函数概念及表示与函数的单调性
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高一数学 函数单调性讲解
高中数学必修一函数——单调性 考纲解读: 了解单调函数及单调区间的意义,掌握判断函数单调性的方法;掌握增,减函数的意义,理解函数单调函数的性质。 能力解读:函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性,利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点: 1.函数单调性的定义, 2.证明函数单调性; 3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题; 5.抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 (1)设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数,I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数,I 称为)(x f y =的单调减区间 (2)设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≤恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值; 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≥恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点:函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域; (1)定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ,2x 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 )(2121x x x x <<;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
《解函数的单调性时需注意的几个概念》
解函数的单调性时需注意的几个概念 函数的单调性是函数的一个很重要的性质,也是历年高考命题的重点。但是不少同学由于对概念认识不足,审题不清,在解答这类题时容易出现错解。下面对做这类题时需注意的事项加以说明,以引起同学们的重视。 一、应用定义证明,要注意步骤的严密性 例1. 证明函数f x x ()=-+31在R 上是减函数。 解:任取x x R 12,∈,且x x 12<,则 f x f x x x x x ()()()()121323231 311-=-+--+=- =-++()()x x x x x x 21222112 ∵x x x x x x x x x 1222121212222234 0<++=++>,() ∴x x f x f x f x f x 21121200->->>,,即()()()() ∴函数f x x ()=-+31在R 上是减函数。 提示:有的同学证明时,没有说明x x x x x x x 12122212222234 0++=++>(),就直接说f x f x ()()12>,这个过程不能省。 二、对函数单调性的概念理解不正确 例2. 若αβππ,,∈()2 ,且tan α<cot β,则有( ) A. αβπ+> 2 B. αβπ+<2 C. αβπ+<32 D.αβπ+>32 错解:因为tan tan()απ β<-2,所以απ β<-2,故选B 。 剖析:∵βππ∈()2 ,
∴π βπ 220-∈-(),。显然,απ β,2-不在同一单调区间,故此时不能使用 函数的单调性。 正确解法:∵βππ∈()2 , ∴322πβππ-∈(),,由题意知,tan tan()απβ<-32,又y x =tan 在()ππ2,上单调递增,故选C 。 三、研究函数的单调性千万不要忘记函数的定义域 例3. 函数y x x =--lg()223的单调递增区间是( ) A. [)1,+∞ B. (3,+∞) C. (-∞,1] D. (-∞,-1) 错解:∵令t x x x x =--=-->2223141(),时,t 为增函数,而y =lgt 在t ∈+∞()0,上是增函数, ∴函数y x x =--lg()223的单调增区间是[1,+∞)。故选A 。 剖析:此题除注意两个函数的单调性外,函数的定义域也不要忘记。 正确解法:此函数的定义域为(-∞,-1) ()3,+∞。 令t x x x x =--=--∈-∞-+∞22231413()()(),,, ∵y =lgt 在t ∈+∞()0,上是增函数,t x x x =--=--222314(),而x ∈-∞-+∞()(),,13 的单调增区间为(3,+∞), ∴选B 。 例4. 已知函数f x x x x ()sin ()=+∈-511,,,如果f a f a ()()1102-+-<,则实数a 的取值范围是__________。 错解:由题意知f(x)是奇函数且在(-1,1)上单调递增,又由 f a f a ()()1102-+-<, 得f a f a f a ()()()11122-<--=-,因此,112-<-a a ,即a >1或a <-2。 剖析:忽略了复合函数的定义域,从而导致解题错误。 正确解法:由题意知f(x)是奇函数且在(-1,1)上单调递增,又由
函数的单调性 知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1
高一数学函数单调性的定义图象及应用
函数的单调性习题 一. 选择题: 1.函数1 1 --=x y 的单调区间是 ( ) ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2.如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数,那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈,下列结论中不正确的是 ( ) 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4.函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5.函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是( ) 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ,无最小值。 6.函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是( ) 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -,无最大值。 7.下列命题正确的是 ( ) A 定义在),(b a 上的函数)(x f ,若存在),(21b a x x ∈,使得21x x <时有 )()(21x f x f <,那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ,若有无穷多对),(21b a x x ∈,使得21x x <时有 )()(21x f x f <,那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数,在区间2I 上也为增函数,那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数, D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<,那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间,且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <,则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 ( ) )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9.考察函数:①x y =;②x x y =;③x x y 2 -=;④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有( ) .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是( ) ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二. 填空题: 1. 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数,则a 的取值范围是 2. 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3. 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4. 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数,那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5. 函数245x x y --=的单调递增区间是
函数的基本性质——单调性与最大(小)值
函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1.知识与技能:了解单调函数、单调区间的概念:能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2.过程与方法:理解函数单调性的概念:能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3.情感、态度与价值观:掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题:能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点:函数的单调性的概念。 教学难点:利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1,3x y =的图象如图2. 2.引入:从函数2x y = 的图象(图1)看到: 图象在y 轴的右侧部分是上升的,也就是说,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,即如果取21,x x ∈[0,+∞),得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当 1x <2x 时,有1y <2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+∞)上是增函数。图象在y 侧部分是下降的,也就是说,当x 在区间(-∞,0)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,即如果取21,x x ∈(-∞,0),得到1y =)(1x f , 2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时,有1y >2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数。函数的这两个性质,就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1.增函数与减函数。 定义:对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ,(1)若当1x <2x 时,都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 增函数(如图3);(2)若当1x <2x 时,都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数(如图4)。 说明:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =(图1),当x ∈[0,+∞)时是增 函数,当x ∈(-∞,0)时是减函数。 2.单调性与单调区间。 若函数y=f (x )在某个区间是增函数或减函数,则就说函数)(x f 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 说明:(1)函数的单调区间是其定义域的子集; (2)应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如,图5中,在21,x x 那样的特定位置上,虽然使得)(1x f >)(2x f , (3)除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上述的定义,只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f ,”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ,”即可; (4)定义的内涵与外延: 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况; 外延①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
用函数单调性定义证明
用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得
.又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -