几何概型

几何概型

一、选择题

1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45

B.35

C.25

D.15

解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝3

5.

答案 B

2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1

3，则阴影部分

的面积是( ) A.π3

B.π

C.2π

D.3π

解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32

＝9π.由几何概型的概率，得S

S ′＝1

3

，则S ＝3π. 答案 D

3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 1

2⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )

A.34

B.23

C.13

D.14

解析 由－1≤log 12⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋12≤1，

得12≤x ＋1

2

≤2，

解得0≤x≤3

2

，所以事件“－1≤log 1

2

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x＋

1

2

≤1”发生的

概率为3

2

2

＝

3

4

，故选A.

答案 A

4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )

A.π

2

B.

π

4

C.

π

6

D.

π

8

解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝

阴影面积

长方形面积

＝

1

2

π×12 1×2＝

π

4

.

答案 B

5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体

ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )

A.π

12

B.1－

π

12

C.

π

6

D.1－

π

6

解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A.

则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.

∴V正方体＝23＝8，V半球＝4

3

π·13×

1

2

＝

2

3

π.∴P(A)＝

23－

2

3

π

23

＝1－

π

12

.

答案 B

6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段

BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4

时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1

2

. 答案 C

7.设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则

此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4

B.π－22

C.π6

D.4－π4

解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π

4

.故选D. 答案 D

8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.1

4

B.316

C.916

D.34

解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.

易知A (4，2)，S 正方形＝16，

S 阴影＝

（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝3

4

.

答案 D

9.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜1

2V S －ABC 的概率是( )

A.78

.34

C.12

D.14

解析 当点P 到底面ABC 的距离小于3

2

时，

V P －ABC ＜12

V S －ABC .

由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7

8.

答案 A

10.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋1

2

π B.12＋1π

C.12－1π

D.14－12π

解析 因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，

即点(x ，y )在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而

y ≥x 表示直线y ＝x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P ＝14·π·12－1

2×1×1π·12＝14－1

2π.

答案 D 二、填空题

11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5

6，则m ＝

________.

解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .