自由曲面在空间光学的应用

自由曲面在空间光学中的应用
在当今的生活中，自由曲面（Free-form）扮演着越来越重要的角色。

如汽车车身、飞
机机翼和轮船船体的曲线和曲面都是自由曲面。

到底什么是自由曲面？简单来讲，在工业上我们认为就是不能用初等解析函数完全清楚的表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究；在光学系统中，光学自由曲面没有严格确切的定义，通常是指无法用球面或者非球面系数来表示的光学曲面，主要是指非旋转对称的曲面或者只能用参数向量来表示的曲面。

在我们的日常生活中，打印机、复印机以及彩色CRT中都会用到光学自由曲面。

鉴于光学自由曲面在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，所以，以下就自由曲面在空间光学方面的情况进行了调研。

一、自由曲面简介
光学自由曲面没有严格确切的定义，通常指无法用球面或者非球面系数来表示的光学曲面，主要是指非旋转对称的曲面或者只能用参数向量来表示的曲面。

光学自由曲面已经渗透到我们生活中的各个角落，如能改善人类视觉质量的渐进多焦点眼镜，就是自由曲面技术在眼用光学镜片中的成功应用。

自由曲面光学镜片主要有两种：一是自然形成的曲面；二是人工形成的曲面。

人工形成的自由曲面又分为一次成型和加工成型两种形式。

二、自由曲面运用的原因
空间遥感光学系统是在离地200km（低轨卫星）以上的轨道对地面目标或空间目标进
行光学信息获取，具有遥感成像距离远的特点。

如何在几百公里遥感距离下获得较高分辨率的同时保证较宽的成像幅宽是推动空间遥感光学不断发展的源动力。

光学系统的入瞳直径是决定空间相机地面像元分辨率的主要因素之一，在一定F／＃的前提下，入瞳直径越大，空间相机地面像元分辨率越高。

但入瞳直径的增加，意味着所有与孔径相关的像差增加。

受空间环境中力学、热学、压力等因素的制约，当入瞳直径增大到一定程度（通常200mm以上），光学系统一般采用反射式或折反射式方案。

为了简化光学系统形式，仅采用球面镜是无法平衡由于入瞳直径增加而剧增的像差，然而通过运用自由曲面的应用，可以解决像差增大的问题。

由于自由曲面光学元件具有非对称结构形式，能够提供灵活的空间布局，拓展了优化自由度，提升了光学系统的像差平衡能力，从而显著改善了光
学系统的视场适应能力。

采用基于自由曲面的离轴反射式光学系统设计技术可以使光学载荷获得更大的成像视场，提升遥感器的成像质量，避免采用多台相机视场拼接带来的制造成本和发射成本的剧增。

同时随着数控光学加工技术的进步，以及CGH光学面形检测技术的不断进步，自由曲面光学元件正逐步得到应用。

三、自由曲面的数理模型
作为光学元件的面形表达式必须具备4种特性，即连续阶特性、函数值唯一性、坐标轴无关性和局部控制性。

连续阶特性是指表达式具有一阶以上连续导数，无突变点。

函数值唯一性保证光线与曲面交点的唯一性。

坐标轴无关性是指函数值不受坐标系的改变而变化，保证数据在光学设计、加工和装调过程中的无损传递。

局部控制性是指表达式能够实现面形的局部控制，实现对非对称像差的平衡。

自由曲面的数理模型有很多种，例如Zernike多项式、XY多项式、高斯方程等，详见式（1）～式（3）。

以上3种多项式均具备这4种特性。

这3种自由曲面表达式各有优点。

Zernike多项式为圆域正交，各项系数之间不会互相干扰，且与几何像差一一对应，不会出现高次项与低次项互相抵消的情况；XY多项式与数控光学加工的表达形式一致，最适合确定式加工；径向基函数局部控制力最强，像差平衡能
力最强，同时其属于矩阵形式，最适合变形镜或子孔径拼接的面形描述。

将这3种表达式应用于头盔显示系统设计中。

光学系统设计参数见表1所示。

3种自由曲面表达式均具有很强的像差平衡能力，放开平移项后Zernike表面与径向基函数表面的优化结果几乎相当，系统特征频率下的MTF稍低，但畸变优于径向基函数表面。

