逻辑代数基础知识

有1出1，全0出0
非
AY
0 1
有0出1，有1出0
00 ? A0 ? 01 ? A1 ? 11 ? A A ?
A A A ?
00? 01 ? 11 ?
A 0=? A 1=? A A=?
0? 1?
A? A A? A A ?
四种常用逻辑运算：
与非
ABY
00 1 01 1 10 1 11 0
与
ABY
00 0 01 0 10 0 11 1
或
ABY
00 0 01 1 10 1 11 1
非
AY
01 10
2.逻辑表达式
与：Y=A·B 或写成：Y=AB
或： Y=A+B
非: Y A
3.逻辑符号
A
实现与、或、非逻辑运
算的单元电路分别叫做 B
& YA B
≥1 Y A 1
Y
与门、或门、非门
与门
或门
非门
Y ( A B C)( A B) ( A B)( A C)( A B) (B A A)( A C) B( A C)
例3：求 Y AC A(BC) 的反函数。
Y (AC)ABC (AC)A(BC) AC(BC) ABC
注意：
（1）变换前后的运算顺序不变，必要时可以加括 号来保证原来的运算顺序； （2）反演规则中的反变量和原变量的互换只对单 个变量有效。若在“非”号的下面有多个变量， 则在变换时，此“非”号要保持不变，而对“非” 号下面的逻辑表达式使用反演规则。
第一章 逻辑代数基础
1.1 概述 1.2 数制与码制 1.3 逻辑代数 1.4 逻辑函数 课堂练习 课后思考 本章小结
1.3 逻辑代数
逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，又称布 尔代数（Boolean Algebra）。逻辑代数中的变量取值只有 ０和１两种可能，又称二值代数。
逻辑代数研究的内容是逻辑函数和逻辑变量的关系。 1.3.1 基本逻辑运算 1.3.2 复合逻辑运算 1.3.3 逻辑代数的基本定律
_
_
（5） 互补律： A· A=0； A+ A =1
（6） 同一律： A·A=A； A+A=A
（7）反演律——德·摩根定律：
A•B
A B
； A B
__
A• B
（8） 还原律： A A
这些基本公式都可以用真值表来证明 。
2. 逻辑代数基本规则
1） 代入规则
在任何逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量用同 一个逻辑函数替代，则等式仍然成立，这个规则称为代入 规则。 例如： 已知 AB A B ，试证明用BC替代B后，等式仍然成立。 证明：左边 A(BC) A BC A BC
或非
AB Y
00 1 01 0 10 0 11 0
与或非（省略）
异或
AB Y
00 0 01 1 10 1 11 0
0 0 0 0 ? 0 AA0=0?=A 0 0 1 1 ? 1 AA11==?A 110 0 ? 1 AAAA==?0 111 1=?=0 AAAA ? 1
和0异或不变，和1异或得反
1.3.3 逻辑代数的基本定律
Y AB
AB Y
00 0 01 1 10 1 11 0
Y AB
AB AB
AB Y
00 1 01 0 10 0 11 1
Y A ·B
AB AB
ＡＢＣＤ Ｙ
与或非（AND-OR-Invert） ００００ １ ０００１ １
００１０ １
与或非真值表： ００１１ ０ ０１００ １
与或非表达式：Y AB CD
右边 A BC A BC 因为 左边=右边，所以等式成立。
２） 反演规则
将函数中所有的“·”换成“+”，“+”换成 “·”，1换成0，0换成1，原变量换成反变量， 反变量换成原变量，则得到原来逻辑函数Y的反
函数 Y ，这一规则称为反演规则。
例1：求 Y A BC D 的反函数。
Y ABCD 例2：求 Y A(BC) AB 的反函数。
０１０１ １ ０１１０ １
０１１１ ０
１０００ １
１００１ １
１０１０ １
１０１１ ０
１１００ ０
１１０１ ０
１１１０ ０
１１１１ ０
逻辑符号
与非门
&
或非门
≥1
异或门
Hale Waihona Puke =1同或门=1与或非门
& ≥1
课本P8
知识点回顾
3种基本逻辑运算：
与
或
ABY
00 01 10 11
ABY
00 01 10 11
有0出0，全1出1
1.3.2 复合逻辑运算
实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂的多，不 过它们都可以用与、或、非的组合来实现。4种常用逻辑 运算有与非、或非、与或非、异或。
与非（NAND） 或非（NOR）
异或（XOR） 同或(补充)
ABY
00 1 01 1 10 1 11 0
Y AB
AB Y
00 1 01 0 10 0 11 0
-
3、逻辑非（逻辑反、反相，NOT）
开关闭合时，指示灯不亮，而开关断 开时，指示灯亮逻辑非。 只要条件满足，结果就不发生；而条
+ 件不满足，结果一定发生。这种因果 关系叫做逻辑非，或者叫逻辑反。
-
灭亮
A
Y
B
亮灭
R
Y
A
（二）逻辑运算的描述
1.逻辑真值表
若条件满足用1表示，不满足用0表示；事件发生用1表示，不 发生用表示0。则可以列出逻辑关系的图表——逻辑真值表。
3） 对偶规则
将函数中所有的“·”换成“+”，“+”换成 “·”，1换成0，0换成1，则得到原来逻辑函数Y
的对偶式Y * （或Y’）。
对偶规则：两逻辑式相等，则其对偶式也相等。
常用公式（课本P14-15）
①A B A B A ②A A B A ③A A B A B ④A B AC B C A B AC ⑤A B AC B C D A B AC
1.3.1 基本逻辑运算
灭亮
（一）基本运算的概念
Y
约定：把开关闭合作为条件满足， +
把指示灯亮作为结果发生。
AB
1、逻辑与（逻辑乘、积，AND）
只有当两个开关同时闭合，指示灯才会亮。
只有条件同时满足时，结果才发生， 这种因果关系叫做逻辑与，或者叫逻辑乘。
2、逻辑或（逻辑加、和，OR）
只要有任意一个开关闭合，指示灯就亮； 只要条件之一满足时，结果就发生，这 + 种因果关系叫做逻辑或。
⑥AB AB AB AB
冗余定理 推论 异或/同或
重点掌握
• 三个特殊定理
同一律：A·A=A； A+A=A 德·摩根定律：A• B A B 还原律：A A
• 四个常用公式
__
A B A• B
①A B A B A ②A A B A ③A A B A B ④A B AC B C A B AC
1.逻辑代数的基本定理(课本P11-12)
（1） 交换律： A·B=B·A； A+B=B+A
（2） 结合律： A.(B.C)=(A.B).C； A+(B+C)=(A+B)+C
（3） 分配律： A.(B+C)=A.B+A.C； A+B.C=(A+B)(A+C)
（4） 01律： 1·A=A； 0+A=A；0·A=0； 1+A=1