大学物理实验理论课件

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常用仪器示值误差（限）举例
物理天平
天平的示值误差通常取天平的感量
电表
ΔINS = 量程 × k%
电阻箱
ΔINS = R × k %
k ：仪表的精度等级 k ：电阻箱精度等级
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间接测量量不确定度的评定
设直接测量量 x1, x2 ,", xn与间接测量量 N 的函数
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直接测量量不确定度
什么是t 分布
测量次数趋于无穷只是一种理论情况。根据误差理论，当 测量次数少于10次时，测量列的误差分布将明显偏离正态分
布，这时测量值的随机误差将遵从t 分布，也称学生分布。t 分布的函数式比较复杂，但t 分布曲线与正态分布曲线类 似，两者的主要区别是：t 分布的峰值低于正态分布，而且
ρ ±σρ = (5.11± 0.08)×10−7Ωm
首位数 <3 时，宜保留两位，如
D ±σD = 0.136± 0.013mm
结果表达式中，测量量的最佳值与合成不确定度 的末位数字 一般要对齐
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不确定度－应用例2
已知金属丝电阻率为 ρ = π D2R / 4L
关系为
N = f ( x1, x2 ,", xn )
各直接测量量的最佳值为 x1, x2 ,", xn
则间接测量量 N 的最佳值为
N = f ( x1, x2 ,", xn )
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间接测量量不确定度的评定
因为不确定度是一个微小量，故可借助微分手段来 研究
对 N = f ( x1, x2 ,", xn ) 两边全微分
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评定间接测量量结果的步骤
用不确定度合成公式，求出间接测量量N的 不确定度或相对合成不确定度
或
∑ U =
n i =1
( ∂f ∂xi
Ui
)2
∑ U r
=U N
=
n i =1
( ∂ ln f ∂xi
U i )2
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不确定度－注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不确定度值和相对不确定度值的有效数字一般 取1~2位 其首位数 ≥3 时，一般取一位，如
∴电阻率的测量结果为 ρ ± U = (5.1± 0.3) ×10−7 Ωm
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大学物理实验
大学物理实验-有效数字
省级精品课程 省级实验教学示范中心 建设课程
物理系⊙大学物理实验教学中心
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有效数字
测量中得到的全部可靠数字和欠 准数字，总称为有效数字
系统误差特点：具有确定性、有规律性、可修 正性。（不可通过多次测量抵消）
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系统误差主要来源
仪器因素 理论（方法）因素 环境因素 人员因素
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２随机误差（random error）
测量过程中还存在一类不可避免的误差，来自于 大量的、微小的、干扰的合成。其影响程度表现 为随机特性，增加测量次数可减小其对测量结果 的影响。
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直接测量量不确定度
B类不确定度分量ΔB：用其它非统计方法估算的不
确定度分量
在只考虑计量器具误差这一主要因素的前提
下，可以用仪器的示值误差（限）ΔINS来表示测量
量的B类不确定度分量，即
Δ B = Δ INS
一般情况下，仪器出厂时最大示值误差限的置 信概率为95%。
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若金属丝长度测量结果为 L±UL =3.000±0.005m
直径测量结果为
D ±UD = 0.136± 0.004mm
电阻测量结果为
R ± UR = 105.5 ± 0.1Ω
求：1. 电阻率测量最佳值 2. 推导出电阻率的相对不确定度公式 并计算出其数值
3. 电阻率的测量结果
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∑ dN
=
∂f ∂x1
dx1
+
∂f ∂x2
dx2
+"+
∂f ∂xn
dxn
=
n i =1
∂f ∂xi
dxi
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间接测量量不确定度的评定
或先取自然对数，再求全微分，得到
∑ dN
N
=
∂ ln f ∂x1
dx1 +
∂ ln f ∂x2
dx2
+"+ ∂ ln f ∂xn
dxn
=
大学物理实验
物理实验-测量误差
省级精品课程 省级实验教学示范中心建设课程
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测量分类
测量
直接测量
间接测量
单次测量
多次测量
等精度测量
非等精度测量
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测量的误差
误差的概念
系统误差及主要来源
随机误差及其处理
粗大误差
测量结果的不确定度(Uncertainty)
在报告物理量的测量结果时，不但要写明计量单 位，还要给出结果可信赖的程度——用不确定度表 示。 如用量程为25mm的1级外径千分尺测一根铅笔的直 径，其测量值为7.475mm，则测量结果可写为如下 形式：
D = D ± U = (7.475 ± 0.004 ) mm
还有一类误差，由于外界干扰、操作读数失误等原因而明显超出规定 条件下的预期值，称为粗大误差。包含粗大误差的测得值或粗大误差 称为异常值。测量中要避免出现高度显著的异常值。已被谨慎确定为 异常值的个别数据要剔除。
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１系统误差 systematic error
系统误差 systematic error 系统误差：在相同条件下重复测量同一物理量 时，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分 量，就叫系统误差。
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直接测量量不确定度
不确定度的分量
在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误 差归为A、B两类不确定度分量。
A类不确定度分量ΔA：多次重复测量， 用统计学方
法求出的不确定度分量。
在正态分布下 Δ A = uA
u A ：测量列平均值的标准偏差
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n i =1
(
∂f ∂xi
Ui
)2
Ur
=
U N
=
∑n
i =1
∂ ln f (
∂xi
Ui )2
