工程流体力学第二章
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工程流体力学 第二章
( x , y , z , t ) t
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
16
2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
16
2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
工程流体力学2
§2-1 流体静压强及其特性
静压强：当流体处于平衡或者相对平衡状态时， 作用在流体单位面积上的力。
p lim Fn
A 0
A
pn
特性一：
流体静压强的作用方向沿着
作用面的内法线方向。
静止流体对容器的作用一定垂直于固体壁面。
§2-1 流体静压强及其特性
特性二：
静止流体中的任一点上，来自任意方向上的静压强都是相等的。
三、流体静压强的测量和液柱式测压计
常见的测压仪器有：液柱式测压计；金属式压强计（利用
金属的变形来测量压强）；电测式仪表（将压强变化转化
为电信号的变化）等。
液柱式测压计的测量原理是以流体静力学基本方程 为依据的。
§2-3 重力场中流体的平衡
1、测压管
p pa
p p a gh
p pa
计。通常采用双U形管或三U形管测压计。
§2-3 重力场中流体的平衡
3. U形管差压计 用于测量两个容器或管 道流体中不同位置两点 的压强差。
p p A p B 2 gh 1 gh 2 1 gh 1 2 1 gh
§2-3 重力场中流体的平衡
§2-3 重力场中流体的平衡
水头：单位重量流体所具有的能量用液柱高度来表示。 静水头：位置水头和压强水头之和。
方程的几何意义：
在重力作用下，静止的不可压缩流体中各点的静水头都相等。
§2-3 重力场中流体的平衡
有自由液面的静压强公式： p0 p z z h g g
p p 0 gh
h 为任意点在自由液面下的深
度，即淹深。
流体内部的静压强包含两部分：
工程流体力学第二章静力学
• 倾斜管微压计
pa
p
L
1
A Θ
h2
2
h1
0
0 ρ
s
• 双杯式微压计（测量压差）
p2 Δh p1
D
Δh
D
油 ρ1 h h0
N
N
ρ
2
水
d
微压计的放大效果为11mm→100mm，放大效果显著。
§2-5 液体的相对平衡
★ 研究特点：建立动坐标系
一、液体随容器作等加速直线运动 建立如图所示动坐标系，则 f x a f y 0 f z -g 1.压强分布 p pa ( ax gz ) 2.等压面方程 p pa ax gz c (斜平面)
p --- 压强势能，简称压能 g p z --- 总势能 g
y
A Z
x
z
p C g
流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用 下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势 能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。
几何意义 z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度， g 称为压强水头 p z --- 静压水头（或静力水头） g
流体力学电子教案
第2章 流体静力学
★特点：τ=0 ★重点掌握：
p（压强）
概念及特性 p p0 gh 的意义 p p0 gh 的应用
P（压力）的计算
平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；如盛装在固定不动容器 中的液体。 一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。例 如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋 转运动的容器内的液体。
工程流体力学第二章 流体及其物理性质
第五节 流体的粘性
牛顿内摩擦定律：
牛顿在《自然哲学的数学原理》中假设：“流体两部分由于缺乏润滑而引起 的阻力与速度梯度成正比”。
F ' A
U H
dv x dy
xt / y d x d lim lim t t 0 0 dt t t dy
固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。
第一节
液体和气体的区别：
流体的定义和特征
气体易于压缩；而液体难于压缩； 液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形 状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。
液体和气体的共同点：
两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生 变形或流动，故二者统称为流体。
第二节 流体的连续介质模型
连续介质（continuous medium） 质点连续地充满所占空间的流体或固体。 连续介质模型（continuous medium model） 把流体视为由流体质点没有间隙地充满它所占据的整 个空间的一种连续介质，表征流体状态的宏观物理量（速 度、温度、压强、密度等）都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型：
第三节 流体的密度 相对密度 比容
密度：单位体积内流体所具有的质量。
密度表征流体在空间的密集程度。
密度：
m lim V 0 V
kg m 3
对于均质流体：
m ＝ V
1
比体积（比容）：密度的倒数。 v 相对密度：
d＝ f w
式中， f －流体的密度（kg/m3）
第四节 流体的压缩性和膨胀性
流体的膨胀性 当压强一定时，流体温度变化体积改变的性质称为流 体的膨胀性，膨胀性的大小用温度体胀系数来表示。 体胀系数：
工程流体力学-第二章 流体运动基本方程和基本规律