由此可见，优化变量要针对系统残余像差的类型进行选取，并因此会影响自由曲面的像差平衡能力。

考虑到自由曲面光学系统数据在设计、加工、检测、装调链路中的无损传递，目前仍然选择Zernike表面作为自由曲面的数理模型。

四、自由曲面光学系统像差理论
轴对称系统所有光学元件拥有唯一的对称轴，称为光轴。

轴对称系统的像差可采用标量波像差理论进行描述，见公式（4），其中Ｈ为像高，ρ为入瞳直径。

理想的轴对称系统的全视场像差以视场中心对称，仅有一个节点（零点），规律简单，如图5所示，图6（a）～6（c）依次为彗差、像散和场曲。

当轴对称系统出现一个小的失调量时，在原波像差公式中将引入失调量σj，于是适用于轴对称系统的标量波像差变形为含有较小矢量偏量的矢量波像差公式，见公式（5）。

随着该矢量偏量σj的引入，轴对称系统像差对称性发生了改变，对称中心发生了偏移，采用CODE Ｖ软件进行像差模拟，结果如图7所示，像散出现双节点现象。

当系统发生较大偏心或倾斜时，系统像差特性将变得更加复杂，例如平面对称系统［3－4］。

平面对称系统是指系统以YZ平面对称面，见图8所示。

主镜和次镜在YZ平面内发生偏心和倾斜，使波像差公式中引入矢量ｉ·Ｈ和矢量ｉ·ρ，相比于轴对称系统由于小的失调量σj对像差的影响要大得多。

平面对称系统像差种类相比标量波像差种类大大增加，一级
像差由3种即平移、离焦和倾斜，增加到5种，三级像差由5种增加到11种，五级像差由9种增加到35种。

美国亚利桑那大学的JoseM.Sasain教授对平面对称系统的一级、三级和五级波像差进行了推导和归纳，而七级以上的波像差规律更加复杂，目前还没有得到推导。

由于自由曲面本身失对称，使得自由曲面系统也完全非对称，相比于平面对称系统，其像差规律更加复杂，目前尚未对该类系统的像差函数完成推导和归纳。

但从视场像差图形中可以定性得到自由曲面系统像差的4大特点：
ａ）像差节点不止一个；
ｂ）像场不再以中心对称；
ｃ）像差无确定指向；
ｄ）像差种类更多。

虽然目前未能完成自由曲面光学系统的波像差的推导和归纳，但是这并不影响设计过程中对光学系统参数和像质的优化和控制。

方法包括：
ａ）通过对重点光线的精确控制实现光学系统一阶参量的掌控；
ｂ）对全视场进行差权平衡，控制像面的振荡和异变；
ｃ）编写自由曲面偏离量拟合及约束程序，实现自由曲面制造性控制。

通过以上方法，并结合CODE V中用户优化评价函数功能，完成了一套针对空间遥感应用的自由曲面光学系统的设计和像质评价。

五、自由曲面空间光学系统设计
针对空间遥感光学系统追求大幅宽的应用需求，我们将自由曲面应用于四反射式光学系统中，实现了76°视场的全反射式光学系统设计。

具体光学系统参数见表4，光学系统图见图10所示。

光学系统采用四反射式光学系统形式，主镜和三镜为凸面反射镜，二镜和四镜为凹面反射镜。

其中主镜为球面反射镜，二、三、四镜为自由曲面反射镜。

表5为光学系统数据。

二、三、四镜均采用CODE V软件中的Zernike多项式描述的自由曲面面形。

其中三镜面形拟合如图11所示，其相对于最接近球面的偏离量PV值为210λ，RMS值为47λ，评价波长为632.8nm。

其中二、四镜面形拟合如图12所示，其相对于最接近球面的偏离量PV值约1148λ，RMS值292λ。

采用确定式数控加工技术进行自由曲面加工，并采用CGH干涉补偿检测技术进行面形检测，其中三镜CGH的尺寸约为Φ100mm，其条纹密度低于50lp／mm，二四镜CGH尺寸约为Φ135mm，其条纹密度低于200lp／mm。

