圆的一般式方程

2 2 ∴x0＋y0＝16， 又∵P 为 MA 的中点，
8＋x0 x＝ 2 ∴ y＝0＋y0 2
x0＝2x－8 ，解得 y0＝2y
.
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16， 化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
将上式配方整理可得：
2 2 D 2 E 2 4F D E (x ) ( y ) 4 2 2
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 4 2 2
(1)当D E 4F 0时,
2 2
方程x
2

y
1 2
2
Dx Ey F 0表示以点( D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
2 y 2 Dx Ey F 0 x D 2 E 2 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]
一般方程
配方 展开
标准方程(圆心,半径)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
的取值范围是
（
）
1 1 1 A. m1 B. m 1 C.m D. m 或m1 4 4 4
练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x y 0 ________
2 2
(2)x y 2x 4y 6 0____
2 2 2
(3)x y 2ax b 0________
D E , )为圆心， 2 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x
2
y
2
D E Dx Ey F 0表示点( , ) 2 2
2
(3)当D E 4F 0时,
2
方程x
2
y
2
Dx Ey F 0不表示任何图形.
[定义] : 圆的一般方程
2 2
(3)圆x y 8x 10y F 0与x轴相
2 2
6 切, 则这个圆截 轴所得的弦长是___ y
(4)点A(3,5)是圆x y 4 x 8 y 80 0的一
2 2
条弦的中点 则这条弦所在的直线方 , 程是 __
x y 8 0
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
2 2
(2)圆心为(1, 2), 半径为 11 的圆 .
(3)当a, b不同时为0时，圆心为( a, 0), 半径为 a 2 b 2的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1) x y 6 x 0,
2 2
(2) x y 2by 0,
O为坐标原点，若OP OQ, 求m的值。
解
P
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 y 2 m 0 x y 1 0
O Q
2x 2x (1 m) 0
2
1 m 同理y1 y2 2
1 m x1 x2 2
OP OQ
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
2 2
故圆的一般方程为x y 16x 6 y 60 0
2 2
练习： 求过三点 (0,0), B(6,0),C(0,8)的圆的方程 A .
设圆的方程为 y Dx Ey F 0 x
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) • C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与 • x轴夹角相等. (2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上. (3)圆心C到l 的距离等于
圆的半径. • B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
例.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 2 2 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程。
2 2
(3) x y 2ax 2 3ay 3a 0
2 2 2
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .
求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程， 练习： 并化一般方程。
设圆的方程为 x 8) ( y 3) r (
2 y 2 Dx Ey F 0 x
复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 ( y b) 2 2 ( x a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
想一想，若把圆的标准方程 2 ( y b) 2 2 ( x a) r
展开后，会得出怎样的形式？
x1 x2 y1 y2 0 (2)
1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么
y 的最大值。 x
2.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 y (1)求 的最小值 x (2)求x2+y2的最大值与最小值
3.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使L被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出 直线方程。
化简得x2+y2+3x-2y-18=0, 点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧.
例.已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连 接 M(8,0)和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方 程.
解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)， ∵点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，

x
2

y
2
2
Dx Ey F 0
D E 4F 0
2 2
2
思 方程Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 考 表示圆的充分必要条件是什么?
A C 0, B 0, D E 4 AF 0.
2 2
例．方程x2+y2+4mx-2y+5wk.baidu.com=0表示圆时，m
例.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交 圆C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2), 半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.∵CP⊥MP ∴kCP•kMP=-1,即
y2 y =-1. x3 x 6
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 6D F 0 2 8 8E F 0
2
F 0
D 6, E 8， F 0.
所求圆的方程为：
2 y 2 6x 8 y 0 x
练 (1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为 -6 ___ 4 习 (2,3), 半径为4, 则D ___ E ___ F -3 2 2 (2) x y 2ax y a 0是圆 1 a 的充要条件是_____ 2
2 y 2 2ax 2by a 2 b 2 r 2 0 x
令 2a D,2b E , a b r F得
2 2 2
2 y 2 Dx Ey F 0 x
再想一想，是不是任何一个形如：
x
2

y
2
Dx Ey F 0
的方程表示的曲线都是圆？
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
作业
(1)已知圆x 2 y 2 Dx Ey F 0的圆心坐标为（， 13 ）， 半径为5，则D，E，F分别等于
( A)2,6,15( B)2,6,15(C ) 2,6,15( D) 2,6,15
3 (2) x y 3ax y a 0是圆的方程的充要条件 是 2 1 1 1 1 ( A)a ( B)a (C )a ( D)a 3 3 3 3
2 2
D
D
36 (3)圆x y 2x 12y F 0与Y轴相切，则F的值是 __
2 2
2 2 （4） 已知圆C:x y m 0与直线x y 1 0相交于P, Q两点，