离散数学及其应用课件第9章第1-2节

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定理9.1.1的证明(续)
➢（5）（6）。首先用反证法证明T中无回路。假设T中 有回路，设C是一条包含边（u，v）的简单回路，在C中删 去边（u，v）得到从u到v的一条简单通路，因而从u到v的 简单通路不唯一，与命题（5）矛盾。
若在T的任意两个不邻接的结点间加上一条边e，则e和联 接这两个结点的唯一一条简单路构成T+e的唯一的一条回路。 ➢（6）（1）。根据命题（6）,任意两个结点间存在一条 通路，所以T是连通的，结论成立。
定理9.2.1 图G有生成树，当且仅当G是连通的。 证明 (破圈法)首先证明充分性。当图G是连通的，如果图G 是一棵树时，G本身就是生成树。当连通图G不是一棵树时， G中有回路。对于G的一个回路，删去回路上的一条边，得 到G的生成子图G。若G仍有回路，继续删去其中一个回路 上的一条边。重复这个过程，直到得到G的生成子图中没有 回路，从而得到G的一棵生成树TG。
b
b
b
a
c
a
ca
c
d
e
（1）
d
e
（2）
d
e
（3）
9.2.2 最小生成树及其应用
定义9.2.2 设无向连通带权图G=(V, E, W)，T是G的一棵 生成树，T各边带权之和称为T的权，记作W(T)。G的所 有生成树中带权最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树的典型算法有Kruskal算法、Prim算法和Sollin算 法
解 设有x片树叶, 2(1+3+x-1)=13+32+x 解得x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 2, 3
T1
T2
T3
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生成树
定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为 G的生成树。生成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的 边称为弦；TG的所有弦的集合称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
实例
例5 求图的一棵最小生成树
W(T)=38
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最小生成树的应用
例9.2.5 最小生成树聚类算法。 ➢设有一组离散数据D={a1,a2,…an},D中的任意两个数据ai,aj的相似 程度可以用一个相似度函数d(ai,aj)来度量，称为这两个数据的距离。 给定一个正整数k(1<k<n)，D的一个k聚类是D的一个k划分 ，使得 同一子类中的数据间的距离尽可能地“近”，不同子类的数据间的距 离尽可能地“远”。 ➢定义两个不同的子类Cs和Ct的距离D（Cs，Ct）为Cs中的数据和Ct 中的数据的相似度的最小值，即 D(Cs ,Ct ) min{d (ai , a j ) | ai Cs , a j Ct} k聚类 的最小间隔 D( ) min{D(Cs ,Ct ) | Cs ,Ct ,1 s t k}
因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
最小生成树的应用
可以用最小生成树解决这个问题。 首先可以构造一个带权完全图G=（V, E, W）,其中的每个
结点是数据集D中的一个结点，即V={ a1,a2,…an }，对于任 意ai, ajV，它们的距离d(ai,aj)作为边(ai,aj)的权值。在这个 带权图上求最小生成树TG，在TG上删去权值最大的k-1条边， 成为有k个连通分支的不连通的树，这k个连通分支就是所求 聚类的k个子类 C1, C2 ,...Ck ，并且具有最大的 D( ) 。
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定理9.1.1的证明
➢(1)(2)。用反证法证。对u,vV，若T中删去任一边（u，v） 后仍连通，则从u到v存在一条通路L，这条通路L加上（u，v）后 形成回路，和T无回路矛盾。 ➢(2)(3)。对结点个数n用数学归纳法来证明e=n-1：
当结点数为n=1时，T是平凡图，结论显然成立。 当结点数为n=2时，T是连通的但删去任一边后,便不连通，则 e=1，结论成立。 假设结点数为nk（k>1）时，结论成立。当结点数为n=k+1时， 只有删去T中的一个1度结点及其关联的边的图T，才满足命题（2） 的连通性。根据归纳假设，T有k个结点，所以e=n-1，而e=e-1， n=n-1。因此，将删去的1度结点及其关联的边添入T得到图T ，T 仍连通且e=n-1。
(a)
(b)
无向树的性质
定理9.1.1 对于有n个结点，e条边的无向树T，下列的命题等价。 (1) T是无回路的连通图。 (2) T是连通的但删去任一边后,便不连通。 (3) T是连通的且e=n-1。 (4) T中无回路且e=n-1。 (5) 在T的每一对结点之间有唯一的一条简单路。 (6) T中无回路,但在任意两个结点间增加一条边,得到一条且仅 一条回路。
