型地质变量
离散型地质变量
（范畴变量）
类型变量
半变差函数(或半变异函数)
在二阶平稳假设，或作本征假设，此时：
E[Z(x)-Z(x+h)] = 0
则：
h
( x, h ) =
=
1 2 Var[Z(x)-Z(x+h)] 1 E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2 2
( x, h ) =
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2
块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性， 无论h多小，两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起， 也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上，块金值c0相当于 变量纯随机性的部分。
块金效应的尺度效应 如果品位完全是典型的随机变量，则不论 观测尺度大小，所得到的实验变差函数曲线总 是接近于纯块金效应模型。 当采样网格过大时，将掩盖小尺度的结构， 而将采样尺度内的变化均视为块金常数。这种 现象即为块金效应的尺度效应。
简记为 Z (u)
随机场： 当随机函数依赖于多个 自变量时，称为随机场。 如具有三个自变量(空间 点的三个直角坐标)的随 机场
P
随机函数的特征值
协方差(Variance)： 二个随机变量ξ，η的协方差为二维随机变量(ξ， η)的二阶混合中心矩μ11，记为Cov(ξ，η)，或σξ,η。
克里金插值
克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
克里金插值(kriging)
②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)，
p(x)为其概率密度函数，若无穷积分
xp(x)dx
绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
E(ξ) = xp(x)dx
•数学期望是随机变量的最基本的数字特征，
相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。
•从矩的角度说，数学期望是ξ的一阶原点矩。
对于一组样本：
N
( z i )
m i1 N
(2)方差
为随机变量ξ的离散性特征数。若数学期望 E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。
D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 其简算公式为
D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2
方差的平方根为标准差，记为σξ
跃迁现象
一维情况下的定义：
假设空间点x只在一维的x轴上变化，则将区域化 变量Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义
为Z(x)在x轴方向上的变差函数，记为 (x,h)
(x,h) =
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
(h)C (0)C (h)
（二阶平稳假设条件下边查函数与写防查的关系）
变程(Range) ：指区域化变量在空间上具有相关性的 范围。在变程范围之内，数据具有相关性；而在变 程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测 值不对估计结果产生影响。
具不同变程 的克里金插 值图象
块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性， 无论h多小，两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起， 也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上，块金值c0相当于 变量纯随机性的部分。
python克里金插值法
python克里金插值法Python克里金插值法克里金插值法（Kriging）是一种用于空间插值的统计方法，常用于地质学、地球物理学、环境科学等领域。
它通过样本点的空间分布信息，推断未知点的值，并生成一幅连续的表面。
一、克里金插值法的原理克里金插值法的核心思想是通过已知点之间的空间相关性来估计未知点的值。
