函数问题专项

北 京 四 中
科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升 撰 稿：谷 丹 编 审：石小燕 录 入：刘红梅
本周复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

本周复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。

本周主要内容： （一）基本问题
1.定义域
2.对应法则
3.值域
4.图象问题
5.单调性
6.奇偶性（对称性）
7.周期性
8.反函数
9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 （二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。

还应注意空集的情形，验算端点。

2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。

<2>应用问题实际意义。

<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。

<4>方程，不等式问题先确定定义域。

3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。

化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。

<2>均值不等式：——形如和，积，及x
b
a x x f +=
)(形式。

注意识别及应用条件。

<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。

易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件 5．函数的奇偶性，单调性，周期性。

关注问题：<1>判定时，先考察定义域。

<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x 1及x 2。

<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。

<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。

<5>“奇偶性”+“关于直线x=k ”对称，求出函数周期。

6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。

如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。

<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。

7．函数的图象 <1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。

如下： <I>取绝对值（对称）与平移 例：由x y =
图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1> 1||-=x y <2>|1|-=x y 分析：<1> .1||||11-=−−−→−→-=−−−→−-→=
x y x x x y x x x y 对称
平移
<2> .|1|1||||-=−−−→−-→=−−−→−→=x y x x x y x x x y 对称
评述：要由x y =
得到1||-=x y 只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。

<II>平移与关于y=x 对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f -1
(x+3)是否相同？
分析：①)3x (f )3x (f y )x (f y )
x ,y ()y ,x (3x x +−−
−−→−+=−−→−=→+→对称
平移
的反函数。

②).3(13)(1)
,(),()(+-−−−−→−+→-=−−
−−−−→−→=x f x x x f y x y y x x f y 平移
对称
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。

） （三）本周例题：
例1．判断函数x x tg tgx x f sin )2
1()(⋅⋅+=的奇偶性及周期性。

分析：<1>定义域：)(2222
2Z k k x k x k x k x ∈⎪⎩⎪⎨⎧π+π≠π+π≠⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧π+π≠π+π≠ ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图： 又tgx x x
x
tgx x f =-⋅
+=sin )sin cos 11()( ∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期π的奇函数。

评述：研究性质时关注定义域。

例2．<1>设f(x)定义在R 上的偶函数，且)
(1
)3(x f x f -
=+，又当x ∈[-3,-2]时，f(x)=2x ，求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解：<1>∵ )
(1
)3(x f x f -
=+
∴ )()
3(1
)6(x f x f x f =+-
=+， ∴ f(x)周期T=6，
∴ f(113.5)=f(6⨯19-0.5)=f(-0.5). 当x ∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
∵ x ∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x. ∴ f(x+3)=-2(x+3).
∴ )3(21
)3(1)(+=+-
=x x f x f ,
∴ 51
)
32
1(2121(=+-⨯=-f .
<2>（法1）（从解析式入手） ∵ x ∈(1,2), 则-x ∈(-2,-1), ∴ 2-x ∈(0,1), ∵ T=2.
∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. ∴ f(x)=3-x, x ∈(1,2).
小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

（法2）（图象） f(x)=f(x+2)
如图：x ∈(0,1), f(x)=x+1. x ∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x ∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注：从图象入手也可解决，且较直观。

例3．<1>若x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2
<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

<2>已知二次函数f(x)=x 2
+ax+5对任意t 都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m 的取值范围。

分析：<1>设 y 1=(x-1)2
, y 2=log a x
x ∈(1,2)，即x ∈(1,2）时，曲线y 1在y 2的下方，如图： ∴ a=2时，x ∈(1,2)也成立，∴a ∈(1,2]. 小结：①数形结合 ②变化的观点
③注意边界点，a=2，x 取不到2， ∴仍成立。

<2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)
∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x 2
+4x+5.
∴ f(x)=(x+2)2
+1, 动区间：[m,0], ∵ x ∈[m,0], [f(x)]max =5, [f(x)]min =1, ∴ m ∈[-4,0]. 小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。

如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。

以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。

例4．已知函数).10(,5
5
log )(≠>+-=a a x x x f a
且 (I)判定f(x)在x ∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。

(II)设g(x)=1+log a (x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a 的取值范围。

分析：(I)任取x 1<x 2
<-5,
则：)
5)(5()
5)(5(log 55log 55log )()(2121
221121-++-=+--+-=-x x x x x x x x x f x f a a a
, ∵ (x 1-5)(x 2+5)-(x 1+5)(x 2-5)=10(x 1-x 2)<0
又 (x 1-5)(x 2+5)>0 且(x 1+5)(x 2-5)>0 1)
5)(5()
5)(5(02121<-++-<
x x x x ,
∴ 当a>1时，f(x 1)-f(x 2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当0<a<1时，f(x 1)-f(x 2)>0,∴f(x)单调递减。

(II)若f(x)=g(x)有实根，即：)3(log 15
5
log -+=+-x x x a a。

∴ .50
3055
>⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>->+-x x x x
∴ 即方程：
)3(5
5
-=+-x a x x 有大于5的实根。

（法1）)
105)(25()
5()5)(3(5+-+--=+--=x x x x x x a （∵ x>5）
16
5
320
212112)
5(20
)5(1
20
)5(12)5(5
2-=
+≤
+-+
-=
+-+--=
x x x x x ∴ ]16
5
3,
0(-∈a . （法2）（实根分布）
)3(5
5
-=+-x a x x (1)有大于5的实根， 方程(1)化为：ax 2
+(2a-1)x-15a+5=0.
∵ a>0, ∴Δ=64a 2
-24a+1≥0.
①有一根大于5 φ⇒⎩⎨⎧<≥0)5(5
f ∆.
②两根均大于]165
3,0(52210
)5(0-∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
>->≥a a
a
f ∆. 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。

用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。

②图象对称轴的位置。

③图象与x 轴交点。

④端点函数值的符号。

此题(2)中，也可以用韦达定理解决。

本周小结：
函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。

本周练习：
已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n ∈[-1,1]，m+n ≠0时,有
0)
()(>++n
m n f m f 。

<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。

<2>若f(x)≤t 2
-2at+1对所有x ∈[-1,1]，a ∈[-1,1]恒成立，求实数t 的取值范围。

参考答案：
(2)|t|≥2或t=0.。