模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门

1.前言

Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全,不确定问题的两种方法,是经典集合论的推广,它们各自具有优点和特点,并且分别在许多领域都有成功的应用,如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等.模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型,隶属函数多数是凭经验给出的,带有明显的主观性;粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想,作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具,它无需任何先验信息,能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息,对不确定集合的分析方法是客观的.两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性,同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合,产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论,并且发挥着不同的优势.

本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上,分析和总结了模糊集和粗糙集理论,对二者进行了全面的比较.

2.基本概念

这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质.

2.1模糊集

模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法.模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一;而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.

2.1.1模糊集合的基本定义

定义 1 设X是有限非空集合,称为论域,X上的模糊集A用隶属函数表示如下:

→→

A X x A x

:[0,1],()

其中()

A x表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F X.

()

模糊集合的数学表示方式为

A x A x X where A x

=∈∈

{(,(x))|},()[0,1]

2.1.2模糊集合的运算

设,A B为X上的两个模糊集,它们的并集,交集和余集都是模糊集,且其隶属函数分别定义为

=∀∈

A B A x B x x X

max{(),()}

A B A x B x x X

=∀∈

min{(),()}

⌝=-

A A

1

2.1.3 模糊集合的关系

A x

B x作为

模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数(),()

集合之间的关系表示的.

(1)模糊集合之间的相等:

=⇔=∀∈

A B A x B x x X

()()

(2)模糊集合之间的包含:

⊂⇔≤∀∈

()()

A B A x B x x X

2.1.4 截集与支集

定义2 对于()A F X ∈和任意[0,1]λ∈,定义

{}()A x A x λλ=≥

{}()s A x A x λλ=>

分别为A 的λ截集和A 的λ强截集.特别的,当1λ=时,1A 为A 的核;当0λ=时,0s A 为A 的支集.表示为如下:

{}1()()1core A A x A x ===

{}

0()()0s support A A x A x === 则根据上面截集的概念,模糊子集通过λ截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法,截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.

2.2 粗糙集

2.2.1粗糙集合的基本定义

(1)粗糙集合提出的背景

由于经典逻辑只有真假二值之分,而在现实生活中存在许多含糊的现象,并不能简单的用真假值来表示.于是,在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege 提出了含糊(vague)一词,他把含糊现象归结到边界线上.

1965年,L.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念,试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh 的FS 方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.

1982年,波兰华沙理工大学 Z.Pawlak 教授针对G. frege 的边界线区域思想提出了Rough Sets 理论.Pawlak 的RS 方法:把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.

(2)粗糙集合的定义

粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述,直接从给定的问题的描述集合出发,通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域,找出问题内在规律.

定义 2 设(,,,)K X A V f =是一个知识库,其中X 是一个非空集合,称为论域.A C D =是属性的非空有限集合,C 为D 的决策属性,C D =Φ,a V 是属性a A ∈的值域,:f X A V ⨯→是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值.

定义 3 设X 是一个有限的非空论域,R 为X 上的等价关系,等价关系R 把集合X 划分为多个互不相交的子集,每个子集称为一个等价类,用[]R x 来表示,[]{}R x y X xRy =∈,其中x X ∈,称,x y 为关于R 的等价关系或者不可分辨关系.论域X 上的所有等价类的集合用/X R 来表示.

2.2.2 上、下近似集,粗糙度

(1)上下近似集的定义

定义4 对于任意的Y X ⊆,Y 的R 上、下近似集分别定义为

(){/|}R Y Z X R Z Y =∈≠Φ

(){/|}R Y Z X R Z Y =∈⊆

集合()posR Y 称为集合Y 的正域,()()posR Y R Y =;集合()()negR Y X R X =-称为集合Y 的负域;集合()()()bnR Y R Y R Y =-称为Y 的R 边界域.

集合的不确定性是由于边界域的存在,集合的边界域越大,精确性越低,粗糙度越大. 当()()R Y R Y =时,称Y 为R 的精确集;当()()R Y R Y ≠时,称Y 为R 的粗糙集,粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.

(2) 粗糙度

粗糙度是表示知识的不完全程度,由等价关系R 定义的集合X 的粗糙度为:

()1R RX X RX ρ=-

其中X ≠Φ,X 表示集合X 的基数.