圆锥曲线之极点极线
圆锥曲线内一点的极线 证明
圆锥曲线内一点的极线证明
要证明圆锥曲线内一点的极线，我们可以遵循以下步骤：
1.假设我们有一个圆锥曲线，例如椭圆、双曲线或抛物线，并且在曲线上选取一个点P。
2.从点P引出一条切线，该切线与曲线相切于点P。
记切线的斜率为m。
3.我们需要证明切线的垂线（即过点P且垂直于切线的直线）是曲线的极线。
4.设垂线与曲线交于点Q。
5.由于切线与曲线相切于点P，所以曲线在点P处的切线斜率等于m。
6.根据几何性质可知，垂线与切线互为垂直关系，因此垂线的斜率为-1/m。
7.考虑点Q在曲线上，我们可以通过点斜式来表示垂线的方程。
设曲线的方程为f(x,y)=0，则点P的坐标为(x₀,y₀)。
由于垂线过点P且斜率为-1/m，所以垂线的方程为(y-y₀)=(-1/m)(x-x₀)。
8.将曲线的方程代入垂线的方程，得到f(x,y)=0，则(y-y₀)=(-1/m)(x-x₀)可以简化为f(x,y)=(-1/m)(x-x₀)。
9.由此可见，垂线的方程也满足曲线的方程，即点Q在曲线上。
因此，垂线是曲线的极线。
通过以上步骤，我们证明了圆锥曲线内一点的极线。
请注意，这个证明适用于椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线。
1。
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。
2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。
本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。
首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。
在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。
而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。
极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。
圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。
在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。
考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。
在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。
总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。
考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。
圆锥曲线中的极点极线
圆锥曲线中的极点极线一、引言圆锥曲线是平面上的一类重要的几何图形，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这些曲线中，极点和极线是非常重要的概念。
本文将介绍圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
二、定义1. 极点：在平面直角坐标系中，对于一个圆锥曲线C，如果存在一个定点F（称为焦点），则C上的任意一条直线L与F之间都有一个交点P。
当L不经过F时，P称为L在C上的截距点；当L经过F时，P 称为C的极点。
2. 极线：对于一个圆锥曲线C和它上面的一个极点P，在平面直角坐标系中，连接P与C上所有截距点的直线称为C关于P的极线。
三、性质1. 极点性质：（1）每个圆锥曲线都有两个焦点和两条相互垂直的对称轴；（2）如果L经过焦点，则其截距为a/e或ae，其中a是离心率e所确定的参数；（3）如果L不经过焦点，则其截距为b²/a，其中b是圆锥曲线的另一个参数。
2. 极线性质：（1）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一个点P，P关于C的极线与P到C的距离相等；（2）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一条直线L，L关于C的极点与L到C的距离相等；（3）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意两个点P、Q，它们关于C 的极线交于一点。
四、应用1. 极点和极线可以用来求解圆锥曲线上的各种几何问题，例如求解切线、法线、渐近线等；2. 极点和极线也可以用来描述圆锥曲线之间的关系，例如共轭圆锥曲线、互为反形图形等。
五、总结本文介绍了圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
在几何学中，圆锥曲线是非常重要的几何图形之一，在许多领域都有广泛应用。
掌握了极点和极线这一重要概念，可以更好地理解和应用圆锥曲线。
高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)-高中数学
圆锥曲线中的极点极线问题考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1.极点极线的定义如图,设P 是不在圆雉曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E ,F ,G ,H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG ,FH 交于M ,则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆雉曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理,PM 为点N 对应的极线,PN 为点M 所对应的极线.因而将△MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点,则P A ,PB 恰为圆锥曲线的两条切线.2.其他定义对于圆锥曲线C :Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0,已知点P x 0,y 0 (非中心)及直线l :Ax 0x +B ⋅x 0y +y 0x 2+Cy 0y +D ⋅x +x 02+E ⋅y 0+y 2+F =0,则称点P x 0,y 0 是直线l 关于圆锥曲线C 的极点,直线l 称为点P 关于圆锥曲线C 的极线。
配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。
3.替换原则x0x →x 2,x 0y +y 0x 2→xy ,y 0y →y 2,x +x 02→x ,y +y 02→y .4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点P x0,y0的极线l:x0xa2+y0yb2=1.(1)当点P x0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。
(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。
(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。
高中数学圆锥曲线之极点极线微专题二
AB 的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
（2014 辽宁高考理第 10 题）已知点 A(2,3) 在抛物线 C： y2 2 px 的准线上，过点 A 的
直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（
01
义）： 极点极线的定义（代数定
02
义）：
03
极点极线的应用：
04
小结与延伸
01 极点极线的定义 （几何定义）：
极点极线的定义 （几何定义）：
N
R R'
02 极点极线的定义 （代数定义）：
已 知 圆 锥 曲 线 ：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P（x0, y0）和 直 线
等角定理一： 椭圆准线与长轴的交点（特征点)与焦
半径端点连线所成角被长轴平分
等角定理二：过椭圆长轴上任意一点N（t，0）的一条
a2
弦端点与 对应点（ ，t 0 ）的连线所成角被焦点所在
直线平分.
