初中数学知识网络

中考总复习-数学知识网络--1

第一单元 数与式

一、 实数的有关概念

1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个

相反数和为0. 2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为

a

1

.注意:0没有倒数. 3、 绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=?

?

?≤-≥)0()

0(a a a a

4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小

6、 无理数：无限不循环小数

7、 实数分类：实数?

???????数）

无理数（无限不循环小小数）

（有限小数或无限循环分数

整数有理数 8、 科学记数法：把一个数写成a ×n

10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数）

9、 近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

10、 非负数：指 a ≥0，非负数有|a|，2

a ，a .注意：几个非负数的和为0，则每一个非

负数为0.

二、 实数的有关计算

1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方

2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号；

同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。 3、 运算律：

（1） 加法交换律：a+b=b+a

（2） 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3） 乘法交换律：ab=ba

（4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

（5） 乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc

三、 代数式有关概念

1、 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数

或字母也是代数式

2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。

3、 代数式分类：代数式???

???????????

?握二次根式）无理式（初中只要求掌分式

多项式（次数、项数）

单项式（系数、次数）整式有理式 中考总复习-数学知识网络--2

四、 整式

1、 整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。

2、 整式运算：

（1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项

①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项 ②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。注意：不是同类项不能合并。 ③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c ④添括号法则：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) (2)整式的乘、除法： ①幂的运算法则：

n m n m a a a +=? n m n m a a a -=÷（a ≠0） mn n m a a =)( m

m m a a b a ?=?)(

m m m b a b a =)( （ b ≠0） 10=a （a ≠0） m m a

a 1

=-（a ≠0） ②乘法公式：平方差公式2

2

))((b a b a b a -=-+

完全平方公式2

2

2

2)(b ab a b a +±=±

③单项式乘以（或除以）单项式

④单项式乘以多项式：ac ab c b a +=+?)(

⑤多项式乘以多项式：bn bm an am n m b a +++=++))(( ⑥多项式除以单项式：m b m a m b a ÷+÷=÷+)(

五、 因式分解

1、概念：把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解

2、因式分解方法与步骤：

一提（公因式）：)(c b a m mc mb ma ++=++ 二用（公式）：平方差公式

))((22b a b a b a -+=-

完全平方公式2

2

2

)(2b a b ab a ±=+±

三试（十字相乘）

四查：检查每一个因式都不能分解为止

中考总复习-数学知识网络--3

六、 分式

1、 分式；除式中含有分母的有理式叫分式

2、 分式基本性质：,bm am b a = m b m

a b a ÷÷=

（m ≠0） 3、 约分和通分：约分b a bm am =，通分d c b a ,→bd

bc

bd ad ,

4、 分式运算

①分式的加减法：同分母

c b a c b c a ±=

± 异分母bd

bc

ad d c b a ±=± ②分式的乘除、乘方：,bd ac d c b a =? ,c

d

b a d

c b a ?=÷ n n n b a b a =)(

注意：分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后进行约分和通分。

七、 根式

1、 方根的有关概念

（1） 平方根： a 的平方根a ±

（a ≥0），注意：负数没有平方根

（2） 算术平方根： a 的算术平方根a （a ≥0） （3） 立方根： a 的立方根3a （a 为全体实数） 2、 二次根式

（1）式子a （a ≥0）叫二次根式

（2）二次根式的性质： ①a a =2

)( （a ≥0） ②=2a |a|=??