该方法基于两个假设：1）空间上相近的点具有相似的值；2）相邻点之间的差异可以通过某种函数来描述。
插值的第一步是计算已知点之间的空间相关性。
通常使用半方差函数（semivariogram）来量化相邻点之间的差异。
半方差函数表示了不同距离下的样本点间的差异，可以通过实际数据的半方差函数图来选择合适的函数模型。
插值的第二步是确定权重。
克里金插值法假设未知点的值是已知点的线性组合，权重由已知点之间的空间相关性决定。
一般来说，距离已知点越近且权重越大，距离已知点越远且权重越小。
插值的第三步是计算未知点的值。
根据已知点的值和权重，使用线性插值的方法来估计未知点的值。
这样，就可以生成一幅连续的表面，反映了未知点的分布情况。
二、克里金插值法的应用克里金插值法在地质学、地球物理学、环境科学等领域有广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 地下水位插值地下水位的空间分布对于水资源管理和环境保护至关重要。
通过收集已知点的地下水位数据，可以利用克里金插值法推断未知点的地下水位值，从而绘制出地下水位的分布图。
2. 污染物扩散模拟污染物扩散对于环境风险评估和污染治理具有重要意义。
通过收集已知点的污染物浓度数据，可以利用克里金插值法推断未知点的污染物浓度值，从而模拟污染物的扩散情况。
3. 地震震级插值地震震级是评估地震强度的重要指标。
通过收集已知点的地震震级数据，可以利用克里金插值法推断未知点的地震震级值，从而绘制出地震震级的分布图。
4. 土壤质量评估土壤质量是农业生产和生态环境保护的关键因素。
通过收集已知点的土壤质量数据，可以利用克里金插值法推断未知点的土壤质量值，从而评估土壤质量的空间分布。
克里金插值
克里金插值克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
克里金插值方法
克里金插值方法克里金插值方法（Kriging Interpolation）是一种常用的空间插值技术，用于预测未知位置的属性值。
它是由南非地质学家克里金（Danie G. Krige）在20世纪60年代提出的。
克里金插值方法通过对已知点周围的样本点进行空间插值，推断出未知点的属性值，从而实现对空间数据的预测。
克里金插值方法的基本思想是建立一个局部的空间模型，考虑样本点之间的空间相关性，并利用这种相关性来预测未知点的属性值。
它的核心思想是将空间数据看作是一个随机场，通过对随机场的统计分析来确定未知点的属性值。
克里金插值方法的具体步骤如下：1. 数据收集：首先需要收集一定数量的已知点数据，这些数据应该包含未知点的属性值以及其空间坐标。
2. 变异函数拟合：根据已知点的属性值和空间坐标，建立变异函数模型。
变异函数描述了样本点之间的空间相关性，可以采用不同的函数形式进行拟合，如指数函数、高斯函数等。
3. 半变异函数计算：通过对已知点之间的差异进行半变异函数计算，确定样本点之间的空间相关性。
4. 克里金权重计算：根据已知点的属性值、空间坐标和半变异函数，计算未知点与已知点之间的空间权重。
5. 属性值预测：利用已知点的属性值和克里金权重，对未知点进行属性值预测。
预测值可以根据不同的权重计算方法得到，如简单克里金、普通克里金、泛克里金等。
6. 模型验证：对预测结果进行验证，可以使用交叉验证等方法评估预测的准确性。
克里金插值方法在地质学、环境科学、农业、地理信息系统等领域广泛应用。
它可以用于地下水位、气象数据、土壤污染等空间数据的插值预测。
克里金插值方法不仅可以提供对未知点的预测值，还能估计预测误差，并提供空间数据的空间分布图。
尽管克里金插值方法具有很多优点，但也存在一些限制。
首先，克里金插值方法假设样本点之间的空间相关性是平稳的，即在整个研究区域内具有一致性。
然而，在实际应用中，样本点之间的空间相关性可能会随着距离的增加而变化。
克里金插值法的基本 做法
克里金插值法的基本做法
克里金插值法是一种空间插值方法，用于估计地理空间上某一点的未知数值。
其基本做法包括以下几个步骤：
1. 数据收集，首先，需要收集一定数量的已知数值点的数据，这些数据通常是在地理空间上具有坐标位置的点上观测得到的。
这些数据可以是地面测量、遥感获取、传感器监测等手段得到的。
2. 半变异函数的拟合，接下来，需要对所收集到的数据进行半变异函数的拟合。
半变异函数描述了地点之间的变异程度，是克里金插值法的关键。
通过拟合半变异函数，可以得到地点之间的空间相关性。
3. 克里金插值模型的建立，在获得半变异函数后，可以建立克里金插值模型。
这个模型可以根据已知点的数据和半变异函数的拟合结果，对未知点进行插值估计。
4. 插值估计，最后，利用建立的克里金插值模型，对未知点进行插值估计。
