《双因素方差分析》word版

§5.3 双因素方差分析
I 无交互作用的双因素方差分析
(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。

因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。

数据结构表
假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；
(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-⋅==∑; 11r j ij i r μμ-⋅==∑;
i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；
j j βμμ⋅=-—因素
B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；
s B
2r
A
12122212s s r r rs Y Y Y Y Y
2r Y ⋅⋅
12
..s Y Y Y ⋅⋅⋅
10r i i α==∑; 10s j j β==∑;
ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值； {}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；
注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即
ij i i μμαβ=++；
(2) 方差分析
(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：
0112:0r H ααα==
==
即因素A 对试验指标影响不显著；
0212:0s H βββ==
==
即因素B 对试验指标影响不显著；
注：当01H 和02H 成立时，
,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.
(ii) 构造F-统计量及否定域 设
()
1
11r s
ij
i j Y rs Y
-===∑∑
；
11s
i ij j Y s Y -⋅==∑；
11r
j ij i Y r Y -⋅==∑；
2211()r
s
T ij i j S Y Y ===-∑∑；
221()r
A i i S s Y Y ⋅==-∑；
221()s
B j j S r Y Y ⋅==-∑；
2211()r
s
E ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；
注：注意，
2211()r
s
E ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑
2
11()r s
ij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑ 211[()()]r
s
ij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑
211()r
s
ij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.
这里利用了“无交互效应”的假设条件：
0ij ij i j γμμμμ⋅⋅=--+=.
由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。

“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的！！
* 引理： 设 n rs =，则
(1*) 分解式：2222
T A B E S S S S =++；
(2*) 独立性：{2A S ，2B S ， 2E S }是两两独立的，且2
A S +2
B S 与2E S 独立；
(3*) 统计特性：
当01H 和02H 同时成立时，有 2
22
1~T n S σχ-；
当01H 成立时，有2
221~A r S σχ-； 当02H 成立时，有2
221~B
s S σχ-；
对任意情形，有
2
222(1)(1)(1)(1)(1)~E n r s r s S σχχ-------=.
注：2
[(1)(1)]E
S r s --是2σ的一个无偏估计.
证 2211[()()()]r s T ij i j i j i j S Y Y Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅⋅===--++-+-∑∑
22
1111()()r
s
r
s
ij i j i i j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅=====--++-∑∑∑∑
211()r
s
j i j Y Y ⋅==+-∑∑112()()r
s
i j i j Y Y Y Y ⋅⋅==+--∑∑
112()()r
s
ij i j i i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑
112()()r
s
ij i j j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑.
易见, 此式中的三个混合项均为零. 故(1*)成立. 独立性(2*)的证明如下： 注意，
(,)0k ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅--+=；
(,)0ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅--+=. （**）
而这两个等式的成立只要展开即知. 于是，
k Y ⋅与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；
Y
与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；
从而，
j Y Y ⋅- 与211()s
r
ij i j j i Y Y Y Y ⋅⋅==--+∑∑独立；
故2
A S 与 2E S 独立；同理，可证：2
B S 与 2E S 独立； 按抽样分布定理，Y 与2A S 和2B S 均独立，而i Y ⋅与j Y ⋅独立是假设条件的结果.故2A S 与2B S 独立；显然，2A S +2B S 与2E S 独立.
结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.
* 构造
F-统计量如下：
2
2(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]A
A E S r F F r r s S r s -=-----，当01H 成立时；
22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]
B
A E S s F F s r s S r s -=-----，当02H 成立时；
注：上面的分析表明：对假设01H 和02H 可以分别进
行检验。

* 否定域的结构 解释:
当0i α≈时，2
A S 应接近零；
当0j β≈时，2B S 应接近零；
按此解释，01H 和02H 的否定域结构形式为：
2{:}A A
K Y S a =>；2
{:}B B K Y S b =>； 为了决定a, b , 构作方程：
01(|)A A P F a H α>=；02(|)B B P F b H α>=； 由此即可决定a, b .
(iii) 方差分析表
无交互效应的双因素方差分析表
在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定
2
A S 22A E F S S a χ=2
B S 22B E F S S b χ=2E S
临界值a和b：
01(|)A P F a H α=>； 02(|)B P F b H α=>. 最后进行判决：
若A F a >，则拒绝01H ；否则，接受01H ； 若B F b >，则拒绝02H ；否则，接受02H ； 例5.3.1(p.164)
此题的数据表为
因素
A = {A1, A2, A3} ;
因素B = {B1, B2, B3} , 即每个因素三个水平。

