高等数学公式大全

π
π
∫ ∫ In
=
2 0
sin n
xdx
2
=
0
cos n
xdx
=
n −1 n
In−2
∫ x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
2
2
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
∂x ∂y
它与方向导数的关系是：∂f
�
�
�
�
= grad f (x, y) ⋅ e，其中e = cosϕ ⋅ i + sinϕ ⋅ j，为l方向上的
∂l
单位向量。
∴ ∂f 是gradf (x, y)在l上的投影。 ∂l
多元函数的极值及其求法：
设 f x ( x0 , y 0 ) = f y ( x0 , y 0 ) = 0，令： f xx ( x0 , y 0 ) = A, f xy ( x0 , y 0 ) = B , f yy ( x0 , y 0 ) = C
⎪⎩ z = z0 + pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
2 2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
x2 y2 2、抛物面： + = z（, p,q同号）
2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x2 + y 2 − z 2 = 1 a2 b2 c2
双叶双曲面：x 2 a2
−
y2 b2
+
z2 c2
=（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
xdx
=
−ctgx
+
C
∫ sec x ⋅tgxdx = sec x + C
∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C ∫ a xdx = a x + C
ln a
∫ shxdx = chx + C
∫ chxdx = shx + C ∫ dx = ln(x +
x2 ± a2
x2 ± a2 ) +C
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 柯西中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )
F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式： ds = 1 + y′2 dx,其中y′ = tgα
导数公式：
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = − csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log a
x)′
=
1 x ln a
高等数学公式
(arcsin x)′ = 1 1− x2
(arccos x)′ = − 1 1− x2
= =
0 J
0
=
∂(F,G) ∂(u, v)
=
∂u ∂G
∂v ∂G
=
Fu Gu
Fv Gv
∂u ∂v
∂u = − 1 ⋅ ∂(F,G) ∂v = − 1 ⋅ ∂(F,G)
∂x J ∂(x,v)
∂x J ∂(u, x)
∂u = − 1 ⋅ ∂(F,G) ∂v = − 1 ⋅ ∂(F,G)
5 / 12
高等数学公式
方向导数与梯度：
函数z =
f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：∂f
∂f =
cosϕ + ∂f
sinϕ
∂l ∂x
∂y
其中ϕ为x轴到方向l的转角。
函数z =
f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = ∂f
� i
+
∂f
� j
3、截距世方程：x + y + z = 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2
空间直线的方程：x − x0 m
=
y − y0 n
=
z − z0 p
= t,其中s�
⎧x = x0 + mt = {m, n, p};参数方程：⎪⎨ y = y0 + nt
若空间曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧GF
( (
x, x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
,
� 则切向量T
=
{
Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲面F
(
x,
y,
z)
=
0上一点M �
(
x0
,
y0
,
z
0
)，则：
1、过此点的法向量：n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
sin 2α = 2sinα cosα
cos 2α = 2 cos2 α −1 = 1− 2sin2 α = cos2 α − sin2 α
ctg2α = ctg 2α −1 2ctgα
tg 2α
=
2tgα 1− tg 2α
sin 3α = 3sinα − 4sin3 α
cos3α = 4cos3 α − 3cosα
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x − x0 = y − y0 = z − z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
D
D′
曲面z = f (x, y)的面积A = ∫∫
D
1+
⎛ ⎜ ⎝
∂z ∂x
2
⎞ ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎜⎝
∂z ∂y
2
⎞ ⎟⎟ ⎠
dxdy
平面薄片的重心：x
=
Mx
=
∫∫ xρ(x, y)dσ
D
, y
sinα + sin β = 2sin α + β cos α − β
2
2
sinα − sin β = 2 cos α + β sin α − β
2
2
cosα + cos β = 2cos α + β cos α − β
2
2
cosα − cos β = 2sin α + β sin α − β
2
2
·倍角公式：
=
ex ex
− +
e−x e−x
arshx = ln(x + x2 +1）
archx = ± ln(x + x2 −1)
arthx = 1 ln 1+ x 2 1− x
sin x lim = 1 x→0 x
lim(1+ 1 )x = e = 2.718281828459045...