t
•
Vv
0
t
Vi
xi
0（2-11）
➢ 这就是连续方程的微分形式。 ➢ 该方程建立了流场中某点的流动变量之间的
关系。
26 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 ➢ 而积分形式的连续方程反应的是流场中一个有
限空间的流动变量之间的关系。
➢ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形 式都是质量守恒定律的等效的表示。它们只是 数学表述方式不同而已，反映的的实质都是 “物质即不能创造也不能消灭”。
•
（2-14）
31 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
➢ 考虑微分形式给出的连续方程，
t
•
Vv
0
➢ 应用上述的矢量记号，上式变为，
t
v V•
v •V
0
➢ 此方程中前两项的和就是密度的物质导数。
因此有，
D
Dt
v •V
✓从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的
连续方程。
24 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
➢ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所
以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求
偏导数可以放到体积分符号里面，
vv
V • dS
t
d
工程流体力学第二章
二、流体静力学基本方程的能量意义和几 何意义 （1）位置水头（位置高度）： 位置水头（位置高度）：流体质点 位置水头 ）： 距某一水平基准面的高度。 （2）压强水头（压强高度）： 压强水头（ ）：由流体静 压强水头 压强高度）： 力学基本方程中的p/(ρ g)得到的液柱高度。 压强势能： 压强势能：流体静力学基本方程中 的p/ρ项为单位质量流体的压强势能。
⇒
∂p ∂x = ρ f x ∂p = ρf y ∂y ∂p = ρf z ∂z
⇒
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
物理意义： 物理意义： 流体静压强的增量决定于质量力。 流体静压强的增量决定于质量力。
§2.2 流体平衡微分方程式
二、等压面
3. 性质
① 等压面就是等势面 ② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该 点的等压面。
r r f ⋅ dr = 0
⇒
r r f ⊥ dr
③ 等压面不能相交 ④ 绝对静止流体的等压面是水平面 ⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面
§2.2 流体平衡微分方程式
二、等压面 [思考题] 一盛水园筒静止时水面为水平面，当园筒以匀角速度 绕中心轴旋转时，水面将变成
z+ z+ p =C ρg
p p = z0 + 0 = C ρg ρg
P0
p p0 z + = (z + h) + ρg ρg
p = p0 + ρgh
P
h
Z0
形式二
Z
h叫做淹深，有了淹深的概念可以将坐标轴建立在自由表面。
§2.3 重力场中静止流体内部的压强
工程流体力学 - 第2章 - M
x y
z
dz
dp f x dx f y dy f z dz
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。
将（1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质 流体 ＝ c ） f x f y y x f y f z z y f z f x x z 上式表明存在势函数 （x、y、z）满足：
这种测压管的优点： 结构简单，测量准确；
缺点:
被测压强不能太大
2、U型测压计
U形管测压计的工作液 体的密度较大，其测量 范围比测压管大，它测 量容器中的绝对压强可 以高于大气压强，也可 以低于大气压强，被测 流体可以是气体，也可 在是液体。
（a）测计示压强
p1 p 2
p1 p 1 gh1 p 2 p a 2 gh2
等压面方程
ax gz C
等压面已不是水平面，而是一簇平行的斜面。其与x方 向的倾斜角为
a arctan g
自由表面上，取坐标原点x=0，z=0时，积分常数C ＝0，故自由表面方程为
ax+gzs=0
或
zs
a zs a x x g g
式中zs—自由表面上点的z坐标，称为超高。 相对平衡液体的压强分布规律：
同理可得 py=pn，pz=pn 。这里的 就是任意方向微元 平面上的应力 ，它和该点坐标平面方向的应力 相等。 特征②表明静压力是各向同性的，仅是坐标点 的函数。
p p(x, y,z)
§2.3 流体静力学的基本方程
静止流体中任取一微元六 面体，其边长分别为 dx ， dy ， dz ，坐标的选取如 下图。 分析 x 方向的受力平 衡情况：作用于微元体 上的质量力在 x 方向的投 影为 f x d x d y d z ，设 六面体形心处的静压强
z
dz
dp f x dx f y dy f z dz
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。
将（1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质 流体 ＝ c ） f x f y y x f y f z z y f z f x x z 上式表明存在势函数 （x、y、z）满足：
这种测压管的优点： 结构简单，测量准确；
缺点:
被测压强不能太大
2、U型测压计
U形管测压计的工作液 体的密度较大，其测量 范围比测压管大，它测 量容器中的绝对压强可 以高于大气压强，也可 以低于大气压强，被测 流体可以是气体，也可 在是液体。
（a）测计示压强
p1 p 2
p1 p 1 gh1 p 2 p a 2 gh2
等压面方程
ax gz C
