电路(第五版).邱关源原著电路课程教案第3章电阻电路的一般分析.docx

,.
第 3 章电阻电路的一般分析
本章重点
1、独立 independent KCL、KVL 方程 equations个数；
2、支路法列方程 construct equations解电路；
3、网孔法列方程解电路 analyse circuit；
4、回路法列方程解电路；
5、节点法列方程解电路。

本章难点
1、含有理想电源 Ideal Power 的回路法 Loop method；
2、含有受控源 Controlled source的回路法；
3、含有理想电源的节点法 node method ；
4、含有受控源的节点法。

教学方法
本章主要讲述电阻电路的一般分析方法，即方程法。

本章采用
讲授为主，自学为辅的教学方法，共需 6 课时。

对独立KCL、KVL 方程个数确定，可以自学；有关图论Graph 的内容，在 15 章统一讲解；对支路法、网孔法、回路法、节点法在不同情况下如何建立
方程等重点和难点内容，课堂上要讲解透彻，课下布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。

为使学生能区分各方法的优
点和应用对象，可采用一个电路用不同的方法来分析。

授课内容
3.1支路法
一、支路电流法
以支路电流为未知量，根据 KCL、KVL 列关于支路电流的方程，进行求解的过程。

二、基本步骤I1R
1
2R2I 2
+I5+
ⅠⅡU
U s1
s2 _R5_
I6
1
I 4_
+ 4R6
3
R4U s4
Ⅲ
R3I 3
_ +
U s3
图3-1
仅含电阻和电压源的电路
第 1步选定各支路电流参考方向，如图3-1 所示。

第 2步对（ n－ 1 ）个独立节点列 KCL 方程
如果选图 3-1所示电路中的节点 4为参考节点，则节点1、2 、3 为独立节点，其对应的KCL 方程必将独立，即：
1 I1I 3I 40
2I 1I 2I 50
3I 2I 3I 60
第 3步．对 b( n1) 个独立回路列关于支路电流的KVL 方程
Ⅰ： R1 I 1R
5
I
5
U
s4R4 I 4
U
s10
Ⅱ： R 2 I 2U
s2R6 I 6R5 I 50
Ⅲ： R4 I 4U
s4
R
6
I
6
U
s3R3 I 30
第 4步．求解
3.2 网孔电流法和回路电流法
一、网孔电流法
1 、网孔电流：是假想沿着电路中网孔边界流动的电流，如图
3-2 所示电路中闭合虚线所示的电流 I m1、I m2、I m3。

对于一个节点数为 n 、支路数为 b 的平面电路，其网孔数为 (b - n+1) 个，网孔电流数也为 (b - n+1) 个。

网孔电流有两个特点：
独立性 Independence
：网孔电流自动满足 KCL ，而且相互独
立。

完备性 Completeness ：电路中所有支路电流都可以用网孔电
流表示。

I 1
R 1
2
R 2I 2
+
I m1
I 5
I m2
+
U
U s1
s2
_
R 5
I 6
_
_
3
R
I 4 + 4
R 6
4
U s4
I m3
R 3
I 3
_
+
U s3
图 3-2 网孔电流
2 、网孔电流法： 以网孔电流作为独立变量，根据 KVL 列出关于网孔电流的电路方程，进行求解的过程。

3 、建立方程步骤：
第一步，指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写 KVL 方程
的回路绕行方向 bypass direction of the Loop.
第二步，根据 KVL 列写关于网孔电流的电路方程。

R 1I m1R 5 ( I m1
I m2
)U
s4
R 4 ( I m3 I m1
) U
s1
0 R 2I m 2 U s2 R 6 (I m3
I m2 ) R 5 (I m1
I m 2 ) 0
R 4 ( I m 3 I m1 ) U s4 R 6 ( I m3 I m2 ) U s3
R 3I m3
( R 1 R 5 R 4 )I m1
R 5I m2R 4 I m3
U s1
U
s4
R 5 I m1
( R 2 R 5 R 6 ) I m 2
R 6 I
m3
U
s2
R 4I
m1
R 6I m 2
( R 3 R 4
R 6 ) I m 3U s3 U
s4
第三步，网孔电流方程的一般形式
R 11i m1 R 12i m 2 R 13i m3 u s11 R 21i m1
R 22i m 2
R 23i m3
u
s22
R 31i m1 R 32 i m 2 R 33i m3 u s33
式中， R ij （i= j ）称为自电阻 self-resistance ，为第 i 个网孔中各支
路的电阻之和，值恒为正。