通过模型计算，可以得到未知点的估计数值，并且估计值的精度也可以通过模型得到。
需要注意的是，克里金插值法的基本做法是基于对空间数据的
模型化和空间相关性的分析，因此在实际应用中需要根据具体的数
据特点和空间变异性进行适当的调整和参数设定。
同时，对于较大
规模的数据集，也需要考虑计算效率和模型精度之间的平衡。
总之，克里金插值法是一种常用的空间插值方法，通过合理的数据处理和
模型建立，可以对地理空间上的未知数值进行较为准确的估计。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值法原理
克里金插值法原理克里金插值法是插值法中使用最广泛的一种方法，也是数值分析中最重要的一部分。
克里金插值法以克里金为代表人物，是一种基于特定函数的插值方法，可以用于在一定的范围内准确的计算函数的极值点。
简而言之，克里金插值法就是从一组给定的节点值（常常是数值解）中构造出一个函数，该函数的值在这些节点点处等于给定的值。
克里金插值法可以用于构造有限多项式（重新插值），主要应用于多项式曲线和函数在有限范围内的拟合，也可以用于求解积分及微分方程等数值分析问题。
克里金插值法基于拉格朗日插值法，由拉格朗日插值法发展而来，被命名为“克里金插值”。
克里金插值的特殊之处在于将函数由一个变为多个，从而使得插值更加准确和精确。
克里金插值法可以应用于任何函数，当节点数增加时，插值的精度也会随之提高，可以满足更高精度的需求。
克里金插值法的计算过程总结如下：（1）首先，确定插值节点，指定每个节点点处的函数值。
（2）计算插值多项式的系数。
（3）对函数的值进行插值，求得函数在任何节点点处的函数值。
克里金插值法的数学推导及运用有以下优点：（1）克里金插值法可以用于极端情况，弥补离散点不适合拉格朗日插值法的不足。
（2）克里金插值法能够精确地估算极端情形，可以最大限度地减少误差，控制误差最大值。
（3）克里金插值法拥有良好的数值稳定性，并且计算速度更快，可以更好地满足实际应用需求。
克里金插值法在科学研究和工程应用中发挥着重要作用，它可以快速、准确的插入有限的数据，求得更加准确的结果。
同时，克里金插值法也可以用于求解积分、微分方程等数值分析的问题。
此外，克里金插值法也可以应用于拟合平滑曲线，提高编程的性能，增强程序的实用性。
总之，克里金插值法是当今数学建模和计算方法中应用最广泛的一种算法，可以应用与多个领域，并对计算精度起到积极的作用，因此，有必要加以重视和借鉴。
克里金插值法原理
克里金插值法原理克里金插值法，又称作多项式插值法，是一种重要的数学多项式插值方法，由俄国数学家莫罗雷夫克里金（M.A.Korolev）于1898年发表于《东欧数学杂志》第六期上提出。
其本质是由一些给定的离散数据，通过穿插方法构造一个多项式来进行插值拟合，可以用来表示未知函数或进行未知函数的作图等工作。
克里金插值原理已经广泛应用于微分方程、积分方程、图像处理、信号处理等等，因其在拟合数据方面的高度精确性及简洁的形式而备受青睐。
克里金插值原理主要有三个部分，分别是解析型插值、拟合函数型插值和组合函数型插值，这三种插值方法本质上是一致的，但是在实际应用中有较大的不同。
1、解析型插值解析型插值方法是根据位置的精度和多项式的次数来确定多项式的系数，并求解拟合出未知函数的解析形式。
这种插值法最具有代表性的是克里金插值，也是应用最多的一种插值方法。
克里金插值原理如下：给定n+1个离散点（xi，yi）（i=0，1，2…n），其中xi互异，它们可以通过一个多项式Pn（x）来拟合，即Pn(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn通过确定相应的系数，可以拟合出xi，yi之间的完美关系，即可以精确求解未知函数。
克里金插值原理表示为：Pn(x)=y0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn1)其中，b1,b2,..,bn别为克里金插值的系数，可以由如下的解析公式由：b1=[y1y0](x1x0),b2=[y2y0](x2x0)(x2x1),..,bn=[yny0](xnx0)(xnx1)...(xnxn1) 通过确定系数b1,b2,..,bn，便可以根据Pn(x)拟合出完美的多项式，来插补所有的未知数据，从而实现函数求解。
2、拟合函数型插值拟合函数型插值方法是根据给定的点编织一个拟合函数，并将未知函数拟合出来。
这类插值方法更加灵活，拟合精度更高，常用的拟合函数有正太曲线、指数曲线等，可以更加灵活的拟合出复杂的函数。
arcgis克里金插值法原理