?≤-≥)

0()

0(a a a a

③)0,0(≥≥?=

?b a b a b a ④b

a b

a =

（a ≥0，b ＞0） （3）最简二次根式：被开方数中每一个因式的指数都小于2，并且被开方数不含分母的二次根式叫最简二次根式 （4） 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次

根式叫同类二次根式

3、 二次根式的运算：

（1） 加减法：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式 （2） 乘除法：)0,0(≥≥?=

?b a b a b a b

a b

a =（a ≥0，

b ＞0）

（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：

a

a a a

?=

1，

)

()(1b a b a b

a b

a ?±=

±

第二单元 方程与不等式

一、一元一次方程

1、 标准形式：b ax =（a 、b 为常数，且a ≠0）

2、 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

二、二元一次方程组

1、 概念：由几个一次方程组组成并含有两个未知数的方程组

2、 解法：代入（消元）法；加减（消元）法

三、一元二次方程

1、 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。它

的一般形式是： 2

0(0)ax bx c a ++=≠ 2、 解法和步骤：

一看（直接开平方法）：k h x =+2

)(（k ≥0）

二试（因式分解法）：提公因式（02

=+bx ax ）；用公式（如0442

=++x x ）；十字相乘

三用（求根公式）：)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x ，注意：ac b 42

-＜0，方程没有实

数根

四配（配方法）：二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 3、简单的二元二次方程组的解法：代入（消元）法

四、一元二次方程的根的判别式和根与系数关系 1、根的判别式：

一元二次方程02

=++c bx ax 的根的判别式△=ac b 42

- （1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根 （2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根 （3）当△＜0时，方程没有实数根

反之也成立！注意：△≥0时，方程有实数根 2根与系数关系（韦达定理）

一元二次方程02

=++c bx ax 的两个根为21,x x ，则,21a b x x -

=+ a

c x x =?21 利用它求含根代数式的值的方法有：（1）通分：如倒数和2

112122111x x x x x x x x ?+?=+ （2） 配

方

：

如平方和

21221212

2212

12

22

12)(22x x x x x x x x x x x x ?-+=?-+?+=+

（3） 去括号：如1)1()1(212121+++=+?+x x x x x x （4） 提公因式：如)(21212

2122

1x x x x x x x x +=+

五、分式方程

1、概念：分母含有未知数的有理方程叫分式方程

2、解法步骤：（1）去分母：方程两边同时乘以各分母的最简公分母，化为整式方程 （2）解所得整式方程

（3）检验：把解得的整式方程根代入最简公分母，不为0是原方程根，为0不是

原方程根（是增根）

六、方程（组）应用题

1、列方程（组）解应用题的一般步骤是：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）

（找等量关系）；（4）解方程（组）；（5）检验作答

2、几个重要关系式 （1）路程=速度×时间

（2）工作量=工作时间×工作效率

（3）增长（降低）量=原量×增长（降低）率

连续增长（降低）两次后的量=原量（1±增长（降低）率）2

（4）利润=售价-进价

总利润=单个利润×销售量

八、一元一次不等式（组） 1、 不等式基本性质： （1） 若a ＞b,则a ±c ＞b ±c

（2） a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，

c a ＞c b

（3） a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c

b

2、 一元一次不等式解法；去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（特别注意：

两边除以一个负数，不等号的方向一定要改变） 3、 一元一次不等式组的解法： （1） 求每个不等式的解集 （2） 在数轴上找这些解集的公共部分，并写出不等式组的解集。

第三单元 函数

一、平面直角坐标系

1、 坐标平面内的点与有序实数对是一、一对应的

2、 坐标平面内的点的特点：

（1）原点（0，0） 在x 轴上点（x ，0） 在y 轴上点（0，y ）

（2）第一象限的点（+，+） 第二象限的点（-，+） 第三象限的点（-，-） 第四象限的点（+，-）

二、函数有关概念

1、 概念：在某一变化过程中有两个变量 x 、y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一值和它

对应，那么y 是x 的函数，x 叫自变量。 2、 函数自变量的取值范围： （1） 使函数关系式有意义： 整式：全体实数 分式（

a

1

）：分母a ≠0 二次根式（a ）：被开方数a ≥0 （2） 使实际问题有意义，如时间不能为负等

3、 函数值：对于自变量取的每一个值，函数有唯一确定的值和它对应，这个值是函数值。

4、 待定系数法：先根据条件设函数关系式，然后根据条件求出待定的系数，从而求出函数

关系式的方法

三、四种特殊函数图象和性质 函数名称 解析式

象 性质

正比例函数 y=kx(k ≠0)

