11.1(问题)推理问题的常见求解策略(解析版)
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常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字 2,3 出现在第 2 行,数字 6,5, 4 (从左至右) 出现
在第 3 行; 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依此类推,则第 20 行从左到右第4 个数字为_________.
【答案】194 【解析】前19 行共有 19(119) 190 第19 行最左端的数为190 第 20 行从左到右第 4 个数字为194 ．
四、 题型分析
（一）归纳推理的求解策略 (1)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可 靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而 获得一般结论． (3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考 查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳． 【例 1】【2016 届浙江省慈溪中学高三上学期期末】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三 条线段,长度相等,两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原 来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°,…,依此规律得到 n 级分形图．
n 级分形图中共有________条线段． 【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有 3＝(3×2 －3)条线段,二级分
形图有 9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有 21＝(3×23－3)条线段,按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝ (3×2n－3)(n∈N*)． 【答案】an＝(3×2n－3)(n∈N*) 【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳 的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确, 有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用． 【小试牛刀】【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】如图是网格工作者经
2018 届学科网高三数学成功在我
专题十一算法、推理与证明、复数 问题一：推理问题的常见求解策略
一、考情分析
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理 又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推 理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎 推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇, 以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.
二、经验分享
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即 可． (4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性． 2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象 是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类 比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系, 解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档． 解决此类问题的注意事项与常用方法： (1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳． (2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．
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（二）类比推理的求解策略 在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就 去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法． (1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解； (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析 两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键； (3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意 知识的迁移. 【例 2】若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列Snn为等差数列,且通项为Snn＝a1＋(n－ 1)·d2.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为 b1,公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则数列 ________为等比数列,通项为________． 【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联 【点评】因为在等差数列{an}中前 n 项的和为 Sn 的通项,且写成了Snn＝a1＋(n－1)·d2,所以在等比数列{bn}中应 研究前 n 项的积为 Tn 的开 n 方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{n Tn}为等 比数列,通项为n Tn＝b1·( q)n－1.
三、知识拓展
数学史上的著名推理问题 1. 费马猜想： 法 国 业 余 数 学 家 之 王 — 费 马 （ 1601-1665 ） 在 1640 年 通 过 对 F0 220 1 3 , F1 221 1 5 , F2 222 1 17 , F3 223 1 257 , F4 224 1 65 537 的观察,发现其结果都是 素数,于是提出猜想：对所有的自然数 n ,任何形如 Fn 22n 1 的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现 F5 225 1 4 294 967 297 641 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想.学！科网 2. 四色猜想：[来源:学科网] 1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现 象： “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界 关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小 时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明.
在第 3 行; 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依此类推,则第 20 行从左到右第4 个数字为_________.
【答案】194 【解析】前19 行共有 19(119) 190 第19 行最左端的数为190 第 20 行从左到右第 4 个数字为194 ．
四、 题型分析
（一）归纳推理的求解策略 (1)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可 靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而 获得一般结论． (3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考 查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳． 【例 1】【2016 届浙江省慈溪中学高三上学期期末】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三 条线段,长度相等,两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原 来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°,…,依此规律得到 n 级分形图．
n 级分形图中共有________条线段． 【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有 3＝(3×2 －3)条线段,二级分
形图有 9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有 21＝(3×23－3)条线段,按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝ (3×2n－3)(n∈N*)． 【答案】an＝(3×2n－3)(n∈N*) 【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳 的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确, 有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用． 【小试牛刀】【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】如图是网格工作者经
2018 届学科网高三数学成功在我
专题十一算法、推理与证明、复数 问题一：推理问题的常见求解策略
一、考情分析
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理 又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推 理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎 推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇, 以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.
二、经验分享
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即 可． (4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性． 2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象 是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类 比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系, 解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档． 解决此类问题的注意事项与常用方法： (1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳． (2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．
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（二）类比推理的求解策略 在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就 去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法． (1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解； (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析 两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键； (3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意 知识的迁移. 【例 2】若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列Snn为等差数列,且通项为Snn＝a1＋(n－ 1)·d2.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为 b1,公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则数列 ________为等比数列,通项为________． 【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联 【点评】因为在等差数列{an}中前 n 项的和为 Sn 的通项,且写成了Snn＝a1＋(n－1)·d2,所以在等比数列{bn}中应 研究前 n 项的积为 Tn 的开 n 方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{n Tn}为等 比数列,通项为n Tn＝b1·( q)n－1.
三、知识拓展
数学史上的著名推理问题 1. 费马猜想： 法 国 业 余 数 学 家 之 王 — 费 马 （ 1601-1665 ） 在 1640 年 通 过 对 F0 220 1 3 , F1 221 1 5 , F2 222 1 17 , F3 223 1 257 , F4 224 1 65 537 的观察,发现其结果都是 素数,于是提出猜想：对所有的自然数 n ,任何形如 Fn 22n 1 的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现 F5 225 1 4 294 967 297 641 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想.学！科网 2. 四色猜想：[来源:学科网] 1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现 象： “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界 关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小 时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明.