R （ij i ≠j ）称为互电阻 Mutual-resistance ，
为第 i 个与第 j 个网孔之间公共支路的电阻之和 the sum of public resistance between Meshs ，值可正可负； 当相邻网孔电流在公共支路上流向一致时为正，不一致时为负。

u sii 为第 i 个网孔中的等效
电压源。

其值为该网孔中各支路电压源电压值的代数和。

当电压源方向与绕行方向一致时取负，不一致时取正。

4 、电路中仅含电压源的网孔法
第一步 , 选取各网孔电流绕行方向 The bypass direction of the mesh-current ；第二步 , 利用直接观察法 Direct observation 形成方程；第三步 , 求解。

5 、电路中含电流源时的网孔法
第一类情况：含实际电流源：作一次等效变换。

第二类情况：含理想电流源支路。

①理想电流源位于边沿支路 Edge branch ，如图 3-3
R 1
R 2
+
I m1 I s
U s R 3I m2
_
图 3-3
ａ：选取网孔电流绕行方向，其中含理想电流源支路的网孔电
流为已知量
I m2 ＝－ I S
ｂ：对不含有电流源支路的网孔根据直接观察法列方程
(R 1 ＋R 3)I m1 － R 3I m2 ＝U S
ｃ：求解。

②位于公共支路 Public branch ，如图 3-4
ａ：选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压
U 。

R 1
R 1
R 3
R
I
2
I
+
+
m1
I m2
+
I m1
I m2
3
U s
+
U s
rI
I s
_
U
_
R 2
--
_
图 3-4图 3-5ｂ：利用直接观察法列方程
( R1 R2 ) I m1R
2
I
m 2U U s
R2I m1 ( R2R3 ) I m 2U 0
ｃ：添加约束方程：I m2I m1I s
ｄ：求解。

6 、电路中含受控源时的网孔法（如图3-5）
第一步，选取网孔电流方向；
第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；
( R1R2)I m1R2 I m2U s
R2 I m1( R2R3)I
m2
rI
第三步，再将控制量用未知量Unknown quantity 表示
I I
m1I
m2
第四步，整理求解。

(R1 R2 )I m1R2I m 2U s
（注意： R12≠R21）(r R2 ) I m1(R2 R3r )I m20
可见，当电路中含受控源时，R ij R ji二、
回路电流法
电流适用于含多个理想电流源支路的电路。

回路电流是在一个回路中连续流动Continuously flow的假想Imaginary current。

一个具有b条支路和n个节点的电路，
其独立回路数The number of independent loop为(b - n +1)。

以回路电流loop current作为电路独立变量independent variables进行电路分析circuit analysis的方法称为回路电流法。

例：电路如图 3-6 ，求 I＝？
1Ω1Ω
+3A_ 1V I l2I l33V
_+
1A
1Ω
1ΩI l1
I l41Ω1Ω
I
2A
+
_ 5V
图3-6
解：适当选取回路，使独立电流源支路只有一个回路电流流过
I l1 2 A ， I l 2 3 A， I l 31A
于是只需对回路 4 列写回路电流方程
2I l12I l 23I l 3 5I l 4 5 1 3
∴I l 4 3.2 A则 I I l 4 3.2 A
3.3节点电压法
一、节点电压
任意选择电路中某一节点作为参考节点，其余节点与此参考节
点间的电压分别称为对应的节点电压，节点电压的参考极性均以所
对应节点为正极性端，以参考节点为负极性端。

如图3-7 所示的电路，选节点 4 为参考节点，则其余三个节点电压分别为U n1、U n2、U n3。

节点电压有两个特点：
独立性：节点电压自动满足KVL，而且相互独立。

完备性：电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。

二、节点电压法
以独立节点的节点电压作为独立变量，根据 KCL 列出关于节点电压的电路方程，进行求解的过程。

G 5
2
1
3
G 1
G 3
I S
G 2
G 4
4
图 3-7
第一步，适当选取参考点。

第二步，根据 KCL 列出关于节点电压的电路方程。

节点 1： G 1 (U n1 U n2 ) G 5 (U n1 U n3 ) I s 0
节点 2： G 1 (U
节点 3：
G 3 (U
n1
U
n2 )
G U
G U
U
n3
)0
2 n 2
3 ( n2
n 2
U n 3 )
G 4
U
n 3
G 5 (U n1 U n3 ) 0
第三步，具有三个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式
G 11u n1 G 12 u n 2 G 13u u 3 i s11
G 21u n1 G 22u n 2 G 23u n3 i s22
G 31
u n1
G 32
u n 2
G 33
u n3
i
s33
式中， G ij (i j ) 称为自由导，为连接到第 i 个节点各支路电导之和，
值恒正。