一

条直线 （

过原点）

①k ＞0，图象在第一、三象限，y 随x 增大而增大

②k ＜0，图象在第二、四象限，y 随x 增大而减小 一次函数 y=kx+b(k ≠0)

一条直线

①k ＞0，y 随x 增大而增大，图象在第一、三象限外，还要经过一个象限，通过b ＞0上移或b ＜0下移得到

②k ＜0，y 随x 增大而减小，图象在第二、四象限外，还要经过一个象限，通过b ＞0上移或b ＜0下移得到

反比例函数

y=

x

k

(k ≠0) 双

曲线

①k ＞0，图象在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 增大而减小

b

C ②k ＜0，图象在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 增大而增大

二次函数

一般式

c bx ax y ++=2

( a ≠0)

抛

物线

①开口方向a ＞0，向上，a ＜0，向下 ②对称轴a

b x 2-

= ③顶点坐标)44,2(2

a

b a

c a b -- ④最值，若a ＞0，当a

b

x 2-=时=最小值y a b ac 442-，

若a ＜0，当a b

x 2-=时=最大值y a

b a

c 442-

顶点式

k h x a y +-=2)(

(a ≠0)

①开口方向a ＞0，向上，a ＜0向下 ②对称轴h x =

③顶点坐标),(k h

④最值，若a ＞0，当h x =时=最小值y k ，

若a ＜0，当h x =时=最大值y k

第四单元 图形认识

一、角

1、 角度进制：1°=60′，1′=60″

2、 对顶角：相等。如图∠1=∠2

3、 余角、补角及其性质

（1） 余角：∠1+∠2=90°。同角（或等角）的余角相等 （2） 补角：∠1+∠2=180°。同角（或等角）的补角相等

二、线

1、 直线：两点确定一条直线

2、 线段：两点之间线段最短

3、 垂线：

（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 （2）垂线段最短 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度 4、线段的垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB

5、角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。反之也成立。 ∵OC 是∠AOB 的平分线上一点，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE

b

a

6、平行线：

（1）经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线

（2）平行线间距离：相等。如图，a ∥b ，OP ⊥b ，OP 为平行线间距离 （3）平行线的性质和判定：

图形

平行线的判定

平行线的性质

b

a ①同位角相等（∠1=∠2） 2=∠3） 内角互补（∠2+∠

两直

线平行

三、三角形的有关概念 1、 三角形的边、角关系：

图形

角与角

边与边

（1）∠A+ ∠B+∠ ACB=180°

（2）∠1=∠A+∠B

（3）∠1＞∠A ，∠1＞∠B

a-b ＜c ＜a+b

2、 三角形的“五线”、“四心”

线

图形

心

性质

角平分线

内心

到三边距离相等 IA=IB=IC

中线

重心

到对边中点距离是到顶点距离的一半 GD=

2

1AG

垂线

垂心

四点共圆（不要求掌握）

线段的垂直平分线

外心

到三个顶点的距离相等

OA=OB=OC

中位线

平行于第三边，并且

等于第三边的一半 DE ∥BC ，DE=

2

1BC 3、 三角形分类：

（1） 按角分：?

??????

?直角三角形

钝角三角形锐角三角形斜三角形

（2） 按边分：??

?

