小学数学竞赛第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

一、基本概念和知识

1.奇数和偶数

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，

奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，

奇数×奇数=奇数。

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。

解法1：∵1+2+3+…+1993

又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，

∴原式的和是奇数。

解法2：∵1993÷2=996…1，

∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

∵996个偶数之和一定是偶数，

又∵奇数个奇数之和是奇数，

∴997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数=奇数，

所以原式之和一定是奇数。

例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？

解法1：∵相邻两个奇数相差2，

∴150是这个要求数的2倍。

∴这个数是150÷2=75。

解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有

（2a+1）x-（2a-1）x=150，

2ax+x-2ax+x=150，

2x=150，

x=75。

∴这个要求的数是75。

例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。

解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。

他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。

所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，

∴a、c中至少有一个是奇数，

∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。

又∵偶数×整数=偶数，

∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。

例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

则有a+a′=b+b′=c+c′=9，因为9不会是进位后得到的

又因为a′、b′、c′是a、b、c调换顺序得到的，

所以a+b+c=a′+b′+c′。

因此，又有（a+a′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9，

即2（a+b+c）=3×9。

可见：等式左边是偶数，等式的右边（3×9=27）是奇数.偶数≠奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

解：由原题等式组可知：

a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，

c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。

∵1991、1993、1995、1997均为奇数，

且只有奇数×奇数=奇数，

∴a、b、c、d分别为奇数。

∴a×b×c×d=奇数。

∴a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。

∴不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。

例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的

总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。

因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，

因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。

但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，

故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

∵奇数≠偶数，

∴当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。

当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：

设灯的编号为1，2，3，4，…，n.做如下操作：

第一次，1号灯不动，拉动其余开关；

第二次，2号灯不动，拉动其余开关；

第三次，3号灯不动，拉动其余开关；

…

第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。

例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

∵2m≠1987（偶数≠奇数）