第四章 分形在振动信号特征提取中的应用

（5）在材料科学中的应用 分形可以用于材料制备和材料断裂行为等研 究。用于材料磨损表面、材料断裂表面、材 料烧结与氧化过程、薄膜材料等方面的分析 研究。分形学用于描述断口的特征,研究表明 断口的分形维数是与宏观力学的某些参量密 切相关,材料微观结构的分形维数与其超导电 性密切相关。可以用分形维数的大小来区分 材料的加热程度,晶体和非晶体的表面都可以 用分形表面来描述。
similar to the whole in some way.) 也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些 而已。
分形图形的自相似性
分形图形可看成是一种 与整体有相似性的若干 局部所构成的图形。 它的任何一局部都与整 体有严格的几何相似性， 即比例的自相似性，并 且在任意尺度上有无穷 细节的精细结构和无限 可分。
格的推理过程和测量方法，再加上自身的简洁性便
于与现代计算机技术相结合构建数学模型，从而对
自相似现象进行定量分析和模拟。
三 分形的应用
分形理论应用于从自然科学到社会科学的各 个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、 材料科学、天文地理、经济管理、计算机图 形学等学科领域。 重点介绍在故障诊断中的应用
4 用计算机模拟出的其它分形图形
春
夏
秋
冬
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例 子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成 自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形 可以很好地构建自然景物的模型。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
问题：A、B两国有一段共同的陆
地边界线 ，并向 B 国呈弧形 弯曲
（20）. 横跨 边界线有一战略高地 原属两国所共有. 20世纪80年代， A国对边界重新进行测量，测得的 边界长度比原记载长度大，按新
测长度这块高地完全落在A国境内.
于是A国向B国提出，要求将高地
全部归属A国，引起两国争端.
英国的海岸线有多长(续)?
河流分布图
股票价格曲线
复杂的大自然与欧氏几何的局限性
人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧 闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命 现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等， 都表现了客观世界丰富 多彩的现象。 传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对 象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟 如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比， 拥有完全不同层次的复杂性。 分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中 的秩序和结构的新方法。
（2）
在物理学中的应用
分形在物理学中的应用包括理论研究和实际 应用两方面。目前,理论研究已逐渐成熟起来, 人们更加注重把理论研究成果用于各门工程 技术中。例如电磁散射应用于远航通讯、雷 达回波中。分形在超导体研究、各种薄膜研 究、包括纳米材料在内的新材料研制等方面 将会发挥更大的作用。
（3）
英国的海岸线地图
英国的海岸线有多长?
测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道 路步行，并规定每步长度不超过r，设这样测得的海 岸线长度为L(r).然后重新开始，并使他在海岸线上 最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。
测量结论：随着步长r越来越短，我们测量出来的海 岸线长度越来越长。
分形的定义
严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事 情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形
的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种
具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特 在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与
整体相似的形。原文是：A fractal is a shape made of parts
3.通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的或者统计意义下的；
（局部与整体的自相似性） 4.分形维数一般是分数（不排除是整数），并且大于拓扑维数。 5.常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生．（生成的迭代性）
分形理论所研究的对象多为随机的、离散的、非连 续的复杂现象，并且通过自相似性将对象的复杂性 与简单性统一起来。作为一种数学理论，分形有严
分形理论在故障诊断 中的应用
一分形思想的形成
二分形的研究对象
三分形的应用
一 分形思想的形成
欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度 的几何物体
• 一维空间：线段，有长度，没有宽度； • 二维空间：平行四边形，有周长、面积； • 三维空间：球，表面积、体积； ．
问题： 对于不规则的图形：如海岸线，云的边 界，我们如何研究？如何用计算机去生成？
英国科学家理查逊海岸线长度经验公式 L(r) =kr1-D
Mandelbrot的贡献 把D的意义挖掘出来，D解释为“分形维数”。上式 取对数，得到 lgL(r)=(1-D)lgr+C 英国海岸线的分数维：1.25 澳大利亚海岸线的分数维：1.13
平时可以用几何图形表示形状简单的物体， 可是象山峰、白云、雪花等物体再用单一 的几何图形就很难表达，我们用什么方法 画出这些形状不规则的物体呢？
Koch 曲线
2 Mandelbrot集
热情地赞赏者常常说：曼德布罗特集是最复 杂的数学对象，即使用无限的时间也不足以 观察它的全貌。那饰以多姿多彩荆棘的圆盘， 那弯曲缠绕的螺线和细丝，那挂着微细颗粒 的鳞茎，那无穷尽的斑驳的色彩，那好像是 上帝葡萄藤上的累累果实。曼德布罗特集显 示了分形之美。曼德布罗特集成为了分形、 混沌的一种国际标志 。
（6）
在水文、地理学中的应用
在气象学领域，分形用于研究云系的形状、气象卫 星云图的特征和数据压缩,降水的模式和强度,降水 量在土壤中的渗透模式等。 在水文领域，用于研究河流形态、洪涝干旱序列、 水文过程线(如水位、流量、含沙量等)等的形状特 征。 在地貌学领域，运用分形理论研究地表面的起伏,例 如山川、地形、地貌的形态,以及它们产生、发展、 分布的规律等, 在人文地理学领域，分形理论可以用于研究类似于 海岸线的城市边界线、城市等级体系、城市规模分 布、城市引力模型以及区域差异等的分形特征。