调和共轭点和定比点差法
（ 2008
安徽理
22
）设 椭 圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x0
0
X
切线方程为
y
y0
x0 y0
(x
x0 )
y0
整理得, x0 x y0 y x0求圆的切线方程为 x0 x y0 y r 2
圆中的三个重要结论：
圆 C:x2+y2=r2 点 M（x0，y0）
结论一：当点 M x0 , y0 在圆 C 上时， xx0 yy0 r 2 为圆 C 在点 M 处的切线方程 结论二：当点 M x0 , y0 在圆 C 外时，过点 M 可作圆 C 的两条切线，设切点为 P1,P2
数学复习：极点极线
通俗来讲:对于圆锥曲线Γ外或内一点K 来说,其对应的极线即为:过点K 作Γ的两条割线所交的四个点两两相连再延长后,形成的除K 以外的两个交点所在的直线. 注1：若点K 在圆锥曲线Γ上,则在点K 处的切线即为极线注2：若FH//EG ,即交不到点M ,则点K 对应的极线过点N 且与FH 或EG 平行. 第二几何定义：(i)P (x 0,y 0)在圆锥曲线上,极线即为点P 处的切线；(ii)P (x 0,y 0)在圆锥曲线外,极线即为过点P 处的两条切线的切点弦；(iii)点P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ内,其极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹 代数定义：已知圆锥曲线C:Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0，一点P (x 0,y 0)， 直线l:Ax 0x +Cy 0y +Dx 0+x 2+Ey 0+y 2+F =0，则l 为P 关于C 的极线，P 为l 关于C 的极点．P (x 0,y 0)是平面上任一点,点P (x 0,y 0)对应的极线为数学复习：极点极线第一几何定义：如图过圆锥曲线Γ外一点上P 作两条割线依次交圆锥曲线Γ于E,F,G,H 四点,且EH ∩FG =N ,延长FH,EG 交于M ,则直线MN 即为点P 对应的极线,同理,极点M 对应的极线为NP ,极点N 对应的极线为PM,ΔMNP 称为自极三点形.l(1)椭圆x2a 2+y 2b2=1,极线l:x 0x a 2+y 0y b 2=1(2)双曲线:x 2a 2−y 2b2=1,极线l:x 0x a 2−y 0y b 2=1(3)抛物线:y 2=2px ,极线l:y 0y =p (x 0+x )特殊的极点与极线(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),点M(m,0)在椭圆中对应的极线方程为x =a 2m(2)双曲线:x 2a 2−y 2b 2=1,点M(m,0)对应的极线方程为x =a 2m(3)抛物线:y 2=2px ,点M(m,0)对应的极线方程为x =−m更特别地,圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线 (1)对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c (2)对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1,焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c(3)对于抛物线y 2=2px ,焦点F (p 2,0)对应的极线方程为x =−p 2核心性质1：配极原理给定平面内一圆锥曲线 C ，若点 P 关于 C 的极线过点 Q ，则点 Q 关于 C 的极线也过点 P ，如所示 .配极原则的一个等价命题：已知一圆锥曲线C，如果平面内有一直线d，直线d上有一动点P，P点关于C的极线为l，如图所示 .核心性质2：调和点列给定圆锥曲线T,点P(不在T上)对应的极线为lp ,过点P任意作一条直线1交lp于点Q,交r于A,B,则点P,A,Q,B为调和点列.调和点列定义已知点P,A,Q,B为直线上依次四点,且满足|AP||PB|=|AQ||QB|(等价于2|PQ|=1 |PA|+1|PB|或者2|QP|=1|QA|−1|QB|), 则称P,A,Q,B为调和点列。