克里金插值法（Kriging Interpolation）是一种用于空间数据插值的地统计学方法，常用于地理信息系统（GIS）软件如ArcGIS中。
它基于统计学原理，根据已知点的空间分布和变量值，预测未知位置的变量值。
以下是克里金插值法的基本原理：
1. 空间自相关性：克里金插值法的核心思想是假设同一地理区域内的点之间存在空间自相关性，即相邻点之间的变量值具有一定的关联性。
这意味着离得越近的点之间的变化趋势可能更相似。
2. 半变异函数：插值过程中使用了半变异函数（Semi-Variogram Function）来描述点之间的变异性。
半变异函数展示了不同距离下变量值之间的相关性或协方差。
这个函数可以帮助确定变量值在不同方向上的变异性和相关性。
3. 权重计算：在插值过程中，为了预测未知点的变量值，需要根据已知点的位置、变量值以及它们之间的空间关系来计算权重。
与离目标点距离近且变异性较小的点会得到较大的权重，而距离远或变异性大的点则得到较小的权重。
4. 插值预测：通过计算权重，将已知点的变量值加权平均，从而预测未知点的变量值。
权重的计算基于半变异函数和点之间的距离。
5. 交叉验证：为了评估插值的精度，通常会采用交叉验证方法。
该方法将已知数据分成训练集和测试集，通过对测试集进行插值并与真实值比较，评估克里金插值法的预测能力。
总之，克里金插值法通过考虑空间自相关性和半变异函数，利用已知点之间的关系来预测未知点的变量值。
这使得它在GIS等领域中广泛用于空间数据插值和预测。
1/ 1。
克里金插值方法第二节
•
地变化，否则可能导致KT
线性系统不稳定；
（2）在主变量的所有数据点u处和待估计的 位置u处，外部变量都必须是已知的。
（K=0时，？）
四、 协同克里金（CK） (Cokriging)
利用几个变量之间的空间相关性，对其中的一个或几 个变量进行空间估计，尤其适用于被估计变量的观察数据 较少的情况 。
协同克里金估计值（初始变量和二级变量）
n
m
Z
* 0
i xi
jyj
i 1
j 1
Z
* 0
----随机变量在位置0处的估计值；
x1,, x-n---初始变量的n个样本数据；
•
y1,, ym----二级变量的m个样本数据；
a1,, an 及 1,, --m--需要确定的协同克里金加权系数。
协同克里金方程组
n
i C
xi x j
1
( 1,2,, n)
应用条件：
随机函数二阶平稳 随机函数的期望值 m为常数并已知
不能用于具有局部趋势的情况
二、普通克里金(OK) (Ordinary Kriging)
n
Z *u (u)Z u 1
n 1
(u)C
u
u
(u) Cu u
n
(u) 1
1
1,, n
观察数据：是指那些精度比较高，但数量比较少的数据 猜测数据：是指那些精度比较低，但分布广泛的数据
在观测数据比较多的地方，估计 结果主要受观测数据的影响；在 观测数据比较少的地方，则主要 受猜测数据的影响。
n
(u)C(u ,u ) C(u,u ),
1
( 1,2,, n)
求(n+1)个m(u), 求(n+1)×(n+1) 个C(u,u)
克里金插值法原理
克里金插值法原理
克里金插值法（也称作Lagrange插值法）是用于在特定的一组点上插入函数的方法，可以用来求解多元函数。
它是由Joseph-Louis Lagrange在18次世纪中发展出来的，因此它也被称为Lagrange插值法。
在拟合实验数据时，克里金插值法是常用的一种方法，它可以用来求解多元函数，以便评估函数之间的差异。
克里金插值法基于牛顿第三定律，其中第三定律规定，椭圆在椭圆上任意一点处，椭圆上所有点与此点的距离相等。
这就是克里金插值法的基本思想，求解一个函数的值，可以通过在一个椭圆上的多个点上的值求出来的。
它的计算方法是，在一个椭圆上的点上求出多个点，如已知每一点的函数值，用克里金插值法，可以求出椭圆上任意点的函数值。
克里金插值法的基本公式如下：
P(x)=∑n[L(x)f(x)]
其中P(x)表示函数值，L(x)表示拉格朗日多项式；f(x)表示被求函数值。
采用克里金插值法求解函数值的时候，首先要确定椭圆上的n+1个点，然后求出拉格朗日多项式L(x)，最后从已知的f(x)的值，计算出函数值就可以了。
克里金插值法的优点在于它可以用来拟合较低次幂的多元阶数，不会受到解析解的限制，这使得拟合曲线更加准确。
克里金插值法也有一些缺点，如在椭圆上的点变多的时候，公式计算会变得复杂；如果有一个点出现数值错误，整个拟合结果也会失真。
总之，克里金插值法是求解多元函数的常用方法，它基于牛顿第三定律，可以用来拟合较低次幂的多元阶数，不会受到解析解的限制，因此，它是统计学中经常被使用的一种插值方法。