x→∞
x
三角函数公式： ·和差角公式：
水压力：F = p ⋅ A
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
∫ 函数的平均值：y =
1
bபைடு நூலகம்
f (x)dx
b−a a
∫ 均方根：
1
b
f 2 (t)dt
b−a a
高等数学公式
平面的方程： �
1、点法式：A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0，其中n = {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0
z
=
f [u(x,
y ), v( x,
y)] ∂z
=
∂z
⋅
∂u
+
∂z
∂v ⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，
du = ∂u dx + ∂u dy dv = ∂v dx + ∂v dy
∂x ∂y
∂x ∂y
隐函数的求导公式：
隐函数F ( x,
y)
∂y J ∂( y,v)
∂y J ∂(u, y)
微分法在几何上的应用：
⎧ x = ϕ(t)
空间曲线⎪⎨ y
⎪ ⎩
z
=ψ (t)在点M = ω (t)
(x0 ,
y0
,
z0
)处的切线方程：x ϕ
− x0 ′(t0 )
=
y − y0 ψ ′(t0 )
=
z − z0 ω ′(t0 )
在点M处的法平面方程：ϕ ′(t0 )(x − x0 ) +ψ ′(t0 )( y − y0 ) + ω ′(t0 )(z − z0 ) = 0
⎧ ⎪ 则：⎪⎪⎨
AC AC
− −
B2 B2
> <
⎧ 0时，⎨
⎩
A A
< >
0, 0,
( x0 ( x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极 值
⎪ ⎪
AC
−
B2
=
0时 , 不确定
⎪⎩
重积分及其应用：
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
≈
b
− n
a
(
y0
+
y1
+⋯+
yn−1 )
∫b
梯形法： f
a
(x)
≈
b
− n
a
[1 2
(
y0
+
yn
)
+
y1
+⋯+
yn−1 ]
∫b
抛物线法： f
a
(x)
≈
b−a 3n
[(
y0
+
yn
)
+
2(
y2
+
y4
+⋯+
yn−2
)
+
4(
y1
+
y3
+⋯+
yn−1 )]
定积分应用相关公式：
3 / 12
功：W = F ⋅ s
tg3α
=
3tgα − tg3α 1− 3tg 2α
·半角公式：
sin α = ± 1− cosα cos α = ± 1+ cosα
2
2
2
2
tg α = ± 1− cosα = 1− cosα = sinα ctg α = ± 1+ cosα = 1+ cosα = sinα
4 / 12
高等数学公式
全微分：dz = ∂z dx + ∂z dy du = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz
∂x ∂y
∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：∆z ≈ dz = f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y
多元复合函数的求导法：
z = f [u(t),v(t)] dz = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v dt ∂u ∂t ∂v ∂t
2 1+ cosα sinα 1+ cosα
2 1− cosα sinα 1− cosα
2 / 12
·正弦定理： a = b = c = 2R sin A sin B sin C
高等数学公式
·余弦定理： c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
·反三角函数性质： arcsin x = π − arccos x arctgx = π − arcctgx
(arctgx
)′
=
1
1 +x
2
(arcctgx )′ = − 1 1+ x2
基本积分表： 三角函数的有理式积分：
∫ tgxdx = − ln cos x + C
∫ ctgxdx = ln sin x + C
∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C
∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
2
2
a
sin
x
=
2u 1+ u
2
， cos
x
=
1− 1+
u u
2 2
， u
=
tg
x ， dx 2
=
2du 1+ u2
1 / 12
高等数学公式
高等数学公式
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 : shx = ex − e−x 2
双曲余弦 : chx = e x + e−x 2
双曲正切 :
thx
=
shx chx
sin(α ± β ) = sinα cos β ± cosα sin β
cos(α ± β ) = cosα cos β ∓ sinα sin β
tg(α
±
β
)
=
tgα ± 1∓ tgα
tgβ ⋅ tgβ
ctg(α ± β ) = ctgα ⋅ ctgβ ∓1 ctgβ ± ctgα
·和差化积公式：
=
0， dy dx
=
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
∂ ∂x
(−
Fx Fy
)＋ ∂ ∂y
(−
Fx Fy
)⋅
dy dx
隐函数F (x, y, z) = 0， ∂z = − Fx ， ∂z = − Fy
∂x Fz
∂y Fz
∂F ∂F
⎧F (x, 隐函数方程组：⎩⎨G(x,
y,u,v) y,u,v)
平均曲率：K = ∆α .∆α : 从M点到M′点，切线斜率的倾角变 化量； ∆s：MM ′弧长。 ∆s
M点的曲率： K = lim ∆α = dα =
y′′ .
∆s→0 ∆s ds
(1 + y′2 )3
直线： K = 0;
半径为 a的圆： K = 1 . a
定积分的近似计算：
∫b
矩形法： f
a
(x)
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
∑ (uv)(n) = Cnk u (n−k )v(k )