?????等边三角形

角形底边和腰不等的等腰三

等腰三角形不等边三角形

四、全等三角形

全等三角形

判定

一般三角形 直角三角形 边角边SAS 二直角边对应相等 角边角ASA

一边一锐角对应相等

角角边AAS 边边边SSS 斜边、直角边(HL)对应相等 性质

（1）对应角相等

（2）对应线段（边、中线、高、角平分线）相等

五、等腰三角形和等边三角形

类型 图形 性质

判定

等腰三角形

（1）等边对等角 ∵AB=AC ∴∠B ＝∠C （2）三线合一 （3）轴对称图形

等角对等边 ∵∠B ＝∠C ∴AB ＝AC

等边三角形

B

（1）具有等腰三角形一切性质

（2）∠A ＝∠B ＝∠C=60°

（3）轴对称图形

（1）∠A ＝∠B ＝∠C （2）有一个角是60°的等腰三角形

备注：

三线：顶角平分线、底边上的高、中线

六、直角三角形

图形

性质

判定

其它

B

A

（∠C=90°）

（1）∠A+∠B=90°（2）勾股定理

2

22c b a =+

（1）∠A+∠B=90°

（2）勾股定理的逆定理

222c b a =+

（1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半

（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半

七、解直角三角形 1、 锐角三角函数

锐角三角函数

（∠C ＝90°）

正弦

sinA=

斜边的对边A ∠=c a

余弦

cosA=

斜边的邻边A ∠=c

b

D

C

B

h

正切 tanA=

的邻边的对边A A ∠∠=b

a

2、 特殊角的三角函数值：

角度α 30°

45°

60°

sin α

2

1 2

2 2

3 cos α

23 2

2 2

1 tan α 3

3 1

3

3、

解直角三角形：利用直角三角形已知2个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程，叫解直角三角形

（1）三边关系：勾股定理2

2

2

c b a =+ （2）锐角关系：∠A+∠B=90° （3）边角关系（锐角三角函数）：sinA=

斜边的对边A ∠ cosA= 斜边

的邻边

A ∠

tanA=

的邻边的对边A A ∠∠ cotA= 的对边

的邻边

A A ∠∠

4、坡度：i=αtan =l

h

八、四边形

1、 四边形内角和360°，外角和360°

2、 n 边形内角和(n-2)180°，外角和360°

3、 梯形中位线：MN 是梯形ABCD 的中位线，

则MN ∥AD ∥BC ，MN=2

1

（AD+BC ）

4、 特殊四边形的性质： 称

图形

边

角

对

角线

对

称性

行四边形

D

对边平行且相等 对角相等，

邻角互补

互

相平分

中

心对称

形

C

B

A

对

边平行且相等

四

个角是直角

互

相平分且相等

中

心对称、轴对称

形

D

B

对边平行四条边相等 对

角相等，

邻角互补

互

相平分且

垂直，每

条对角线

平分一组对角

中

心对称、轴对称

方形

B

对边平行四条边相等，邻边垂直

四

个角是直角

互

相平分、相等、垂直，每条对角线平分一组对角 中

心对称、轴对称

腰梯形

B

两

底平行，

两腰相等

同

一个底上

两个角相

等

对

角线相等 轴

对称

5、 特殊四边形的判定： 平行四边形 1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、一组对边平行且相等4、两组对角分别相等 5、两条对角线互相平分

矩形 1．有三个角是直角 2、有一个角是直角的平行四边形 3、两条对角线平分且相等

菱形 1、四条边相等 2、一组邻边相等的平行四边形 3、两条对角线平分且垂直

正方形 1、有组邻边相等的矩形2、有一个角是直角的菱形 3、两条对角线平分、相等且垂直

等腰梯形

1、同一个底上两个角相等的梯形

2、对角线相等的梯形

九、 圆

1、 圆的有关性质：

（1）经过不在同一直线上三个点确定一个圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵MN 是⊙O 的直径，MN ⊥AB ，∴AC=BC ，AM=BM ，AN=BN

（3）圆心角：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （4）圆周角：

①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠ BAC=

2

1

∠BOC ②同弧（或等弧）所对的圆周角相等

③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2、与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系

图形

点与圆的位置关系 d 与r 关系

点在圆内

d ＜r

点在圆上 d ＝r

P

点在圆外 d ＞r

（2）直线与圆的位置关系

图形

直线与圆的位置关系

d 与r 关系

相交 d ＜r

相切

d ＝r

_ P

相离d＞r

（3）切线（长）性质与切线判定：

图形切线（长）性质切线判定

a a为⊙O的切线，则OP⊥a

经过半径外端并且垂直与

这条半径的直线是圆的切

线

P，∠APO=∠BPO （4）圆与圆的位置关系

图形圆与圆的位置关系

d与

R、r关系(Rr)

外离

d＞R+r

外切d＝R+r

相交

R-r＜d＜R+r

内切

d＝R-r

内含0＜d＜R-r

2、与圆有关的计算

(1)弧长公式：

180

n r

l

π?