等压面已不是水平面，而是一簇平行的斜面。其与x方 向的倾斜角为
a arctan g
自由表面上，取坐标原点x=0，z=0时，积分常数C ＝0，故自由表面方程为
ax+gzs=0
或
zs
a zs a x x g g
式中zs—自由表面上点的z坐标，称为超高。 相对平衡液体的压强分布规律：
同理可得 py=pn，pz=pn 。这里的 就是任意方向微元 平面上的应力 ，它和该点坐标平面方向的应力 相等。 特征②表明静压力是各向同性的，仅是坐标点 的函数。
p p(x, y,z)
§2.3 流体静力学的基本方程
静止流体中任取一微元六 面体，其边长分别为 dx ， dy ， dz ，坐标的选取如 下图。 分析 x 方向的受力平 衡情况：作用于微元体 上的质量力在 x 方向的投 影为 f x d x d y d z ，设 六面体形心处的静压强
工程流体力学第二章
1 p X x 0 1 p 0 Y y 1 p 0 Z z
2.2 流体平衡微分方程
物理意义： • 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。 • 压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体积上的 质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
pa 101300 10.33mH 2O 水柱高mH20：1atm相当于 g 9800 pa 98000 h 10 mH 2O 1at相当于 g 9800 汞柱高mmHg：1 atm相当于 h 101300 760 mmHg 3 13.6 10 9.8 98000 1at相当于 h 736 mmHg 3 13.6 10 9.8 h
p1 p A A g (h1 h)
p 2 p B B gh2 gh
因p1=p2 ，故
p A A g (h1 h) p B B gh2 gh
p A p B B gh2 gh A g (h1 h)
1 Fx X（ dxdydz ） 6 1 Fy Y（ dxdydz ） 6 1 Fz Z（ dxdydz） 6
（2）受力平衡： ∑Fi=0
△px
dy B y
研究x方向：∑Fx=0
A
x
△pz
px pn cos n, x） Fx 0 （
SOBC cos n，x） （ S ABC
Px=pn
同理： Py=pn ，Pz=pn
Px=py=pz=pn
2.2 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设 中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
2.2 流体平衡微分方程
物理意义： • 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。 • 压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体积上的 质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
pa 101300 10.33mH 2O 水柱高mH20：1atm相当于 g 9800 pa 98000 h 10 mH 2O 1at相当于 g 9800 汞柱高mmHg：1 atm相当于 h 101300 760 mmHg 3 13.6 10 9.8 98000 1at相当于 h 736 mmHg 3 13.6 10 9.8 h
p1 p A A g (h1 h)
p 2 p B B gh2 gh
因p1=p2 ，故
p A A g (h1 h) p B B gh2 gh
p A p B B gh2 gh A g (h1 h)
1 Fx X（ dxdydz ） 6 1 Fy Y（ dxdydz ） 6 1 Fz Z（ dxdydz） 6
（2）受力平衡： ∑Fi=0
△px
dy B y
研究x方向：∑Fx=0
A
x
△pz
px pn cos n, x） Fx 0 （
SOBC cos n，x） （ S ABC
Px=pn
同理： Py=pn ，Pz=pn
Px=py=pz=pn
2.2 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设 中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
工程流体力学第二章
Z p g
位置水头 压力水头 该点压力的液柱高度
测压管水头 ——为一常量
2、物理意义
z
p g
比位能
单位重量流体所具有的位能。 单位重量流体从大气压力为基点算 起所具有的压力势能。
比压能
p z g
总势能
——为一常量
说明：
（1）静止流体中任一点的压力由两部分组成，即液面
压力p0与该点到液面间单位面积上的液柱质量。
坐标轴方向的合力均为零。
适用条件：绝对、相对静止, 可压缩与不可压缩流体。
二、方程的积分 将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p p p dx dy dz (Xdx Ydy Zdz) x y z
因为 p＝f（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的 全微分dp，则上式可写为
（1）
④ 等压面方程 令 所以 dp＝0， 则 adx + gdz＝0
ax gz C
a tg 1 g
结论：a.等压面是一簇平行斜平面 b.它与x轴夹角为
对于自由液面：x＝0，z＝0，C＝0 则
ax gzs 0
自由液面方程 自由液面上点的z坐标
⑤
静压力分布
p p0 U U 0
——帕斯卡（Pascal）定律
帕斯卡（Pascal）定律： 在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在 其边界上的压力，将等值、均匀地传递到 流体的所有各点。
