统考版2021高考数学二轮专题复习六立体几何课件理

α⊥β a⊥β ⇒ a⊄α
a⊂α，b⊂α a∩b＝O ⇒α∥β， a∥β，b∥β
a⊥α a⊥β
⇒α∥β，
(4)线线垂直： ab⊥ ⊂αα⇒a⊥b.
(5)线面垂直：
a⊂α，b⊂α a∩b＝O ⇒l⊥α， l⊥a，l⊥b
α⊥β
α∩β＝l ⇒
a⊂α，a⊥l
a⊥β， αa⊥∥αβ⇒a⊥β， aa⊥∥αb⇒b⊥α. (6)面面垂直： aa⊂ ⊥βα⇒α⊥β， aa∥ ⊥βα⇒α⊥β.
提醒 要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质 定理中的条件.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论， 就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.
3．用空间向量证明平行垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分 别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝
kc2. (3)面面平行：α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝
λc3. (4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
4．用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是 直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l 的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面 角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 提醒 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线
易错快攻二 忽视平面图形翻折前后的显性关系 [典例2] 如图1，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和 6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2 所示．
(1)证明：AC⊥BO1； (2)求二面角O -AC -O1的余弦ห้องสมุดไป่ตู้．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的 棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半
径为 126a(正四面体高
36a的14)，外接球的半径为
46a(正四面体高
6 3
a的34)．
[易错剖析] 易错点1 随意推广平面几何中的结论 【突破点】 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不 一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂 直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不 成立．
六 立体几何
[必记知识]
1．空间几何体的表面积和体积
几何体
侧面积
表面积
体积
圆柱 圆锥
S侧＝2πrl S侧＝πrl
S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l)
V＝S底h＝πr2h V＝13S底h＝13πr2h
圆台
S侧＝π(r＋r′)l
S表＝π(r2＋ r′2＋rl＋
r′l)
V＝13(S上＋S下＋ S上S下)h ＝13π(r2＋r′2＋rr′)h
2.空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行：
a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b，
α∥β α∩γ＝a⇒a∥b， β∩γ＝b
aa∥ ∥bc⇒c∥b.
a⊥α b⊥α
⇒a∥b，
(2)线面平行： a∥α.
(3)面面平行： αγ∥∥ββ⇒α∥γ.
a∥b b⊂α ⇒a∥α， a⊄α
α∥β a⊂β
⇒a∥α，
易错点2 不清楚空间点、线、面的位置关系 【突破点】 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻 找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二 是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注 意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点3 忽视三视图中的实、虚线 【突破点】 三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照 “长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面 相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都 用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
解析：由三视图可知，此几何体是长方体被一个截面截去一 个角后所得的，如图所示．
易知长方体的长、宽、高分别为4,2,3，则长方体的体积为
24，截掉的三棱锥的体积为
1 3
×4×3＝4，所以此几何体的体积为
24－4＝20.故选B.
答案：B
纠错技巧 本题中，由三视图还原空间几何体时容易出错．首先，要熟 悉简单几何体的三种视图，要特别注意视图中虚线与实线的区 别，抓住这一点是识图、画图的关键；其次，要善于由三视图想 象出简单几何体的形状．
易错点4 表面积的计算不准确 【突破点】 在求表面积时还要注意空间物体是不是中空 的，表面积与侧面积要认真区分．
易错点5 对折叠与展开问题认识不清致误 【突破点】 注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中 的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位 置关系的变化．
[易错快攻] 易错快攻一 忽视三视图中实线与虚线的区别 [典例1] [2020·广西陆川中学月考]某几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积为( ) A．16 B．20 C．24 D．32
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S侧＝Ch(C为底面周长)
S侧＝12Ch′(C为底面周 长，h′为斜高) S侧＝12(C＋
S表＝S侧＋S 上＋S下(棱 锥的S上＝
C′)h′(C，C′分别
0)
为上、下底面周长，
h′为斜高)
S＝4πR2
V＝S底h V＝13S底h
V＝13(S上＋S下＋ S上S下)h V＝43πR3
与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面
角的平面角是锐角还是钝角.
[必会结论]
1．三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左) 视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视 图一样．
2．平行、垂直关系的转化示意图
3．球的组合体 (1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的 体对角线长．