圆锥曲线的极点极线
圆锥曲线的极点极线圆锥曲线是数学中的重要内容，涉及到许多重要的数学概念和方法。
其中，极点极线是圆锥曲线的一个重要性质，也是解决圆锥曲线问题的重要方法之一。
本文将介绍圆锥曲线的极点极线的定义、性质以及应用。
一、极点极线的定义极点极线是圆锥曲线的一种特殊关系，它描述了曲线上的点与曲线上的其他点之间的关系。
具体来说，如果一条直线与圆锥曲线的交点为A，而另一个交点B与A关于极线对称，那么这条直线就称为该点的极线。
同样地，如果一个点A在圆锥曲线上，那么通过A点的极线就是与A点对称的直线。
二、极点极线的性质极点极线具有以下性质：圆锥曲线上的任意一点都有且只有一条极线。
如果两条直线都是某个点的极线，那么它们一定相交于这个点的对称点。
如果一个点在圆锥曲线上，那么它关于该点的极线一定是该曲线的切线。
如果一条直线与圆锥曲线相交于两个点，那么这两点关于该直线的极线对称于直线本身。
这些性质是解决圆锥曲线问题的重要工具之一。
三、极点极线的应用极点极线在解决圆锥曲线问题中有着广泛的应用，以下是一些应用示例：求解圆锥曲线的交点如果两条圆锥曲线有交点，那么它们的交点一定在对称轴上。
因此，可以通过求出两条圆锥曲线的对称轴，再求出它们的交点来求解圆锥曲线的交点。
求解圆锥曲线的切线如果一个点在圆锥曲线上，那么它的极线就是该曲线的切线。
因此，可以通过求出该点的极线来求解圆锥曲线的切线。
求解圆锥曲线的弦长如果一条直线与圆锥曲线相交于两个点，那么这两点关于该直线的极线对称于直线本身。
因此，可以通过求出这两点的对称轴，再根据对称轴的性质求出这两点之间的距离，从而得到圆锥曲线的弦长。
求解圆锥曲线的面积和体积利用极点极线的性质，可以通过将圆锥曲线分割为若干个小的区域，每个区域的面积或体积可以计算出来，从而得到整个圆锥曲线的面积或体积。
求解圆锥曲线的问题中的最值在一些圆锥曲线的问题中，需要求解某个量的最值。
利用极点极线的性质，可以将问题转化为在某些约束条件下求解函数的最大或最小值问题，从而得到所求的最值。
圆锥曲线专题：调和点列-极点极线
一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l 上有两基点A ,B ，则在l 上存在两点C ,D 到A ,B 圆锥曲线专题：调和点列-极点极线两点的距离比值为定值，即AC BC =AD BD =λ，则称顺序点列A ,C ,B ,D 四点构成调和点列(易得调和关系2AB =1AC +1AD )。
同理，也可以C ,D 为基点，则顺序点列A ,C ,B ,D 四点仍构成调和点列。
所以称A ,B 和C ,D 称为调和共轭。
2.调和线束：如图，若A ,C ,B ,D 构成调和点列，O 为直线AB 外任意一点，则直线OA ,OC ,OB ,OD 称为调和线束。
若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。
3.阿波罗尼斯圆：如图，A ,B 为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P 的轨迹为圆O ，A ,B 互为反演点。
由调和点列定义可知，圆O 与直线AB 交点C ,D 满足A ,C ,B ,D 四点构成调和点列。
4.极点极线：如图，A ,B 互为阿圆O 反演点，则过B 作直线l 垂直AB ，则称A 为l 的极点，l 为A 的极线.5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。
圆锥曲线极点与极线的一组性质
上 ，所 以有 ＋ Ｃｙ ＋２Ｄｘ。＋２Ｅｙ。＋Ｆ一 ０，代
入 切 线 方 程 ，化 简 得 切 线 方 程 为 。ｚ＋ Ｃｙ。 ＋
Ｄ（ｘ＋ 。）＋Ｅ（ｙ＋ｙ。）＋ Ｆ一 ０，极线 ｚ就是 曲线
Ｃ 在 点 Ｐ 处 的 切 线 ；