三、等压面 定义：同种连续静止流体中，静压力相等的点组成的 面。（p＝const） 方程：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
（2）静止流体中，压力随深度呈线性变化。 （3）同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。
位置水头 压力水头 该点压力的液柱高度
测压管水头 ——为一常量
2、物理意义
z
p g
比位能
单位重量流体所具有的位能。 单位重量流体从大气压力为基点算 起所具有的压力势能。
比压能
p z g
总势能
——为一常量
说明：
（1）静止流体中任一点的压力由两部分组成，即液面
压力p0与该点到液面间单位面积上的液柱质量。
坐标轴方向的合力均为零。
适用条件：绝对、相对静止, 可压缩与不可压缩流体。
二、方程的积分 将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p p p dx dy dz (Xdx Ydy Zdz) x y z
因为 p＝f（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的 全微分dp，则上式可写为
（1）
④ 等压面方程 令 所以 dp＝0， 则 adx + gdz＝0
ax gz C
a tg 1 g
结论：a.等压面是一簇平行斜平面 b.它与x轴夹角为
对于自由液面：x＝0，z＝0，C＝0 则
ax gzs 0
自由液面方程 自由液面上点的z坐标
⑤
静压力分布
p p0 U U 0
——帕斯卡（Pascal）定律
帕斯卡（Pascal）定律： 在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在 其边界上的压力，将等值、均匀地传递到 流体的所有各点。
三、等压面 定义：同种连续静止流体中，静压力相等的点组成的 面。（p＝const） 方程：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
（2）静止流体中，压力随深度呈线性变化。 （3）同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。
工程流体力学 水力学 课件 第二章
自由液面（p=pa）方程：
a z0 x g
二、等角速度旋转容器中流体的相对平衡
建立如图所示运动坐标系
1 ）压强分布规律 液体所受单位质量力： f 2 r cos(r, x) 2 x x
o
z
h
m
z
zs
f y 2 r cos(r, y) 2 y
代入 dp ( f x dx f y dy f z dz ) 得
二、静力学基本方程式的意义
1．几何意义
在一个容器侧壁上打一小孔，接上与大气相通的 玻璃管，这样就形成一根测压管。如果容器中装 的是静止液体，液面为大气压，则测压管内液面
z1
p1 g
p2 g
2
1
z2
与容器内液面是齐平的，如图2-8所示
从图2-8中可以看出：
p1 p2 z1 z2 g g
积分：
O
z
M
x
p ( ax gz ) c
图2-13 等加速运动容器
定解条件：当x=z=0时，p=pa，则c=pa。
∴压强分布规律
p pa ( ax gz )
2 ）等压面方程 据
p pa ( ax gz ) 和等压面定义得 p pa ax gz c ( 斜平面 )
略去级数中二阶以上无穷小量得：
p1 p
1 p dx 2 x
同理可得流体微团右侧面中心M2点处的压力： p 2 p 因此作用在流体微团左侧面和右侧面的总压力分别为：
1 p dx 2 x
(p
1 p 1 p dx)dydz和( p dx)dydz 2 x 2 x
2、作用于流体微团的质量力
工程流体力学02
f y 0,
f z g
1 p fz 0 z
1 p fx 0 x
1 p fy 0 y
p gz C
p0
z h z0 z
0(y)
x
由液体自由表面上 的边界条件： z＝z0，p＝p0 ，得
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
一、流体静力学基本方程
2.能量形式的静力学基本方程
p gz C
p z C g
——不可压缩流体的 静力学基本方程 （能量形式）
p2 g
p0 2
p1 g
对静止容器内的液体 中的1、2两点有
z2
0
1
z1
0
p1 p2 z1 z2 C g g
上面两式称为流体静力学的基本方程式。它适 用于平衡状态下的不可压缩重力流体。对于可 压缩流体是不适用的。
第二章
流体静力学
§2.1作用在流体上的力 §2.2流体平衡微分方程式 §2.3流体静力学基本方程式 §2.4液柱式测压计 §2.5流体在非惯性坐标系中的相对平衡 §2.6静止流体对壁面的压力
§2.1作用在流体上的力
一、表面力
在流体中任取一体积为V， 表面积为A的流体作为分离体， 分离体外的流体通过接触面对 分离体内的流体有作用力。表 面力就是这种由分离体以外流 体通过接触面作用在分离体上 的力。故表面力又称短程力。
质量力的特点是，它们只与分离体内的相 应物理量（如质量、电荷等）有关，而与 它周围的元素无关。 如果用 f 表示作用在单位质量流体上 的 f f xi f y j f z k 质量力，则y、f z f x、f 式中： 分别为在三个坐标轴上的 分量。 i , j, k 分别为三个直角坐标轴的单位矢 量。
工程流体力学第二章
取等压面1-1，列方程： p1+1gh1= p2+2gh2 +´gh
则 p1 -p2 =2gh2 +´gh- 1gh1
（4）倾斜式微压计（自己看）
测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。(d<<D)
实质：应用几何原理测压。
例2. 为了测量高度差为z的两个水管中的微小压强差
PB-PA,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U 形管。已知A、B管中的液体相对密度d1=d3=1,倒U形管 中液体相对密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，试求 压强差PB-PA。