试问：每个水平组合各作一次试验，要求分析两个因素对产品合格率的影响是否显著？ 练习题(p.188) ：3； II 有交互作用的双因素方差分析 (1) 数据结构表
有交互作用的双因素方差分析数据结构表
2r
A
21111,r Y Y
在这个数据表中，水平的每个组合(,)i j A B 都有
n 个观测值
{:1}ijk Y k n ≤≤.
(2) 数学模型 (1*) 假设：{:1;1;1}ijk
Y
i r j s k n ≤≤≤≤≤≤独立;
2~(,),(1;1;1)ijk ijk Y N i r j s k n μσ≤≤≤≤≤≤； 注：{:1;1;1}ijk
Y
i r j s k n ≤≤≤≤≤≤都有相同的方差2σ.
(2*) 模型 ijk ij ijk i j ij ijk Y e e μμαβγ=+=++++；
其中， 2~(0,)ijk e N σ，{}ijk e 独立；
111()r
s
ij i j rs μμ-===∑∑；
i i αμμ⋅=-， 10r
i i α==∑；
j j βμμ⋅=-，10s
j j β==∑；
()ij ij i j γμμαβ=-++， 10s
ij j γ==∑，10r
ij i γ==∑；
(3*) 解释：
i i αμμ⋅=-反映因素A 的水平 Ai 对试验指标的影响效应；
j j βμμ
⋅=-反映因素B 的水平 Bj 对试验指标的影响效应；
()ij ij i j γμμαβ=-++反映组合(,)i j A B 对试验指标的交互效应.
(3) 假设检验问题 这里，要求检验三个内容，因此，有三个假设： 0112:0;r H ααα==
==
0212:0;s H βββ==
==
03:0,(1,1);ij H i r j s γ=≤≤≤≤
(4) 检验统计量的设计 按数学模型，有
(1*) 误差
22
111
()r s n T ijk i j k S Y Y ====-∑∑∑ 2111()r
s
n
i j ij ijk i j k e e αβγ====+++-∑∑∑；
2
2211()()r r A i i i i i S sn Y Y sn e e α⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑； 2
2211()()s s B
j j j j j S rn Y Y rn e e β⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑； 2
211()r s A B
ij i j i j S n Y Y Y Y ⨯⋅⋅⋅⋅⋅===--+∑∑ 211()r
s
ij ij i j i j n e e e e γ⋅⋅⋅⋅⋅===+--+∑∑；
2
2111()r
s
n
E ijk ij i j k S Y Y ⋅====-∑∑∑2111()r
s
n
ijk ij i j k e e ⋅====-∑∑∑；
其中， 1111()r s n ijk i j k Y rsn Y -====∑∑∑；
11n
ij ijk k Y n Y -⋅==∑；
111()s n
i ijk
j k Y sn Y -⋅⋅===∑∑； 111()r n
j ijk
i k Y rn Y -⋅⋅===∑∑.
(2*) 基本结论
(i) 误差的分解式：22222
T A B A B E S S S S S ⨯=+++；
(ii) 误差之间的独立性： 在任何情况下，
2222
{, ,, } A B A B E S S S S ⨯是两两独立的,
222+ +A B A B S S S ⨯与2
E S 独立；
(iii) 误差的统计特性： 当01H ，02H ，03H 成立时，2
22
1~T rsn S σχ-；
当01H 成立时， 2
221~A r S σχ-； 当02H 成立时， 2
221~B
s S σχ-；
当03H 成立时， 2
22
1~A B
rs S σχ⨯-；
在任何情况下，222
(1)~E rs n S σχ-.
（证明方法类似于无交互作用的情形） (3*) 设计F-检验统计量
当01H 成立时， 2
2(1)~(1,(1))[(1)]A
A E S r F F r rs n S rs n -=---；
当02H 成立时， 22(1)~(1,(1))[(1)]
B
B E S s F F s rs n S rs n -=---；
当03H 成立时，
22(1)~((1)(1),(1))[(1)]
A B A B
E S s
F F r s rs n S rs n ⨯⨯-=----. (4*) 否定域的结构形式
跟无交互效应情形的设计一样；
(5) 方差分析表( 重复观测n 次的情形)
有交互效应的双因素方差分析表
在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定临界值a ，b ，c ：
2
A S 22
A E F S S a =2
B S 22B E F S S
b =2A B S ⨯
22A B E F S S ⨯=
21c αχ-=2
E S
01(|)A P F a H α=>；
02(|)B P F b H α=>；
03(|)A B P F c H α⨯=>.
注：
(1*) 当重复试验次数1n =时，不能考虑“有交互效应的双因素”方差分析问题.
(2*) 双因素方差分析的统一数学模型应该以有交互效应的模型为准.
(3*) 如果ij μ为常数，即,(1,1)ij i r j s μμ=∀≤≤≤≤，则相应的
0ij γ=。

这表明：如果ij Y 同分布，问题就是：无交互效应 ；
否则就是：有交互效应.
例5.3.2 (p.167) ； 练习题 (p.188) ： 4 .
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

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