注意: 余树一般不是树
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例题
例9.2.1 在图9.2.1中，哪些是图9.2.1(1)的生成树？
a
e
a
e
a
e
b c
fb
c
d
fb
d
c
f d
（1）
(2)
(3)
a
e
a
e
a
b c
f d
(4)
b
f
c
d
(5)
b
f
c
d
（6）
解 （2）（5）是（1）的生成树。（3）(4)（6）不是（1）的生成树。
生成树的存在性
证明必要性。若图G有生成树，由于树是连通的，所以G 是连通的。
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求生成树
求生成树的避圈法： 设图G=（V，E），|V|=n，E={e1，e2，，em}， ① 任取一条边eE，令TG={e}； ② 任取一条边eE- TG，若TG {e}无回路，则把e添加到
TG中； ③ 若 TG中的元素有n-1个，则算法结束，否则返回②。
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无向树的性质(续)
定理9.1.2 设T是有n(n2)个结点的一棵树,则T中至少有两片 树叶。 证 设有 x片树叶, 由握手定理和定理9.1.1, 有
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
解得 x2.
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实例
例9.1.2 画出所有6阶非同构的无向树。
解 5条边, 总度数等于10
可能的度数列:
离散数学及其应用
第9章 树
9.1 树的定义和特性 9.2 生成树 9.3 根树 9.4 根树的应用
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9.1 树的定义和特性
定义9.1.1 一个连通且无回路的无向图称为无向树。树中的 边称为树枝。度数为1的结点称为树叶。度数大于1的结点 称为分支点(内点)。平凡图称为平凡树。 定义9.1.2 一个不连通的，但每个连通分支都是无向树的图 称为森林。 例如
当把n-1条边加入TG时，TG就是图G的生成树。
例题wenku.baidu.com
例3 如下图所示的无向图G，用避圈法求生成树.
b
a
c
a
b
c
==》
d
e
d
e
解 对无向图G，依次取边(a，b)，(b，c)，(b，e)和(d，e)， 就得到G的一棵生成树，如上面右图所示。
例题
例4 对下图的无向图G，用破圈法求生成树。 解 依次在图G中删去边（a，d），（d，e），（b，c），如（1） (2) (3)所示，使得图G没有回路，就得到G的一棵生成树。
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定理9.1.1的证明(续)
➢（3）（4）。对结点个数n用数学归纳法来证明T是无回路的： 当结点数为2时，e=1，T中无回路，即结论成立。 假设结点数为n=k-1时无回路，e= n-1，结论成立。
当结点数为n=k时，因为T是连通的，故T中每一个节点的度数均大于等 于1.可以证明至少有一个结点v0，使得deg(v0)=1。因为若所有结点的度
Kruskal算法
Kruskal算法（基于避圈法思想）设G=（V,E,W）是n阶连通 带权图， (1) 在边集E中选一条具有最小权值的边e，加入生成树T中， 并将e从边集E中删去。 (2) 在边集E中选一条具有最小权值的边e，若e和已在T中的 边不构成回路，将e添加到T中，并从边集E中删去e；若e和 已在T中的边构成回路，从边集E中删去e。 (3) 若T中的边数为n-1，算法结束，否则返回（2）。 算法结束时，T就是G的最小生成树。
(1) 1,1,1,1,1,5
(2) 1,1,1,1,2,4
(3) 1,1,1,1,3,3
(1)
(2)
(4) 1,1,1,2,2,3
(5) 1,1,2,2,2,2
(4a)
(4b)
(3)
(5)
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实例
例9.1.3 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 3个2度顶点, 其余结点 全是树叶. T中有多少树叶？画出满足要求的非同构的无向树.
数均大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与 vV
e= n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通 的。根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联 的边添入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。 ➢（4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路 不唯一，若结点u,v之间存在两条简单路，这两条简单路构成回路，和T 中无回路矛盾，所以在T的每一对结点之间有唯一的一条简单路。