微积分(经管类)(下册)5.4 习题课

x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 F (x)连续 , 利用 F(1 ) F(1 ) F(1), 得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
x
1
dx12F1(xC) 1
1121212xx22
x
1 2
C
,
C2x
1 2
C
,
x 1 x 1
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例7. 设F(x)为 f (x) 的原函数, 且 F(0) 1 ,当x 0 时
2x3x 9x 4x
dx
.
解: 原式
32
2x3x x 22
x
dx
1
( 32 ) (32
xd )2 x
ax dx
a
x
ln
a
dx
1
ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
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例2. 求
ln(x 1 x2 ) 5 dx . 1 x2
F(x)
x
1 4
sin
4
x
1
故
f (x) F(x) sin2 2x
x
1 4
sin
4
x
1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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2. 需要注意的问题
ln a cos x bsin x C2
I1
a
2
1
b2
(bx
a
ln
a
cos
x
b
sin
x
)
C
I2
a2
1
b2
(ax
b ln
a
cos
x
b
sin
x
)
C
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例11. 求不定积分
1
dx.
(2 cos x)sin x
Байду номын сангаас
解:
原式
(2
sin x cos x)sin2
x
dx
(令 u cos x)
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
d
t
原式
1
t
t
2
3
1
3t t2 1
t 2 (t 2 3) (t 2 1)2
dt
t
2
t
dt 1
1 2
ln
t
2
1
C
1 2
ln
(x
y)2
1
C
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例5. 求
arctan ex
ex
dx
.
解: 原式 arctan exd ex
ex arctan ex
a cos x bsin x
I2
cos x dx . a cos x b sin x
a I2 b I1
a a
cos cos
x x
b b
sin sin
x x
dx
x
C1
b I2 a I1
b cos x a sin x dx a cos x b sin x
d(a cos x bsin x)
x
x
x
x
3
ln(e6
1)
3 2
ln(e3
1)
3arctane6
C
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例9. 求
3cos x sin x cos x sin x
dx
.
解: 令 3cos x sin x A(cos x sin x) B(cos x sin x)
令 a cos x(AbsinBx)cos x (A B)sin x 比较同类项A系(c数cos xAAdBsBinx3)1,B故(cAcos1x,Bdsi2n x)
原式
2 2 dx 2 cos2 x
2
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
分部积分
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例4. 设 y(x y)2 x, 求积分
1 dx . x 3y
解: y(x y)2 x
令 x y t, 即 y xt
x
t
t
2
3
, 1
y
t
2
t, 1
而
dx
(2
1 u )(u 2
1)
du
A
1 3
1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C
u 1 u 1
B
1 6
1 ln
u2
1 ln
u 1
1 ln
C u 1 C
1 2
3
6
2
1 ln(cos x 2) 1 ln(1 cos x) 1 ln(cos x 1) C
3
6
2
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微积分(经管类)(下册)5.4 习题课
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
f (x)dx
f [(t)](t) dt
第二类换元法 (代换: x (t))
注意常见的换元积分类型, 如掌握 P3公式(16) ~(24)的推导方法
有 f (x) F(x) sin2 2x , F(x) 0, 求 f (x).
解: 由题设 F(x) f (x), 则 F(x)F(x) sin2 2x ,
故
F(x)F(x)dx
sin2
2xdx
1
cos 2
4xdx
即
F
2
(
x)
x
1 4
sin
4
x
C
F(0) 1 , C F 2 (0) 1, 又 F(x) 0 , 因此
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3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比 u vdx 好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
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例1. 求
ex
1
ex e2x
dx
ex arctan ex
(1 e2x ) 1 e2x
e2x
dx
e
x
arctan
e
x
x
1 2
ln
(1
e2x
)
C
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例6. 求 x 1 dx .
解: 设 F(x) x 1 x 1, x 1
1 x , x 1
则 F(x)
1 2
x2
x
C1
,
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出.
例如 , ex2 dx ,
sin x dx , x
sin x2dx ,
1 ln x
dx ,
dx , 1 x4
1 x3 dx,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d [ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
d [ ln(x
(1 2x ) dx
1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
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例3.
求
x sin 1 cos
x x
dx
.
解:
x 2sin x cos x
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例8. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 ,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
d
t
原式 6
dt (1 t3 t 2 t)t 6
dt (t 1)(t 2 1)t
6 t
t
3 1
3t t2
3 1
dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
∴
原式
dx
2
d(cos x sin x) cos x sin x
x 2ln cos x sin x C
说明: 此技巧适用于形为 a cos x b sin x dx 的积分. c cos x d sin x
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例10. 求 I1 解：因为
sin x dx 及