G ij (i
j ) 称为互电导，为连接于节点 i 与 j 之间支路上的电
导之和，值恒为负。

i sii 流入第 i 个节点的各支路电流源电流值代数和，流入取正，流出取负。

三、仅含电流源时的节点法
第一步，适当选取参考点； 第二步，利用直接观察法形成方程；第三步，求解。

四、含电压源的节点法
第一类情况：含实际电压源：作一次等效变换。

第二类情况：含理想电压源。

① 仅含一条理想电压源支路，如图
3-8
ａ .取电压源负极性端为参考点：则 U n1 U s
G5
1
2
3 G1
+G3
G2G4 U S
4
图 3-8
ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程：
G
1U
n1(G1 G2G3 )U n2
G
3
U
n30
G
5U
n1
G
3
U
n2(G3 G4G5 )U n30
ｃ.求解
②含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图3-9 。

ａ.适当选取参考点：令U n40 ，则 U n1U s。

ｂ. 虚设电压源电流为 I，利用直接观察法形成方程
G
1U
n1(G1 G2 )U n 2 I 0
G
5U
n 1I (G4G5 )U n 30
ｃ.添加约束方程：U n 2U n 3U
s3
G5
1
2
3
I
＋－
G1U
S3
+G3
G2G4 U S1
—
4
ｄ.求解图3-9
,.
五、含受控源的节点法 （如图 3-10 ）
U n1 R 3 R 4
U n2
+ U
_
R 1
gU
R 2
R 5
+ U S _
图 3-10
第一步，选取参考节点；
第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；
( 1 1
1 )U n1 1
R 4 U
n 2
U s R 1
R 2 R 3
R 4
R 3
R 1
1
U
n1
(
1
R 4 1
)U n2
gU
R 3 R 4
R 3 R 5
第三步，再将控制量用未知量表示
U
U n1 U n2 R 3
R 3 R 4
第四步，整理求解。

(
1
1 1 )U n1
1 U n
2 U s R 3
R 1
R 1
R 2
R 3 R 4
R 4
( gR 3
1
)U n1
( gR 3
1
1
)U n2 0 R 3
R 4
R 3
R 4 R 5
（注意： G 12 ≠G 21 ）
六、含电流源串联电阻时的节点法 （如图 3-11 ）
R
Un
3
1
+
R 2
I S
U S
_
图 3-11
(
1
1
)U n U s I s R 1
R 2 R 1
结论：与电流源串联的电阻不出现在自导或互导中。

,.
例：如下图 3-12 ，用网孔电流法和节点电压法列方程。

1
1
+
I 3
+
I
I m2
3
U S2
2
U S2
I m2
R 2
_
I S4
R 3
R
_
I S4
R 3
R 1
1
2
3
R
2
3
－ U
+
+
+
R 4
+
+
R 4
U S6
U S6
_
U
_
U
5
I m1
5
I m1
_
I m3
I 3
_
+
I m3
I 3
R
+
5
5
U 5
R
U 5
_
_
图 3-12
图 3-13
网孔电流方程：
( R 1 R 4
R 5 ) I m1 ( R 4 R 5 )I m3
U
S2
U 5
( R 2 R 3 )I m 2
R 3 I m3
U U
s2
I m3
I 3
约束方程：
I m3 I m 2 I s4
补充方程：
U 5 R 5 ( I m1
I m3 ) ； I 3
I
m 2
节点电压方程：
1
1 )U n1
1
I
U 5
(
R 1
R 2
R 2
U
n 3
R 1
1 U
n 2
I
I
s 4
R 4
R 5
R
1
2
U n 1
R 1
2 U n 3
I s 4
I 3
约束方程： U
n1
U
n2
U
s 2
补充方程： I 3
U
n1
U
n3
；
U 5
R 5 U n2
R 2 R 4 R 5
上述电路也可以列写回路电流方程图 3-13 ，如下：
,.
回路电流方程：
( R1R4R5) I m1( R4R5)I
U S2U 5
m3
I m2I S4I m3I S3
补充方程：U 5R5 ( I m1I m3 )； I 3I m2I m3。