不确定度传递系数
不确定度传递系数
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评定间接测量量结果的步骤
按照评定直接测量量 xi的测量结果的步骤求 出各直接测量量的测量结果
xi ± Ui
求间接测量量的最佳值
N = f ( x1, x2 ,", xn )
随机误差 ：指在对同一物理量进行多次等精度测 量的过程中，绝对值和符号以不可预知的方式变 化着的测量误差分量。
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２随机误差（random error）
许多物理测量中，当测量次数趋于无穷多时，
随机误差服从正态分布（或称高斯分布）规律。
对称性： 单峰性：
y(δ)
234.8
×
5.4
9392 11740
1 2 6 7.9 2
234.8×5.4=1.27×103
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三角函数运算规则
结果中有效数字的取法为：将自变量欠 准位变化1，运算结果产生差异的最高位 就是应保留的有效数字的最后一位。例
如： sin 30002' = 0.50050374 8 sin 30003' = 0.50075555 9
正态分布曲线
有界性：
抵偿性：
ζO ζ δ
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贝塞尔公式
贝塞尔公式
∑ σ =
( ) 1 n
n −1 i=1
xi − x 2
σ 称为测量列的标准偏差，其值直接体现了随机误差的分布特征。
σ 大——测量值很分散，随机误差分布范围宽，精密度低；
σ 小——测量值很密集，随机误差的分布范围窄，精密度高。
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加减运算规则
运算结果末位数字所在位置，与参与加减运 算的各数中末位数字位置最高的一个相同。
278.2 + 12.451
290.651
278.2+12.451=290.7
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乘除运算规则
运算结果的有效数字的位数，与参与运算 各数中有效数字位数最少的那个数相同。
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合成不确定度－强调
除特别申明，置信概率均取约等于或大于0.95 ， 即按下式计算合成不确定度
U=
σ
2
+
Δ2 INS
上式表示被测量的真值位于区间 (x −U, x + U ) 内的置信概率约等于或大于95%
当置信概率 约0.95 时，不必在结果表示式后面注 明置信概率值
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= 4(UD )2 +(UR )2 +(UL )2 DRL
= 4(0.004)2 +( 0.1 )2 +(0.005)2 =5.9×10−2 =6% 0.136 105.5 3.000
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不确定度－应用例2
3 .测量不确定度为 U = ρUr = 5.11×10−7 ×6×10−2 = 3×10−8Ωm
对象
量值
不确定度 单位
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测量结果的不确定度(Uncertainty)
基本概念
• 不确定度：对某一物理量进行测量，我们只能知 道测量值 x 与真值 X 之差的绝对值以一定概率分 布在-U～+U之间，用公式表示为
x − X ≤ U （置信概率为P）
其中，U 值可以通过一定的方法进行估算，称为 不确定度。它表征真值以某置信概率存在的范 围，是对测量结果不确定性的量度。
两者差异出现在小数点后第4位上，故
sin 30002' = 0.5005
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对数函数运算规则
对数函数运算结果的有效数字中，小数 点后面的位数取成与真值的位数相同。
不确定度－应用例2
解：1. 电阻率测量最佳值为
ρ = π D2R / 4L
= 3.142× 0.1362 ×10−6 ×105.5 /(4× 3.000) = 5.11×10−7 Ωm
2. 电阻率的相对不确定度为
Ur =
(∂∂lnDρ)2UD2
+ (∂ln ρ
∂R
)2UR2
+(∂∂lnLρ)2UL2
n i =1
∂ ln f ∂xi
dxi
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间接测量量不确定度的评定
当各直接测量量 x1, x2 ,", xn 彼此独立时，间接测
量量 N 的不确定度和相对不确定度为各分量的方-和-
根
∑ U =
(
∂f ∂x1
U1
)
2
+
(
∂f ∂x2
U
2
)2
+
"
+
(
∂f ∂xn
U
n
)2
=
物理实验室常用计量器具的示值误差(限)
物理实验中，常常把国家技术标准或检定规程 规定的计量器具最大允许误差或允许基本误差经过 适当的简化称为仪器的误差限值或示值误差(限)，
用ΔINS 表示。它表示在正确使用仪器的条件下，仪
器示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝 对值。
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测量的误差
测量的误差
测量的误差：测量值与待测物理量的真值之间存在差值，这 个差值就称为测量的误差（也叫绝对误差）。
若某待测物理量的测量值为 x，真值为 X ，则测量的误差定义为
ε =x−X
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误差的分类
测量中误差的产生原因是多方面的，根据误差的性质和来源，可将误 差分为系统误差和随机误差。
上部较窄、下部较宽。这样，在有限次测量的情况下，要使 测量值落在平均值附近，具有与正态分布相同的置信概率，
置信区间要扩大为 [− tPσ ,tPσ，] 值tP大于1，与测量次数有关，
也与置信概率有关。
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测量的精密度、准确度和精确度
评价测量结果常用精密度、准确度和精确度三个概念。对同一物理量进 行多次等精度测量，其结果也不完全相同。这好比打靶，弹着点会有一 定的弥散性。结果彼此相近的测量精密度高；结果比较接近客观实际的 测量准确度高；而既精密又准确的测量则精确度高。
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大学物理实验
大学物理实验-不确定度
省级精品课程 省级实验教学示范中心建设课程
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测量结果的不确定度
测量 测量的误差 测量结果的不确定度 有效数字 常用数据处理方法
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σ 的统计意义
当n→∞时，测量列中任一测量值与平均值之差 落在[－∞ ，+∞ ]区间的概率为1，满足归一化条件
σ σ 落在[－ ，+ ]区间的概率为0.683，记为P =0.683 σ σ 落在[－2 ，+2 ]区间的概率为0.954， P =0.954 σ σ 落在[－3 ，+3 ]区间的概率为0.997， P =0.997