比的力，它是非接触力，有些教材也称为超常力。
质量力：
重力： 惯性力：动力学问题按静力 学求解时虚拟的力
另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可能受到其他 一些非接触力，如电场力和磁场力，这些力虽然与流体质量 无直接关系，在静力学分析中，仍把它们称为质量力。
单位质量力
在流体力学中，常用到单位质量力的概念。 单位质量流体所受的质量力称单位质量力。
P2 P3，P3 P4
§2.4
静压强的计算与测量
2.4.1 静压强的计算单位
流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa =1N/m2 )，
1bar=105 Pa 。以上应力单位多用于理论计算。 工程中习惯上用如下两种换算单位:
1)液柱高单位
液柱高 h
p g
液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等, 多用 于实验室计量 。 2 )大气压单位
流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式 ）
1 p 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z fx
矢量形式：
工程流体力学第二章
2-1 描述流体运动的方法
1．拉格朗日(Lagrange)法 拉格朗日(Lagrange)法 (Lagrange)
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个 流体质点自始至终的运动过程.如果知道了所有流 体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也就 清楚了. 是质点--时间描述法。 质点运动的轨迹
∫
V
ρ dV + t
∫
S
ρvndS = 0
（2.3.9
定常流动中， 定常流动中，从控制体内流出的质量流量等于流入控制 体的质量流量。 体的质量流量。 不可压缩流体 定常流管 一维不可压缩 定常流管
∫
∫
S1
S
vndS = 0
ρ 1 v1 d S 1 =
∫
S2
ρ 2v2dS 2
录像（非均匀流）
问题：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？ 答案：均匀流是指流线是平行直线的流动。 非均匀流是流线不是平行直线的流动 。 这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。
问题：恒定流、均匀流等各有什么特点？ 答案： 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化， 恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化， 均匀流的位变加速度等于0。
2-2 描述流体运动的一些基本概念
( 一．恒定流与非恒定流 定常流与非定常流)
流场中所有的运动 要素不随时间变化
v =0 t p =0 t ρ =0 t v ≠0 t p ≠0 t ρ ≠0 t
v = v ( x, y , z )
ρ = ρ ( x, y , z )
p = p ( x, y , z ) v = v ( x, y , z , t )
工程流体力学第二章
第二章
流体静力学
§2.1 静止流体上的作用力 §2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.3流体静力学基本方程
§2.4流体静压强的测量 §2.5静止流体对平面壁的作用力
§2.6静止流体对曲面壁的作用力
第二章
流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学
规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的
特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
二、平衡微分方程的积分
将流体平衡微分方程中的各式，分别乘以dx，dy，dz,得
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
P=f(x，y，z) dp Xdx Ydy Zdz
§2.1静止流体上的作用力
惯性力的概念
人用手推车，力为 F ，车的加速度为 力物体（人手）也受到一个力 F '。
a ，根据作用与反作用定律，施
F ' F m a F ' 是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来 的运动状态）而引起的对于施力物体（人手）产生的反抗力，称为小车 的惯性力。
X 1 p 0 x
简化得：
同理
y方向 Y 1 p 0
z方向
y
Z
1 p 0 z
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
4、含义
流体平衡时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关
系即质量力作用的方向就是压强递增率的方向； 平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量； 此公式适用于绝对平衡流体，也适用于相对平衡流体； 单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面 就无递增率，则该平面为等压面；如果质量力在各轴向的分 力均为零，就表示无质量力作用，则静止流体空间各点压强 相等。
流体静力学
§2.1 静止流体上的作用力 §2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.3流体静力学基本方程
§2.4流体静压强的测量 §2.5静止流体对平面壁的作用力
