数学史上的奇迹

公元1852年，毕业于英国伦敦大学并从事地图着色工作的佛朗西斯·格里斯，发现了一个奇怪的现象：无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就可以区分有公共边界的国家和地区。佛朗西斯觉得这中间一定有着什么奥妙，于是写信向其胞兄佛德雷克询问。佛德雷克对数学造诣颇深，但绞尽脑汁依然不得要领，只好求教于自己的老师，著名的英国数学家摩根（Morgan，1806～1871）。摩根教授怀着浓厚的兴趣，对此苦苦思索了几个昼夜，觉得无法判定佛德雷克所提的问题是对还是错。于是便写信给挚友，著名的数学家哈密尔顿（Hmilton，1805～1865）探讨。

摩根在信中希望哈密尔顿要么能证明“如果一张地图，图上任意分成许多部分，要求有共同边界的两部分涂不同颜色，那么只要四种颜色就够了”，要么构造出一个需要五种或更多种颜色的图来。

然而，智慧超人的哈密尔顿没能做到。他耗费了整整13年心血，终于一筹莫展，抱恨逝去！

哈密尔顿死后，又过了13年，一位颇有名望的英国数学家凯莱（Cayley，1821～1895）在一次数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”。并于次年，即公元1879年，在英国皇家地理会刊的创刊号上，公开征求对“四色猜想”的解答。从此，“四色猜想”不胫而走，成为街谈巷议的热题。

但上述状态井没有持续很久。在征解消息发出的同年，一位半路出家的数学家肯普，发表了一个关于四色定理的证明。这使曾经出现的一时轰动很快平息下来。人们普遍以为“四色猜想”已经成为历史。不料过了11年，即公元1890年，一个名叫赫伍德的青年，指出了肯普在证明中的错误。从而使这一沉熄了10年之久的问题，又重新燃起了熊熊的烈火！与此同时，赫伍德匠心独运，利用肯普提供的方法，成功地证明了用五种颜色能够区分地图上相邻的国家。这算是在向“四色猜想”进军中第一个重大的突破！

赫伍德关于“五色定理”的证明其实并不难。首先，他如同上图那样，对问题加以简化：即把原图上的每个顶点，换成围绕顶点的一个小区域。很明显，如果后一张地图能够用五种颜色染色，那么原图也一定能够用五种颜色染色。所以今后我们就只讨论顶点是三个国家界点的地图。

现在转到证明本身。设f2是边界只有两个顶点的国家数；f3是边界有3个顶点的国家数；……显然，国家总数目f：f＝f2+f3+f4……

由于f2这类国家有两个顶点，因而有两条边界，从而这类国家共有2f2条边界。同理f3类国家共有3f3条边界。如此等等。又由于每条边界都连接着两个国家。从而，边界总数目e满足：

2e＝2f2＋3f3＋4f4＋……

对于顶点总数目v，同理有

3v＝2f2＋3f3＋4f4+……

由上两式得：

3v＝2e

根据上一节结尾证明的欧拉定理知道：

v＋f＝e＋2

消去e可得：

6f＝3v＋12

即6（f2+f3+f4……）＝（2f2＋3f3＋4f4＋……）＋12

化简有：4f2＋3f3＋2f4+f5=12+f7+2f8+……

由于上式右端不小于12，因而左端必有一项大于0。这样，赫伍德便得到了一个很重要的结论：“每张交点有三个国家相遇的地图，至少有一个国家边界数不多于5。”

接下去赫伍德用了上一节讲到的数学归纳法：

【证】当国家数f＝2时命题显然成立。

假令f≤k时命题成立。即对所有交点有三个国家相遇，且国家数不多于k的地图，可用五种颜色染色。

则当f＝k＋1时，根据前面讲的，这样的地图必有一个边数不多于5的国家。不妨令A就是这样的国家吧！

很明显，与国家A相邻的国家和区域，不外乎上页图中的三种情况：图a是有一个国家与A有两条边界；图b是与A相邻的两个国家，本身有共同的边界；图c是最常见的，不存