（２）设 Ｍ（ ，Ｙ ）、Ｎ（ｘ２，Ｙ２），由（１）得 曲线在点
ｂ＞ ０）、抛物线 Ｙ 一 ２ｐｘ（Ｐ＞ ０））的一个极 点 ，
它对 应 的极 线为 Ｌ． （１）若 ｒ为椭 圆或双 曲线 ，ＯＰ（０为中心 ）或
０Ｐ 的 延 长 线 交 ｒ 于 Ｒ，交 Ｌ 于 点 Ｑ，则 ｌ（＿）Ｐ ｌ·ｌ∞ ｌ— ｌ ＯＲ ｌ ；
（２）若 Ｉ１为抛 物线 ，ｌ是 ｒ在顶 点 ０处 的切 线 （即 Ｙ轴 ），过 点 Ｐ 作 ｆ的 垂 线 ，交 Ｌ于 Ｑ，交 ｒ于 Ｒ，则 ｌ ＰＲ ｌ— ｌ ＱＲ １．
一 ０，又 点 Ｑ（ ，Ｙ ）在 直 线 ｚ上 ，所 以 Ａｘ。ｚ ＋
Ｃｙ ０Ｙｌ＋ Ｄ（ｘｌ ４－ｚ。）＋ Ｅ（ｙｌ＋ Ｙ。）＋ Ｆ 一 ０，由 以
上两 式 知 点 Ｑ（ ，ｙ ）在 直 线 ＭＮ 上 ，即 直 线
ＭＮ 必 过 极 点 Ｐ．
例 １ 已 知 圆 ＋ Ｙ 一 １和 圆 外 一 点 Ｐ（２，
直 线 ＭＮ 过 点 Ｐ，所 以 有 Ａｌｎｘ。＋ Ｃｎｙ ｏ十 Ｄ（ｘｏ＋
）＋Ｅ（Ｙ。＋ ）＋Ｆ— Ｏ，故 曲线 Ｃ在 Ｍ 、Ｎ 两 点
处 的 两 条 切 线 的 交 点 Ｑ 在 极 线 ｚ上 ．
（４）设 点 Ｑ（ ，Ｙ ），由 （２）知 直 线 ＭＮ 的 方
程 为 Ａｘｌ ＋ ＣｙｌＹ＋ Ｄ（ ＋ １）＋ Ｅ（ｙ＋ ｙ１）＋ Ｆ
（４）若 过极 线 上一点 Ｑ 可作 Ｃ的两条 切线 ， Ｍ 、．Ｎ 为切点 ，则直线 ＭＮ 必过 极点 Ｐ．
专题7圆锥曲线之极点与极线微点1圆锥曲线之极点与极线
专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线专题7 圆锥曲线之极点与极线微点1 圆锥曲线之极点与极线【微点综述】“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．一、极点极线发展简史极点与极线 ，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues ，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S ．G ．D ．L ．（是他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P 98，科学出版社，2003）．二、引例先看一个引例：引例．对于一已知点()00,M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r+=（*）的几何意义有如下3种情形：（1）当点()00,M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为()00,M x y ；（2）当点()00,M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦所在的直线．点()00,M x y 在切点弦的中垂线上．（3）当点()00,M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点N （即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．202200r y x y ⎫⎪+⎭若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．由图4同理可知，PM为点N对应的极线，称为自极三点形．设直线MN交圆锥曲线于点A，B两点，则【定理1】（1）当P在圆锥曲线Γ上时，则点1PB证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR RQ R '=可得2OR OP OQ =⋅．