不为空的盒子 ，通过计算log(N(r))与log(r)的斜率来计算Hausdorff维数D0
2.分形的应用
（1）在工程技术中的应用 分形理论在摩擦学中用于粗糙表面的表征、
接触模型分析、磨合磨损预测、摩擦温度分
布以及磨屑的定量分析等领域。
分形理论在疲劳断裂分析中的应用,建立裂纹
扩展的分形模型,可以更好地探讨裂纹扩展对 疲劳行为的影响。
Mandelbrot的大量工作
(1)曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文 《英国的海岸线 有多长》震惊学术界（1967年）． (2)法兰西学院 讲演报 (1973年)．
(3)“ 病 态 ” “ 数 学 怪 物 ” 命 名 —— 分 形 （ Fractal ） （ 1975
年）． (4)法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版（1975年）． (5)英文版《分形：形、机遇和维数》出版（1977年）． (6)英文版《大自然的几何学》出版（1982年） 。
Julia集图形的画法自然和Mandelbrot集 的画法一样，只是初始条件和边界条件还有 迭代变量稍有不同。
(1) C=0.6+0.5i时的Julia集
(2) C=0.5+0.5i时Julia集
(3) C=0.364+0.1i时的Julia集
(4) C=0.37+0.27i时的Julia集
3 Julia集
Julia集和Mandelbrot集可以说是一对孪 生 兄 弟 。 Mandelbrot 集 的 迭 代 公 式 Zn+1=Zn2+C中，给定复数C，如果n趋向于无 穷时Zn有界， Z0则属于Julia集。
2 J (C ) {Z 0 | n趋向于无穷时， n Z n1 C有界} Z
（4）
在生物医药中的应用
药学：如用分形维数表征粉粒状药物、多孔 固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂 等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性 能的关系。 医学：如细胞膜表面的分形维数及离子通道 动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、 生物反应器。 植物学 植物中树、枝、叶、茎、花、草、 蕨、花椰菜等是自然界中最先被认知具有分 形维数的物体。
Julia集分形图形
Julia集分形图形
二 分形研究的对象
研究“反 直 觉的 ” ，“ 病 态” 的 “数 学 怪
1. 物” 。 具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有复杂的细节；（结构 的精细性） 2.不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；（形态的 不规则性） 。
轿车
太阳
房子 盒子 黑板
他们象什么物体？ 我们如何画出这两幅图片？
种子：一条线段
条数：2条
方 式
角度:与种子的 夹角都是120度
长度：都为种子的一半
第1次 2
新树枝的条数
新树枝的长度
3
4 16
Biblioteka Baidu
……
n
2n
2
4
8
假设种子的长是单位1
用以上方法画出的图形叫分形图
用类似的画法设计一棵与它形状不同 的分形树
？
以线段为种子，向外作正方形而得
柯赫曲线 雪花曲线
•所见的雪花也是分形图的一种，
它叫雪花曲线
我们如何画出雪花曲线呢？
1 Koch 曲线
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 特点: (1)长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。 (2)当取其中的一部分展开，与整体有完全的自 相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自 我复制。
例 Box-Counting
将E维空间分割成一块块的超立方体盒子，分布在E维空间中的点集会落 在 这 些 盒 子 中 ， 设 Ci 为 落 入 第 i 个 盒 子 的 点 数 ， r 为 盒 子 的 边 长 ，
S(r)=sum(Ci 的平方),log(S(r))与log(r)的斜率为关联维数D2;如果用N(r)表示
1.分形的基本知识
分形维数是描述分形的重要参数,能够反映分形 的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和 计算方法。 分形维数的一种直观定义(不很确切). 如果我们把集合E放大倍，得到的新集合可 以由d个集合叠加而成，则称集合E的分形维 数是d.
对于一些具有严格相似性的分形,其维数可以由维数 的定义方便地求出. 对于复杂的分形,计算其维数的 实用方法一般有:通过改变标尺求分维的标尺法,利 用统计学中方差原理的半方差法和根据功率谱密度 求分维的PSD 法. 另外,根据测度关系、相关函数、 分布函数也可求分维。
在化学中的应用
分数理论在化学中各个领域的应用也正在开 展之中。例如:沉积物的形成、表面吸附、高 分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面, 也有少数学者开始研究小分子运动以及大分 子构象等问题。此外,薄膜分形、断裂表面分 形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日 趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反 应模型等也有应用。
我们依然以线段为种子，
让它另外的方式生长，
能得到怎样的图形呢？
以线段为种子
生 长 方 式
线段三等分
以中间线段为边 向外作等边三角 形，然后把中间 线段擦掉
第一次生长
第二次生长
第三次生长
它象什么
？
这也是分形图的一种，叫柯赫曲线
它是瑞典数学家柯赫发现的，因此以他的 名字命名。 你能用类似的方法设计一条与它不同的曲线吗
给定为一个初始的复数，C为一个复常数。对Z进行 这样的迭代：Zn+1=Zn2+C如果n趋向于无穷时Zn有界， 则C属于Mandelbrot集。
2 M (Z 0 ) {C | n趋向于无穷时， n Z n1 C有界} Z
为了更好的编程绘制Mandelbrot集，采用下述方法： （1）设定一个最大的迭代次数N，和Zn模的上界M （2）给定Z0=0 ，C=0进行迭代，迭代超过M时的迭 代次数n相同的点，标以相同的颜色。 （3）在[-2.5,1]×[-1.5,1.5]的区域上将图形640*480 的分辨率画出。
自然界中的分形
山
星 云
植物的叶子
天空中的云朵
自然界存在的一些 形状及其结构诸如 星系、闪电、泥裂、 材料断口、水系、 晶簇、蜂窝石、小 麦须根系、树冠、 支气管、小肠绒毛、 大脑皮层等等。尽 是分形。
自然界中的分形几何
模型所建立的简单的 几何结构，其与所生 成的自然结构特征相 同。从山峦的分形模 拟方法产生一种理论， 以描述地球表面的地 势起伏。