§2.6静止流体对曲面壁的作用力
第二章
流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学
规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的
特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
二、平衡微分方程的积分
将流体平衡微分方程中的各式，分别乘以dx，dy，dz,得
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
P=f(x，y，z) dp Xdx Ydy Zdz
§2.1静止流体上的作用力
惯性力的概念
人用手推车，力为 F ，车的加速度为 力物体（人手）也受到一个力 F '。
a ，根据作用与反作用定律，施
F ' F m a F ' 是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来 的运动状态）而引起的对于施力物体（人手）产生的反抗力，称为小车 的惯性力。
X 1 p 0 x
简化得：
同理
y方向 Y 1 p 0
z方向
y
Z
1 p 0 z
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
4、含义
流体平衡时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关
系即质量力作用的方向就是压强递增率的方向； 平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量； 此公式适用于绝对平衡流体，也适用于相对平衡流体； 单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面 就无递增率，则该平面为等压面；如果质量力在各轴向的分 力均为零，就表示无质量力作用，则静止流体空间各点压强 相等。
工程流体力学-第二章
周围流体分子或固体分子对分离体表面 的分子作用力的宏观表现。
三、静压力
工程流体力学---第二章 流体静力学
在静止的流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是
沿受力面法线方向的正压力或法向力。
F p lim
A0 A
法向力 微元面积
静压力定义
上式中p就是垂直作用于流体单位面积上的力，即物理学中 的压强，称为流体的静压力，简称压力，用p表示，单位为牛 顿（N）。作用于整个面上的力称为总压力。
工程流体力学---第二章 流体静力学 四、流体静压力的两个重要特性
1. 流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线 方向。 （利用静止流体性质进行证明）
☆流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向； ☆流体不能承受拉力，只能承受压力。
静压力惟一可能的方向就是内法线方向。
工程流体力学---第二章 流体静力学
微元体内流体所受质量力: dxdydz
说明：
微元体内流体所受质量力在x方向的分力: Xdxdydz （1）在流体力学
2. 静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无
关，即同一点各方向的流体静压强均相等。
z
Pn
Px dz
Py
Px Py Pz Pn P
O
dx
dy
y
x
Pz
表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相
等，或者说与作用方向无关。流体静压强不是矢量，而是标量，
仅是坐标的连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分
☆流体静力时，流体质点之间没有相对运动，因此粘滞性在静止 流体中显现不出来。 ☆本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
三、静压力
工程流体力学---第二章 流体静力学
在静止的流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是
沿受力面法线方向的正压力或法向力。
F p lim
A0 A
法向力 微元面积
静压力定义
上式中p就是垂直作用于流体单位面积上的力，即物理学中 的压强，称为流体的静压力，简称压力，用p表示，单位为牛 顿（N）。作用于整个面上的力称为总压力。
工程流体力学---第二章 流体静力学 四、流体静压力的两个重要特性
1. 流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线 方向。 （利用静止流体性质进行证明）
☆流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向； ☆流体不能承受拉力，只能承受压力。
静压力惟一可能的方向就是内法线方向。
工程流体力学---第二章 流体静力学
微元体内流体所受质量力: dxdydz
说明：
微元体内流体所受质量力在x方向的分力: Xdxdydz （1）在流体力学
2. 静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无
关，即同一点各方向的流体静压强均相等。
z
Pn
Px dz
Py
Px Py Pz Pn P
O
dx
dy
y
x
Pz
表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相
等，或者说与作用方向无关。流体静压强不是矢量，而是标量，
仅是坐标的连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分
☆流体静力时，流体质点之间没有相对运动，因此粘滞性在静止 流体中显现不出来。 ☆本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