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克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G . Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n,2,1)(,(),(11niijjiniijxxCxxCλμλ，（3）式中，C（x i，x j）是Z(x i)和Z(x j)的协方差函数。
2 方法步骤克里金插值法的应用步骤如下：1、输入原始数据，即采样点，下面以输入三个采样点求待估插值为例来进行说明。
如图1所示：图1 采样点图示2、网格化，选择区域的围和网格的大小，对区域进行网格化处理。
3、数据检验与分析，根据采样值是否合乎实际情况，剔除明显差异点。
4、直方图的计算，直方图有助于掌握区域变化的分布规律，以便决定是否对原始数据进行转换。
5、利用变异函数进行变异函数计算，了解变量的空间结构。
6、克里金插值估计（1）待估点权重系数估计利用多边形估计的方法，首先确定离待估点最近的采样点的权重，根据公式（4）进行采样点权重估计：∑=++=niwwiidcdc111λ（4）（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图2：图2 参估点图示（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程组的系数，公式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)3,0()2,0()1,0()3,3()2,3()1,3()3,2()2,2()1,2()3,1()2,1()1,1(321C C C C C C C C C C C C λλλ （5） （4）分析在各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性对权重值的影响[2]。
各向同性条件下改变块金值时对权重值的影响效果如图3（a ），在块金值相同条件下改变各向异性对权重值带来的影响如图3（b）：（a ） （b ）图3 各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性对权重值的影响（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：图4 方法路线图3 克里金插值法分类及适用类型克里金插值法主要有以下几种类型：普通克里金（Ordinary Kriging ）、简单克里金（Simple Kriging ）、泛克里金（Universal Kriging ）、协同克里金（Co-Kriging ）、对数正态克里金（Logistic Normal Kriging ）、指示克里金（Indicator Kriging ）、概率克里金（Probability Kriging ）和析取克里金（Disjunctive Kriging ）等[1]。
克里金插值法可以简单地表达为：)()()(s s s Z εμ+= (6) 式中，s 为不同位置的点，可以人为是用经纬度表示的空间坐标；Z （s ）为s 处的变量值，它可以分解为确定趋势值)(s μ和自相关随机误差)(s ε。
通过对这个公式进行变化，可以生成克里金插值法的不同类型。
首先，对于趋势值)(s μ，可以简单地赋予一个常量，即在任何位置s 处)(s μ=μ，如果μ是未知的，这便是普通克里金基本模型；)(s μ也可表示为空间坐标的线性函数，如：xy y x y x s 52423210)(ββββββμ+++++= (7)如果趋势面方程中的回归系数是未知的，则形成泛克里金模型；如果在任何时候趋势已知的（如所有系数和协方差均已知），无论趋势常量与否，都会形成简单克里金模型。
其次，无论趋势如何复杂，)(s μ仍无法获得很好的预测，在这种情况下需要对误差项)(s ε进行一些假设，即假设误差项)(s ε的期望均值为0，且)(s ε和)(h s +ε之间的自相关不取决于s 点的位置，而取决于位移量h 。
为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自相关可以相等。
然后，可以对方程式左边)(s Z 进行变换。
例如，可以将其转换成指示变量，即如果)(s Z 低于一定的阈值，则将其值转换为0，将高于阈值的部分转换为1，然后对高于阈值部分作出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。
如果将指示值转变成含有变量的函数))((s Z f ，即形成析取克里金的指示函数。
最后，如果有多个变量的情况，则模型为：)()()(s s s Z j j j εμ+=，其中j 表示第j 个变量。