=

C

c

(2) 扇形面积公式：lr r n s 2

1

3602==π (3) 圆柱的侧面积：

h r S ?=π2侧

=表面积s 侧面积s +底面积s

(4) 圆锥的侧面积：

ra S π=侧

=表面积s 侧面积s +底面积s

第五单元 图形与变换

一、对称、平移、旋转

1、 轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、

圆、正n 边形

2、 中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正n 边形（n 为偶数）

二、相似

1、 比例线段：

（1） 基本性质：bc ad d c

b a =?= （2） 合比：d d

c b b a

d c b a +=

+?= （3） 等比：(0)a c m a c m a

b d n b d n b d n b

++

+===+++≠?

=++

+

2、平行线分线段成比例： a ∥b ∥c EF DE

BC AB =

? DE ∥BC CE

AE

BD AD =

? 3、黄金分割 4、相似三角形：

判定

两角对应相等

两边对应成比例，夹角相等 三边对应成比例 性质

(1)对应角相等 (2)对应边成比例

(3)对应线段（中线、高、角平分线）比等于相似比

(4)周长比等于相似比

(5)面积比等于相似比的平方

5位似图形：如果两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心

三、尺规作图

1、 五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段（2）作线段垂直平分线（3）作角平分

线（4）作一个角等于已知角（5）过一点作已知直线的垂线 2、 会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线

四、视图与投影、镶嵌

1、 三视图：主视图、俯视图、左视图

2、 任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面

第六单元 统计与概率

十、总体、样本、平均数 1、 总体与样本：

总体：所要考察对象的全体 个体：总体中每一个考察对象

样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本 样本容量：样本中个体的数目 2、 平均数：

（1） 如果有n 个数n x x x ,,21，则它们的平均数为)(1

21n x x x n

x +++= （2） 加权平均数：如果在n 个数中，

)(212211n f f f f x f x f x k k k =+ 次出现次，出现次，出现，那么他们的平均

数为n

f x f x f x x k

k ?+?+?=

2211

（3） 通常用样本平均数估计总体平均数 3、 众数、中位数

（1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数

（2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置

的一个数据（或最中间两个数据的平均数），叫做这组数据的中位数

十一、 统计图表 1、 条形图：如图1 2、 折线图：如图2 3、 扇形图：如图3

十二、 频率与方差 1、极差：极差=最大值-最小值 2、方差：[]

222

212

)()()(1

x

x x x x x n

s n -++-+-=

3、标准差：2s s =

注：极差、方差、标准差都是用来衡量样本波动大小的量，极差（方差、标准差）越大，波动性越大

4、频数、频率：

频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数 频率=

样本容量

频数

， 注意：一个事件中频率的和=1

5、频数分布表、频数分布直方图及频数折线图：

年份 2001

2002

2003

2004

2005

图2

（得票率）

图1

图3

（1）频数分布表：如图1

（2）频数分布直方图（如图2）：

一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③列频数分布表；④画频数分布直方图 （3） 频数折线图：如图3

三、概率

1、 概率()A A p

事件事件出现次数

所有可能的结果数

， 0 ≤()A p 事件≤1

必然事迹：()A p 事件 =1 不可能事件：()A p 事件 =0 不确定事件（可能事件）：0＜()A p 事件＜1 2、 求概率的方法：

（1）列举法（包括列表） （2）画树状图

（3）大量重复实验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

分组 频数 频率 144.5149.5～ 1

0.05 149.5~154.5 A B

154.5~159.5 7 0.35 159.5~164.5 C D

164.5~169.5 3 0.15

合计 20 1 图3 图2