《工程流体力学》第二章 流体静力学
20 0 2340 615
各项物理意义：
容器：封闭
液体重度：g
自由液面压强：po 小孔： 器壁上距底部z处
小孔处压强：p = po+ gh
在o处与一根抽成真空的小管相通，液体进入小管，并迅
速上升到A点： p = gh’
h ——O、B两处单位重量流体位能差 h’ ——O、A两处单位重量流体位能差
代表一种能量，称为压力能
容器旋转：绕铅直轴，角速度w
容器旋转后，液体虽未流出，但压强发生了变化，
画出过边上小孔的等压线
虚线 —— 相对压强为 0
盖板各点承受的相对压强：
或真空度： 盖板上： 在轴心处，真空度 最大： 在边缘处，真空度 最小： 离心泵和风机就是利用这个原理，使 流体不断从叶轮中心吸入。
3. 流体静压强仅是空间位置和时间的标量函数，与所取 作用面的方向无关——各向同性 证：取一五面体
(1)表面力：作用静止(或相对静止)流体上无拉力和切力， 表面力只有压力，
在左面上：pydxdz 在底面上：pzdxdy 在斜面上：pndxds 在前面上：pxdydz/2 在后面上：pxdydz/2
液面上半径r处： 液体体积：
由此可测得w值。
速很高，液面上升过高， 溢出容器，容器为封闭的，只在中间留有一小口。
容器静止时：液面离盖板Dho 容器旋转时：液面中心下降到b
求：w
(1)求R’：
(2)静止时空出体积＝旋转时下凹体积
画出等压线
讨论： 1、AA`处压强？ 2、A`B处压强？ 3、容器底部压强？
外力场作用在流体微团上的非接触力，与流体质量(或 体积)成正比， 如地球吸引力、惯性力、电磁力等。 流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。 单位质量力：单位质量流体受到的质量力。
工程流体力学 第二章流体静力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
第二章 流体静力学
地球 惯性系 平衡或静止 非惯性系 相对平衡或相对静止
二、静压强的两个特性
1．静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法 线”—垂直作用面）。
❖ 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一 点 m 处受力F为任意方向。则 F一定可分解为垂直于作用面的法向分 力 Fn 和平行于作用面的切向分力Fτ。
略去二阶以上高阶小量后，得：
p1
p
1 2
p x
dx
p2
p
1 2
p x
dx
3. 导出关系：
根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各
个坐标轴方向上的投影之和为零，即 Fi 0 。以x方向为
例：
fx d x d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z ( p 1 2 p x d x ) d y d z 0
若存在垂直于作用 面的法向作用力 Fn ，由流体不能 承受拉力的性质可 知：垂向作用力Fn 只能为压力。
F
Fn
Fτ
2 垂向作用Fn指向作用面。
m
图2-1 静止流体中的单元体
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。 即静压力各向等值。只是坐标点的连续可微函数。
一 般 流 体 力微 学元 证分 明析 思法 路
若存在平行于作用
面的切向作用力
Fτ ：流体在切向
F
力作用下必然发生
流动，这与流体静 止的前提条件相悖。
Fn
Fτ
m
1 静止流体不能承受剪切作用力Fτ
图2-1 静止流体中的单元体
二、静压强的两个特性
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p0 p1 z1 z1 h g g
H
p0 1
h z1
p1 p0 gh
封闭容器
基准面
有自由液面不可压缩流体处于平衡状态时流体内 部压强计算公式 1、液体内的压强与液面下的淹没深度h成正比。 2、自由液面的压强对内部任意点的影响是相同的。
Pascal原理：液体可以将液面压强等值地传递到液 体各处—Pascal原理。
相对压强pg＝p-pa>0
绝对压强 相对压强pg＝p-pa<0
绝对压强 绝对压强、相对压强和真空度之间的关系
问题：在(a)、(b)两种情况 下，问玻璃管内自由液面液 体侧的相对压强是大于零还 是小于零？
h
玻璃管插在水中
h
玻璃管插在水银中
压强度量：
单位名称 应力单位法 帕 单位符号 Pa 单位换算关系 1Pa=1N/m2
z(铅垂方向) dx
dy
p dx (p )dydz x 2
y
fz
fy fx z y
dz
p dx (p )dydz x 2
x
x
p dx p dx X ( p x 2 )dydz ( p x 2 )dydz f x dxdydz
根据牛顿第二定理:
X 0
y
b G
pn ds
o
p y dx
a
x
所以：
p x pn 0 1 p y pn dyg 0 2
故
p x pn p y pn
得证
Z
微元体分析法的步骤：
C Py
Px dz
o dy B Pn
1 取合适的微元体
2 受力分析 3 建立方程
X
y
dx A Pz
三维微元体
二、流体平衡微分方程 1 欧拉平衡方程 1755年 Euler
3、等压面 由流体中压强相等的点组成的面。p=const
z
等压面方程为：
fxdx+fydy+fzdz=0 质量力与等压面处处垂直 等压面就是等势面
z=const
g
dp d
三、流体静力学基本方程（重力场条件下） 1 流体静力学基本方程
1 p fx 0 x
∵ fx = fy=0 ∴
在重力场作用下的均匀不可压静止流体：
f x f y 0 f z g
gz
若流体均匀不可压，有=常数，那么：
dp ( f x dx f y dy f z dz) ( dx dy dz) x y z
dp d
F1