对于大视场空间多光谱遥感相机如何控制不同视场下的光谱漂移是技术难题之一。

系统采用远心光路设计，不同视场主光线与干涉滤光片法线夹角小于3°，全视场成像光谱漂移小于1nm。

满足高精度多光谱遥感相机的应用指标要求。

采用全视场差权平衡，对76°成像视场内实现多点监控。

采用波像差对全视场像差进行平衡，利用CODE V的全视场波前多项式拟合功能，对视场内的彗差和像散进行拟合，通过对像差节点控制，实现对系统成像质量的优化。

图13为全视场波像差图，未对2个边缘设置优化控制点，波像差明显增大，而设有控制点的视场内波像差变化不大，无突变点。

图14为彗差项即Z7和Z8项的拟合，各视场彗差方向不一致，但是在差权的控制下全视场范围内彗差值差别不大，节点为条形视场的中心。

图15为像散项即Z5和Z6项的拟合，像散节点增加到6个，方向规律复杂，全视场范围内彗差值差别不大，边缘未设控制点区域，像散明显增加。

采用光学系统传递函数（MTF ）对系统像质进行定量评价。

图17和图18分别为光学系统在632.8nm 波长下的MTF 曲线以及特征频率处离焦MTF 曲线。

在632.8nm 波长下全
视场MTF高于0.567，全视场平均MTF为0.653。

近红外谱段770nm～890nm处系统全视场范围内MTF高于0.510。

虽然反射式系统没有色差，但是由于波长的增加会导致系统MTF在近红外波段有所下降。

同时多光谱CCD在近红外波段的MTF也较另外3个波段低。

因此，通常多光谱相机要求在全波段范围内相机静态MTF均高于0.2。

我们的设计结果可以满足多光谱相机的应用要求。

六、自由曲面光学设计
(1)离轴三反结构。

自由曲面和非球面设计结果的对比
光学系统的主要参数包括焦距f （m ）、视场角FOV （°）、相对孔径D ／f 等。

当探测器像元尺寸确定后，上述参数在很大程度上决定了系统设计的传递函数（MTF ）、地面像元分辨力（GSD ）、成像带宽（SW ）、信噪比（SNR ）等重要性能指标。

如某空间遥感器要求光学系统焦距为4500mm ，成像视场角为11°，且根据系统总体尺寸和体积的大小，要求光学系统设计总长与焦距的比值不超过1／3。

为了实现大视场设计，首先选用COOK
－TMA离轴三反构型，见图1，次镜为系统孔径光阑，光学系统基本对称，形成了一次成像的离轴三反射镜系统。

针对不同相对孔径D／f（D／f＝1／9.0、D／f＝1／9.5、D／f＝1／10.0）条件，完成了基于传统非球面的离轴三反系统光学系统设计，关键性能指标见图2。

上述设计结果表明：在结构尺寸约束条件下，为了满足任务指标要求，采用常规离轴三反光学系统的长焦距大视场系统设计，轴外像差相对较大，与中心视场相比轴外视场传递函数下降量超过10％，系统优化平衡能力有待提升，这对仅使用常规非球面的传统光学系统提出了巨大挑战。

因此，本文考虑引入自由曲面来拓展优化自由度，提升光学系统的像差平衡能力。

对于COOK－TMA系统而言，次镜为孔径光阑位置，地位特殊，全孔径使用，其面型对系统全视场均有贡献。

因此，为了兼顾技术的可实现性以及技术发展的先进性，首先考虑光学系统次镜选用自由曲面（XY多项式）进行设计。

对应传统离轴三反系统设计过程，针对不同相对孔径D／f（D／f＝1／9.0、D／f＝1／9.5、D／f＝1／10.0）条件，完成基于自由曲面次镜的离轴三反系统设计，关键性能指标设计结果见图3。

