离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

ranR={y|x(<x,y>R)}
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4.2 关系的运算
3) R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化
表示为： fldR=domR ranR 例1：设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}，则 domR={1,2,4} ranR={2,3,4} fldR={1,2,3,4}
例3：设A,B,C,D为任意集合，判断以下等式是否成立？ （1）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D) 证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>(AB)×(CD)
xAB yCD xA xB yC yD (xA yC)(xB yD) <x,y>A×C <x,y>B×D <x,y>(A×C)(B×D)
1) 如果|A|=m,|B|=n，则|A×B|=mn
2) 对任意集合A，根据定义有：A×=，×A=
3) 一般地说，迪卡尔乘积运算不满足交换律，即：
A×BB×A(当A B AB时)
4) 迪卡尔乘积运算不满足结合律，即： （A×B）×CA×（B×C）（当A B C ）
<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
4. 关系的表示方法
1) 集合表达式： 例6：设A={1,2,3,4}，下面各式定义的R都是A上的
关系，试用列元素法表示R
R1={<x,y>|x是y的倍数} R2={<x,y>|(x-y)(x-y)A} R3={<x,y>|x/y是素数} R4={<x,y>|xy}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
4. 关系的表示方法
2) 关系矩阵： 设A={x1,x2,……,xn}，R是A上的关系，令
1 若 x i , x j R rij (i, j 1,2,, n ) 0 若 x i , x j R r11r12 r1n 则 r r r ( rij ) 21 22 2 n r r r nn n1 n 2
DA ={<x,y>|x,yA x整除y} ,这里A Z * 例：A={0,1}
A上的全域关系为：{<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}. A上的恒等关系为：{<0,0>,<1,1>}.
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例：A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6}，则
LA={<-1,-1>,<0.5,0.5>,<4,4>,<-1,0.5>, <-1,4>,<0.5,4>} LB={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>,<2,1>,<3,1> <6,1>,<6,2>,<6,3>}
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
迪卡尔乘积与二元关系 二元运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义与性质 函数的复合与反函数
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4.2 关系的运算
一、关系的基本运算
1. 关系的定义域、值域、域（定义4.8）
设R是二元关系。 1) R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义 域，记作domR，形式化表示为： domR={x|y(<x,y>R)} 2) R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值 域，记作ranR，形式化表示为：
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4.2 关系的运算
2. 关系的逆运算（定义4.9）
3. 有序n元组
一个有序n元组(n>=3)是一个有序对，其中第一个元素是
一个有序n-1元组，一个有序n元组记作<x1,x2,……,xn>，即 <x1,x2,……,xn>=<<x1,x2,……xn-1>,xn>
例如：空间直角坐标系中点的坐标<1,-1,3>、<2,4.5,0>等有序
3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。
证明：对任意<x,y> <x,y>A×C xA yC xB yD
x<B×D>
所以：命题真值为1
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
（4）存在集合A，使得AA×A 证明：令A= 则A×A=
所以：AA×A ห้องสมุดไป่ตู้命题真值为1
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
三、二元关系
1. 定义4.5
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
（2）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D)
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3} (AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D) 证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3} (A-B)×(C-D)= (A×C)-(B×D)={<1,2>} 所以：等式不成立
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
xBC yA (xB x C) yA (xB yA)(xC yA) <x,y> B×A <x,y>C×A <x,y>(B×A)(C×A)
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例2：设A={1,2}，求P(A)×A 解：P(A)={,{1},{2},{1,2}} P(A)×A={<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>,
<{1,2},1>,<{1,2},2>}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
（4）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D) 证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)=
(A×C)(B×D)={<1,2>,<1,3>} 所以：等式不成立
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (3)A×（BC）= (A×B)(A×C）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>A×（BC）
xA yBC xA (yB y C) (xAyB) (xAyC) <x,y>A×B <x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
6) AC BD A×B C×D
证明： 对于任意的<x,y> <x,y>A×B xA y B xC y D
xC×D
所以：A×B C×D
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
3. n阶迪卡尔乘积（定义4.4）
设A1，A2，……，An是集合(n>=2)，它们的n阶迪卡尔乘积记作 A1×A2×……×An，其中： A1×A2×……×An ={<x1,x2,……,xn>|x1A1 x2A2 …… xnAn}
离散数学
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第四章 二元关系和函数
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
迪卡尔乘积与二元关系 二元运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义与性质 函数的复合与反函数
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
一、有序对
1. 定义4.1
由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元 组叫做一个有序对或序偶，记作<x,y>，其中x是它的第一 元素，y是它的第二元素。
2. 有序对性质
1) 当xy时，<x,y><y,x>
2) <x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v
集合中的元素具有无序性，但是有序对中的元素是有序的。
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例1：已知<x+2,4>=<5,2x+y> 求x和y 根据有序对的性质得： x+2=5 2x+y=4 解得：x=3，y=-2
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (1)A×（BC）= (A×B)(A×C）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>A×（BC）
xA yBC xA (yB y C) (xAyB)(xAyC) <x,y>A×B <x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)
4.1迪卡尔乘积与二元关系
三、二元关系
2. 集合上元素的关系（定义4.6）
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。 例：A={0,1}、B={1,2,3}，
那么R1={<0,2>}，R2=A×B，R3=，R4={<0,1>}等都是
是R的关系矩阵，记作MR。
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
4. 关系的表示方法
3) 关系图： 设A={x1,x2,……,xn}，R是A上的关系，令图G=<V,E>，
其中顶点集合V=A，边集为E。对于xi，xjV，满足
<xi,xj>ExiRxj 称图G为R的关系图，记作GR。
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第四章 二元关系和函数
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
二、迪卡尔乘积
1. 定义4.3
设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二 元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A 和B的迪卡尔乘积，记作A×B。符号化表示为：
A×B={<x,y>|xA yB}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
2. 迪卡尔乘积的性质
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4.2 关系的运算
例2：下列关系都是整数集Z上的关系，分别求出它们的 定义域和值域。 (1)R1={<x,y>|x,yZ x<=y} (2)R2={<x,y>|x,yZ x*x+y*y=1} (3)R3={<x,y>|x,yZ y=2x} (4)R4={<x,y>|x,yZ |x|=|y|=3}
如果一个集合满足以下条件之一： 1) 集合非空，且它的元素都是有序对 2) 集合是空集
则称这样的集合为二元关系，记作R。二元关系也可以简
称为关系。对于二元关系R，如果<x,y>R，可记作xRy。 例：R1={<1,2>,<a,b>}，R2={<1,2>,a,b} 则R1为二元关系；R2不是二元关系，仅仅是一个集合。21
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy} 解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,
A到B的二元关系。R3和R4是A上的二元关系。
集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数：设|A|=n， 则|A×A|= n 2。A×A的子集有 2n 2 个。每个子集代表一个A上 2 的二元关系，所以A上的二元关系数目为： 2n 。
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
3. 全域关系与恒等关系
对于任意集合A，定义： EA={<x,y>|xA yA}=A×A IA ={<x,x>|xA} LA ={<x,y>|x,yA x<=y},这里AR
则A×B=A×C=，而BC。
所以：命题真假不定
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
（2）A-(B×C)=(A×B)-(A×C) 证明：若A={0}，B={1}，C={2} 则A-(B×C)={0} (A×B)-(A×C)={<0,1>} 所以：命题真假不定
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
（3）A=B C=D (A×C)=(B×D)
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (2)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
xBC yA (xB x C) yA (xB yA)(xC yA) <x,y> B×A <x,y>C×A <x,y>(B×A)(C×A)