除了为每个变量考虑不同的趋势)(s j μ外，随机误差)(s j ε之间还存在交叉相关性。
这种基于多个变量的克里金模型即为协同克里金模型。
不同的方法有其适用的条件，当数据不服从正态分布时，若服从对数正态分布，则选用对数正态克里金；若不服从简单分布时，选用析取克里金；当数据存在主导趋势时，选用泛克里金；当只需要了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里金；当同一事物的两种属性存在相关关系时，且一种属性不易获取时，选用协同克里金，借助另一属性实现该属性的空间插；当假设属性值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里金；当假设属性值的期望值是未知的，选用普通克里金。
4 国外研究进展从克里金方法被提出到现在已有完善的理论，并在很多领域得到了实际的应用，在某些领域的应用又推动了克里金理论的发展[3]。
它的发展可归纳为四个时期，每个时期都是以每一届地质统计学大会的召开为标志。
第一时期，初次提出了地质统计学理论，将地质统计学与传统的统计学分开，且提出了区域化变量、简单克里金、普通克里金、泛克里金的概念。
第二时期，地质统计学的理论逐步的幵始改进和完善。
第三时期，地质统计学克里金在实践应用的发展相对理论发展更快，形成了两种类型的理论体系：一类是有参数的克里金方法，另一类是没有参数的克里金方法，有参数的克里金方法是指所研究的数据必须符合正态分布，如析取克里金；而没有参数的克里金方法对所研究的变量的分布没有特殊要求，如指示克里金和概率克里金。
第四时期，克里金方法的应用领域不断扩展壮大，在研究中有很多新的课题产生，克里金所研究对象已经不再局限于空间领域的变量，随着某些领域的需求，正在向时间-空间领域扩展[4]。
从目前来看，克里金技术的发展可以概括如下：(1)形成了一套完整的理论体系。
线性平稳地质统计学是地质统计学的基础部分，包含基本概念：区域化变量理论；基本工具：变差函数；基本假设：二阶平稳假设和本征假设；基本公式：估计反差和普通克里金法；线性非平稳地质统计学包括了泛克里金和K阶本征函数法等。
平稳非线性地质统计学包含析取克里金等。
(2)编制了一些实际有效的程序以及软件。
例如斯坦福大学的Geostatistical Earth Modeling Software。
(3)地质统计学的提出原本是为了解决矿产储量的估计，但是随着地质统计学的发展，人们发现其研究对象存在于很多种自然现象中。
于是，地质统计学不再是研究地质领域的特有方法，而成为研究某类自然现象通用的方法，例如降水量的分布、水文层的渗透率和孔隙度等属性值、在医学上对骨豁的三维重建[5]等等。
目前国外学者利用克里金插值法做了大量研究。
翟进乾应用克里金插值方法对煤层分布监测进行了系统分析研究[6]；蕾、晓宏将克里金插值方法用于珠江三角洲网河区水位空间插值[7]；尚庆生、郭建文等将克里金插值方法用于计算青藏铁路钻孔地温数据，实现了数据的体视化[8]；颜辉武，祝国瑞等采用克里金插值方法建立水文地质层三维模型[9]，并利用体绘制技术进行可视化表达，取得了良好的效果；承香、阮双深、伍小芹提出基于克里金插值方法进行水深数据插值形成规则网格数字高程模型的算法，对海底数字地图的模拟具有重要参考价值，数字仿真结果证明该算法可行[10]。
参考文献：[1] 汤,昕.ArcGIS地理信息系统空间分析实验教程[M].:科学,2011.[2] 孟俊贞.克里金插值近似网格算法在栅格数据投影变换中的应用[D].:中南大学,2009.[3] 曲寿利,王鑫.国外物探技术现状与展望[M].石油工业,2003.[4] 兴苗.快速三维克里金插值方法研究及实现[D].:电子科技大学,2013.[5] 胡岩,王田苗,王君臣.基于Kriging算法的手术导航三维形变技术[J].航空航天大学学报,2010,5: 12.[6] 翟进乾.克里金(kriging)插值方法在煤层分布检测中的应用研究[D].:理工大学,2008.[7] 蕾,晓宏.珠江三角洲网河区水位空间插值的kriging方法[J].大学学报(自然科学版).2004,43(5):112一114,[8] 尚庆生,郭建文.基于Kriging插值的钻孔地温数据体视化[J].遥感技术与应用,2006,8(4):302～305.[9] 颜辉武,祝国瑞.基于kriging水文地质层的三维建模与体视化[J].大学学报(信息科学版).2004,29(7):611～614.[10] 承香,阮双深,伍小芹.基于kriging插值的数字地图生成算法研究[J].大学学报理工版,2004,21(4):295～299.。