与基于常规非球面离轴三反系统设计对比结果见表１。

采用基于自由曲面次镜的新型离轴三反光学系统，轴外像质有明显提升，全视场像质的优势提升了遥感器的成像质量。

从分析对比结果可以看出：次镜采用自由曲面设计后，相对孔径为D／f＝1／9.5
的新型光学系统的关键性能指标已经明显优于相对孔径D／f＝1／9的传统离轴TMA光学系统，采用该方案能够有效降低光学系统重量，减小遥感器的体积。

因此，综合考虑系统性能指标需求以及遥感器载荷体积、重量限制要求，最终选择相对孔径D／f＝1／9.5作为光学系统优选方案，光学系统各反射镜的设计参数见表2。

次镜采用基于多项式形式描述的自由曲面，共由18项组成，各项参数见表3。

在系统设计过程中综合考虑了次镜的研制难度，有效控制了次镜与标准球面的偏差，系统优化设计后次镜自由曲面与标准球面偏离量仅为0.0007mm（1.1λ，λ＝632.8nm），采用定制的标准球面镜结合基于数字样板的非零位检测方法即可完成面形实时高精度检测，解决了大口径凸自由曲面反射镜检测难题，能够有效指导自由曲面次镜的加工过程。

（2）四片离轴反射系统的设计
自由曲面光学系统的设计自由度较大，可以采取折射/反射相结合的方法，可实现避免中心遮拦的离轴式设计，有利于获得高分辨力、高光能利用率，并通过光路折叠，实现系统结构的紧凑化。

设计中经常需要用带有曲率的倾斜反射面折叠光路，这些表面引入的非对称像差，用传统的轴对称球面或非球面都无法完全校正。

目前，国内外光学设计软件已经考虑非对称的自由曲面光学系统设计功能。

在选择自由曲面元件的描述方法时，要考虑到系统的实际需求和加工、检测的可能性，一般来说，需要采用关系式
中完全没有对称性的一般多项式形式的情况比较少，更多地可以采用关系式
表示的复曲面形式。

该面型关于X轴不对称性（上下不对称），提供了校正倾斜反射面引入的特殊像差的必要的自由度；同时保持了关于Y轴的对称性（左右对称），减小了加工、检测和系统装调的难度。

式（1）中，C2～C37分别为各项曲面系数。

式(2)中z为曲面的矢高，C x～C y分别为曲面在x，y轴方向的曲率；K x～K y分别为曲面在x，y方向的二次曲面系数，它们和非球面的离心率常数相对应；A R, B R, C R,D R分别为曲面的4阶、6阶、8阶、10阶旋转对称系数；
A P,
B P,
C P,
D P代表的为曲面的4阶、6阶、8阶、10阶非旋转对称系数。

对常规共轴光学系统进行优化时，一般只需控制中心和边缘厚度等边界条件。

由于自由曲面光学系统是离轴非对称结构，在对它进行优化时，边界条件的复杂性大大增加，所需的控制量不仅是中心和边缘厚度，还包括光学表面的偏心、倾斜及光学表面的相对位置。

图1(a)显示了4片离轴自由曲面反射系统不加约束时的优化结构，存在着明显的光路互相遮挡的问题；图1(b)为添加了适当约束的优化结构，该系统除了没有光路重叠，同时光学性能也得到了提高。

具体做法是在优化设计时，控制抽样光线在光学表面上的位置以及光线间的位置关系，限制自由曲面的倾斜和偏移量，即要控制它的一阶导数和二阶导数不能超出一定的范围。

如果超出一定范围，系统的像差将无法校正。

图2给出了出瞳为4mm时，自由曲面光学系统的设计结果。

可以发现，采用自由曲面棱镜等新型光学元件，利用新的像差理论和优化设计方法对目视光学系统进行优化设计，可以使光学系统达到较为理想的设计结果。

在满足系统大视场、大出瞳要求的同时使其重量大大减轻，结构更紧凑。

在具体实施系统设计时，要根据实际应用需求，建立曲面在光学设计软件中的描述模型，研究相关的像质评价和结构优化算法，探讨在设计、分析、优化过程中，由自由曲面造成的系统的非对称性对视场、光线、传递函数方位角抽样密度的影响和要求，确定加工公差的描述方法和分配方案。

