第二节 不定积分的基本性质与基本积分公式

9
例3 求下列不定积分
(4)
cos

cos 2 x x sin x
dx

cos
2
x sin x
2
cos x sin x
dx
( cos
tan
2
x sin x ) d x sin x cos x C
(5)
(6)
(7 )

x dx
x 2 dx

(sec
2
x 1 ) d x tan x x C
2 x
2
) d x x 2 arctan
xC
11
练习：
P194 习题五
12
dx

1 cos x 2
dx
(4)
1 cos
1
1 cos x 2x
2
dx

1 cos x 2 sin
2
dx
1 2 (cot x csc x ) C
x
(csc 2
1 x x
2 2
x csc x cot x ) d x
(5)
1
dx
(1 1
10
训练：求下列不定积分
(1 ) ( x 1 ) d x
2 2
(x
4
2x
2
1) d x
2 3
3
1 5
x
5
2 3
x xC
3
(2)

x9 x 3
2
dx
(
x 3) dx
x2 3x C
1 2 ( x sin x ) C
(3)
cos
x 2

( x 1) 1 x 2 x
2 2
x 1 x
1 x 2 1 x
dx
2
(
x 1
2

2 1 x
2
) dx
x


(x
) dx
2
1 2
x ln | x | 2 arcsin x C
2
(4)

1 x (1 x )
2 2
dx

x 1 x
2 2 2
2
sin
2

1 cos x 2
dx
1 2
( x sin x ) C
1 sin x

dx

( 1 sin
1 sin x x )( 1 sin x )
dx

1 sin x cos
2
dx
x
(sec
2
x sec x tan x ) d x tan x sec x C
x
C
ln a
x 2 x C
x
(4 x 2 x
3 2
x 1) d x x
4
x
2 3
2 3
( sin x 2 cos x e ) d x cos x 2 sin x e C

(2 3 ) dx
x x 2

(4 2 6 9 ) dx
第二节
不定积分的基本性质
与基本积分公式
一、不定积分的基本性质
(1 )
[ f ( x ) g ( x )] d x
[ f ( x ) dx
f ( x ) dx
g( x ) dx ;
证
g ( x ) d x ]
[ f ( x ) d x ] [ g ( x ) d x ] f ( x ) g ( x ) .
x x x

4
x

2 ln 6
6
x
9
x
C
ln 4
ln 9
2 x
(4)

e
2x
dx

2 x 2 ( e ) d x ( e ) / ln e C
e
2x
C 2
5
例2 求下列不定积分
(1 )


(1 x ) x
1 2
2
dx
1

3 2
1 2x x x
2
dx
4 3
2
x (1 x )
dx

(x
1
2

1 1 x
2
) dx
1 x
arctan x C
7
例2 求下列不定积分
(5)
1
(x
x
4 2
x
dx

1
x 11
4
1 x
2
dx
3

( x 1 )( x 1 ) 1
2 2
1 x
2
dx

2
1
1 x
2
) dx
2
cos x sin x
dx
( cos
x sin x ) d x sin x cos x C
(3)
sin
1
2
x cos
2
2
x
2
dx

sin
2
x cos
2
2
x
sin
x cos
2
dx
x

( sec
x csc x ) d x tan x cot x C
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
1
(2)
kf ( x ) d x k
d dx
f ( x ) dx
（ k 是 常数 ， k 0)
(3)
[ f ( x ) dx ] f ( x ) ,
d

f ( x ) dx f ( x ) dx
(4)
F ( x ) d x F ( x ) C
x
x arctan x C
3
8
例3 求下列不定积分
(1 )
三角恒等变形
dx cos x
2

sin 2 x cos x
dx

2 sin x cos x
2 sin
x dx
2 cos x C
(2 )
co s x sin x d x

co s 2 x


cos
x sin x
,
dF ( x )
F (x) C
这些性质不难由不定积分的定义直接获得。
2
二、基本积分公式
(1 )
k d x kx
C
1
(k是常数);
C ( 1);
( 2)
(3)


x dx
dx x
x

x
1
ln x C ;
(4)
a
dx
a
x
C ; 特Fra Baidu bibliotek，
ln a
x d x sin x C ;
cos x C ;
e dx e C
x
x
(5)
(6)
cos
sin x d x
3
二、基本积分公式
(7 )
cos
sin
dx
2
x
x
sec
csc
2
2
x d x tan x C ;
(8)
dx
2
x d x cot x C ;
3

(x
2x
2
2
x ) dx 2
x
x
2

2 5
5
x2 C
(2)


1 x x
2
x (1 x )
dx

x (1 x ) x (1 x )
2
dx
(1
1 x
2

1 x
) d x arctan x ln | x | C
6
例2 求下列不定积分
(3)
(9)

1 1 x
2
d x arcsin x C ( 或 arccos x C )
( 10 )
1
1 x
2
d x arctan x C ( 或 arc cot x C )
4
直接积分法—分项积分法
例1 求下列不定积分
(1 )
(2)
(3)
a
x
3
x
dx
3
a