图中a-a为等压面,题目中给出的第一 个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆 筒上部的大气压强不必考虑，列等压 面方程
例如图所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，
下部为水已知
油 917 kg m3 ，求两容器中的压强差
h 10cm，a 10cm
解
由等压面的关系知
pA 水 ga b h pB 油 gh 水 gb
油 p A pB ah h 水 g 水
917 100 100 100 1000 108.3m m H2O
ρ1
M
起的压强。那么：
p1 pM 1 gh1
pMg 2 gh2
p2 pa 2 gh2
h2
A
测点压强小于大气压
pa
ρ1 M 1’ 1 A h1 h2 2 ρ2
pM pa 2 gh2 1 gh1 pMV 2 gh2 1gh1
若ρ1ρ2，即被测介质为气体， U型管内工作介质为液体时，可 以不及气体介质自重引起的压 强。那么：
均质流体中任意一点单位重量流体所具有的总势能不
变—静止流体中的能量守恒定理。
位势能和压强能可以相互转化，但其和保持不变
几何意义
z
p g
位置水头 压强水头
A-A 静水头线
其和为静水头
A ′－A′计示静水头线
※不可压缩的重力流体处于平衡状态时,静水头线或者 计示静水头线为平行于基准面的水平线
z
2 帕斯卡原理
应用：液压传动、千斤顶
汽车制动系统的模型
3 绝对压强和相对压强 1点的绝对(静)压强:
z pa
p1 pa gh
1点的相对压强（表压强）:
H
1
h z1 基准面
pg p1 pa gh
相对压强＝绝对压强－大气压强
敞口容器
真空度（pv）：表压强为负时习惯用真空度来表示。 真空度＝大气压强－绝对压强 pv=pa-p
ρ2
pa
h
h1
h’1
h2
h’2
h3
ρ1
ρ1
p2
2、倾斜式微压计
s
p1 L
A
θ 0
h2
s
h1
0 ρ
a
p1 p2 g (h1 h2 )
p1 p2 gl(sin a / A) gl / K K 1 /(sin a / A)
可见：θ减小，K增加，L加长，读数误差下降。
气体的计示压强 pe 9810Pa；第二个圆筒 d 2 30cm，活塞上受力 F2 4945.5 N，上部通大气。若
解
在F1,F2作用下,活塞底面产生的 压强分别为
p1 F1 3197 20101 Pa 2 2 d1 0.45 4 4 F 4945.5 p2 2 69964 Pa 2 2 d2 0.3 4 4
p1 p A 1 gh1 p2 p1 3 gh2 p3 p2 2 gh3 p4 p3 3 gh4 p B p4 1 g h5 h4
将上式逐个代入下一个式子 pB pA 1gh1 3 gh2 2 gh3 3 gh4 1g h5 h4 整理后得A,B两点的压强差
9806 0.5 0.3 133400 0.3 7850 0.2 133400 0.25 9806 0.6 67867 Pa p A pB 1 g h5 h4 3 gh4 2 gh3 3 gh2 1 gh1
例2 5如图所示，两圆筒用管 子连接。第一个圆筒直 径d1 45cm，活塞上受力 F1 3197N，密封 不计活塞质量，求平衡 状态时两活塞的高度差 h。（已知水银的密度 13600kg m 3 ）
例２-4 如图所示，已知
h5 =500mm 1 1000 kg m3 ，2 800 kg m3 ，3 13598 kg m3
h4 =300mm
h2 250mm，h3 200mm，
求A B两点的压强差 解 图中1-1,2-2和3-3均为等压面,根据流体静压强计算公式,
可以逐个写出每一点的静压强,分别为
由平衡微分方程式对坐标交错求导可得：
f x f y y x
f y
f z z y
f z f x x z
fz z
则质量力具有力的势函数：π(x, y, z)
fx x
矢量形式：
fy y
f grad
可见：函数（-π）在各方向的偏导数就是质量力在 此方向的分量，我们称π为质量力的势函数，该函数反 映了单位质量流体具有的势能。
p1 pM 1 gh1 2 gh2 p2 pa
pMg 2 gh2
关键：找到正确的等压面；自一侧开始， 每次在同种流体里利用水平等压面向另 一侧推进。
U型管串联
pAg gh 2 g h 1g hi
i 1 ' i i 1
n 1
n
ρ
可压缩和不和压 缩流体均适用
2、压差公式及质量力势函数 由平衡微分方程式两边分别乘以dx dy dz,并相加 得
p p p ( f x dx f y dy f z dz) dx dy dz x y z
静止流体内任意两点间的压力差公式：
dp ( f x dx f y dy f z dz)
(2)特点二：流体内部一点的流体静压强在各方向相等， 即，与作用面方向无关，静压强为标量。 取微元体、受力到如图 由于流体处于静止：
px dydz pn ds sin dz 0 1 p y dxdz pn ds cos dz dxdydz g 0 2
px dy
Z
dF
dF dFn
压强/法向压应力：
dA
切应力τ：
dFn pn lim dA 0 dA
O
Y
dF lim dA 0 dA
X
分离体
在静止流体中，切应力τ≡0
p p( X , t )
2 质量力(体积力、非接触力） 均匀作用于流体质点、大小与流体的质量成正比的力， 如：重力、电磁力、惯性力等等。 单位质量流体的质量力为：
第二章 流体静力学
本章任务：研究流体处于静止或相对静止状态下流体 内部的压力分布规律及其应用。内容包括： 一、作用在流体上的力 二、流体微分平衡方程 三、流体静力学基本关系式 四、液柱式测压计 五、液体的相对平衡 六、静止流体对壁面的作用力
一、作用在流体上的力
作用在流体上的力由表面力和质量力两种 1 表面力（接触力、面积力）
流体平衡微分方程 1755年欧拉Euler推出
1 p fx 0 x
1 p 0 类似地： f y y 1 p fz 0 z
即：静止流体内的压强梯度仅与体积力有关，该方程表 明了作用在单位质量上的质量力和流体静压强相平衡。
欧拉微分方程的矢量形式：
1 f p 0