（3）折衍混合自由曲面
比较具有代表性的时自由曲面头盔的光学系统（FFS HMD—Free-form surface HMD）。

这个系统的视场角是36°，直视系统的视场角时50°，出瞳直径是23mm，微显示器的分辨率是800×600，像素大小是15μm，像素大小相当于是33lps/mm的尼奎斯特频率。

其结构参数参见下列表格。

a)结构原理
光学系统包括两个部分：图像源和自由曲面棱镜。

并且该光学系统的光路由两条，其中第一条光线由微显示器发出进入棱镜，当光线第一次到达面2时，入射光线满足全反射条件，入射角大于临界角光线全反射，经面3（镀反射膜）反射后的光线再次射向面2，使此时入射角小于临界角，不在发生全反射，透过面3射入人眼。

第二条光线直接从Outdoor scene进入E2然后经过面3折射进入E1，再经过面2折射进入人的眼睛。

从图像源发出的光线第一次经过反射面2时,如果入射角小于全反射的临界角,则光线不能全部反射,部分光线会直接因透射而离开自由曲面棱镜,造成系统透过率降低甚至形成有害杂光。

因此,必须控制光线在该反射面上的入射角度,使光线全部全反射。

棱镜的材料选取光学塑料PMMA(聚甲基丙烯酸甲酯),折射率为1.49,在空气中这种介质的全反射临界角为
42.2°.如图2所示，L1,L2分别为全视场上下边缘光线，θ1为L1第一次到达面2时的入射角，θ2为第二次经过面2时的入射角，只要使θ1＞42.2°，θ2＜42.2°，即可保证成像条件。

b)光学系统设计思想
设计的系统为离轴结构,并且视场较大,这样造成像散和畸变很大。

球面和二次曲面均为旋转对称结构,子午和弧矢方向的曲率半径相同,因此光焦度也相同,从而不利于离轴像差的校正。

自由曲面子午弧矢方向的曲率半径是不同的,这样就可以在两个不同的平面方向相对独立地校正像差。

因此,面2,3均选用非旋转对称的自由曲面。

其中,面2为变形非球面,它沿正交方向各有两个不同曲率和圆锥曲线常数,描述方程如下：
式中,C x=1/r x
0, C y=1/r y
,,它们分别为x,y方向的基准球面曲率, k x, k y分别为x,y方向的
锥面度,αi为x i多项式的系数, βj为y j多项式的系数。

面2既是全反射面又是透射面,必须合理控制Y方向的光焦度使光线在第一次到此面时满足全反射条件,否则会产生杂散光影响成像质量。

面3为扩展多项式曲面,描述方程为:
其中C为曲面曲率半径,Ai为第i项扩展多项式系数。

本文合理选择多项式的幂次(仅保留x的偶次项),使其成为关于yoz平面对称的曲面。

在面3上镀反射膜,提供主要的光焦度完成光线折射。

面1为旋转对称的超环面,描述方程为:
其中C为曲率半径,k为二次曲面系数,A,B,C分别为4,6,8阶非球面系数。

本文在这个
面上加入了衍射结构校正色差。

在传统折射光学元件中,为了消色差,常采用双胶合透镜,其光焦度与阿贝数满足下面的
方程
其中,φ是总光焦度,φ1φ2分别为两块透镜的光焦度;v1,v2分别为两块透镜材料的阿贝数。

绝大多数光学材料的阿贝数均为正值,必须采用正负透镜组合才能消色差。

透镜是利用两种
阿贝数相差较大的材料组成的,这使得透镜的光焦度较大,不利于单色像差的校正。

双胶合透镜的结构还会增加光学系统的体积和质量。

衍射面的色差与波长有关,与基底材料无关,在可见波段的等效阿贝数为:
其中λF<λC,可见在可见光波段,衍射元件的阿贝数v很小且为负值,其等效折射元件光焦
度略小于总光焦度,而等效衍射元件光焦度非常小,这样有利于单色像差的校正。

衍射面的浮雕结构可以实现波前的位相调制,其相位分布函数为:
式中,r为归一化半径,A i(i=1,2,3,4,…)为衍射面的位相系数。

其中A1决定衍射面的光焦度用来校正色差, A2, A3等非球面项用来校正系统的初、高级单色像差。

在非球面上加入衍射结构,这样单一面同时具有折射和衍射两种性质,增加了光学设计的自由度,改善了系统的成像质量,解决了单片透镜无法校正色差的问题。

在选取了合适的自由曲面面型后,通过合理分配各面的光焦度,在Zemax软件中搭建系统初始结构。

利用操作数控制光线在面2的入射角度,使θ1>42.2°(满足全发射条件);通过控制边缘光线与各面的交点位置控制光线行为,防止产生杂散光。

然后以各面曲率半径、倾斜与离轴量及非球面相关系数为变量,对系统进行初步优化,优化过程中设定实际像高为视场大小。

优化过程中发现系统点斑,色差,畸变都很大,传函不理想,因此又在变量中加入高次非球面系数与衍射结构参数,增加操作数控制畸变与各视场传函,适当地改变各优化函数的权重,继续优化,在优化的过程中平衡各视场的像差大小
c)设计结果及分析
图3左边显示的是第一条光路的多光谱MTF曲线，右边显示的是第二条光路的多光谱MTF曲线。

它们的尼奎斯特空间频率是33lps/mm，光路的出瞳大小为7mm.由于空间的限制，我们在这里仅仅列出了包括近轴和边缘光线在内的5个视场的MTF，然而剩下的图则显示了频率在16lps∕mm通过视场时的视场点的变化，几乎所有的MTF值都大于0.1，在第二条光路上的MTF在尼奎斯特频率上的值都大于0.2。

点斑的RMS半径均小于30μm,并且色差得到了良好的校正。

图5所示为网格畸变图,系统最大畸变为-9.365 5%。

在实际应用中,可以预先处理输入图像信号,通过图像预变形的方法进一步减小畸变。

用Zemax软件对图片模拟仿真成像,图6为原图,图7为仿真效果图。

分析结果表明成像质量良好,可以满足HMD光学系统的使用需求。

图8为最终优化后衍射面相位与环带频率曲线图,曲线a为相位函数曲线,曲线b为环带频率曲线。

可以看出,衍射面总环带数约为228个,环带频率最高为46circle/mm,也就是说最小环带间隔为22μm,完全可以利用数控单点金刚石车削技术对衍射面进行加工。

七、自由曲面的加工方法
1、复制成形法
复制成型法也称为模具成型方法，按照不同的加工工艺过程，可以分为:模压成形法、浇注成形法、热压成形法、注射成形法等，它们的共同点是用一定的模具复制出复杂曲面光学零件，具有成本低、效率高、重复精度好等优点。

应用复制成型法加工光学元件时，其成形精度取决于模具的精度，所以它的缺点是需要先制造出比光学元件精度要求更高的模具（如图2.1），把加工的难度转移到模具上，且不适用于大型零件或小批量生产，工件的材料也受到一定的限制。

2、附加成形法
附加成形法的工作原理是按照一定的厚度要求将光学涂层附加到已经加工好了的平面或球面上，经过涂层堆积形成各类曲面的加工方法。

按照不同的加工工艺过程，可以分为电镀法和蒸镀法。

电镀法一般用于加工反射面，且要求光学零件导电；蒸镀法具有较高的重复精度，还能加工非回转对称型非球面，但由于使用的是真空设备，所以加工成本会比较高。

由于镀层厚度的限制，附加成形法只能加工具有较小非球面度的光学元件。

3、材料去除成形法
材料去除成形法是指通过各种加工手段直接去除工件的一部分材料，从而得到所需要的自由曲面光学元件的一种加工方法。

经历了从最初的传统手工修研法、弹性变形加工法及后来的成型机构加工法、仿形加工法，直到近些年的CNC研磨抛光法、刀具伺服金刚石车削法等大致三个阶段。

传统的手工修研法适用于加工大口径且与球面或平面偏离度较小的非球面，加工精度很高，但缺点是效率低，重复性较差。

弹性变形法分磨具弹性变形和工件弹性变形两种加工方式，前者是通过模具的弹性变形产生不均匀的磨削压力，造成各处去除量不。