反之由此式可推出PR PR RQ R Q =''，即点【推论4】如图7，A ，B 圆锥曲线Γ的一条对称轴关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于P 【推论6】如图9①～③，已知点Q 、直线l 和圆锥曲线,M N ，在直线l 上任取一点P ，连结PQ ，分别过点Q 与直线l 是Γ的一对极点与极线，则2MPN S ∆=【定理3】（配极原则）点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点证明：点P 的坐标用0标记，点Q 的坐标用1标记，点P 的极线为，图17注意其中的,B D 两点，我们固定,,,A C E F 点，先让B 与C 重合，D 与F 重合，这样，,BC DF 直线就成了椭圆的切线．我们得到一个圆锥曲线的内接四边形，这相当于帕斯卡定理的极限情形，我们对这个边形”用帕斯卡定理，就可以知道对边交点,X Z 与,C F 对应切线的交点在L 上．值得注意的是CF 是切点弦，说明L 是切点弦CF 上某个点的极线．边形”使用帕斯卡定理，由于前后2次使用帕斯卡定理的对象其实本质上是一个六边形，因此L不会变化，那么A，E处的切线交点也在L上，同理AE是切点弦，说明L是切点弦AE上某个点的极线．两个点的极线都是L，说明这两个点必须是同一个点，也就是AE，CF的交点，也就是四边形对角线的交点．由此我们得到一个重要的结论：对于圆锥曲线内部任意一个定点P，对于任何内接四边形，只要这个四边形的对角线交点是这个定点，那么其对边所在直线的交点，对顶点处的切线的交点，都在这个定点的极线上．这是后面论述几何作图的重要基础．图18四、极点与极线的几何作图1．几何作图：求圆锥曲线内一点的极线图19利用前面的分析就非常简单了，过A任意作两条直线交圆锥曲线于四点，这就构成了一个以A为对角线交点的四边形，两组对边所在直线的交点所构成的直线就是准线．这里还有一些结论，我们让其中一组对边所在直线的交点在极线上运动起来，那么这个四边形就是变化的，但是对角线的交点始终是A．如果过A点作极线的平行线，那么就是中点弦了，这里还有一个蝴蝶定理，可以参考“微专题：蝴蝶定理”．2．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，进而求出切线设圆锥曲线外一定点是A，过任意作三条直线交圆锥曲线于六个点，将相邻的四个点交叉相连，得到B，C两点．对于B，B相当于是一个四边形的对角线交点，而A是对边所在直线的交点，根据之前的结论，B极线过A．再根据性质三，A的极线也过B．同理，A极线也过C，那么根据两点确定一条直线，直线BC就是A的极线．直线BC与圆锥曲线交于D和另外一个点（图中没有标出），连接AD，就是切线．对于另外一个点也是如此．这不失为一种画切线的好方法．3．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，也就是切线曲线上有一定点A，为了求出切线，可以想办法构造图形，方便利用前面的结论．任意做一个以A为顶点的四边形，对角线交点为C，利用前面的结论先作出C的极线．在AC上任取一点B，作出B的极线与C的极线交于Q．由于B的极线，C的极线过Q，那么Q的极线过BC，事实上BC就是Q的极线．那么A就是切点弦的一个端点了，连AQ，即为切线．B在AC上运动时，极线会绕Q点转动，这是很明显的结论，不仅仅对极线是这样．证明略．C D重合．那么这两条我们现在想象，如果让这两条直线旋转起来，使得,A B重合，,F（1）当32CD=时，求直线l的方程；（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；两点，且BP mBC = ，直线,OA OB （2019高考全国Ⅲ卷21）12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线（1）设动点P满足224PF PB-=，求点（2）设12x=，21 3x=，求点T的坐标；（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：2）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，是切点，所以P 与切点弦所在直线AB ：00220x x y y --=互为极点与极线，联立02220,,4y y x --=可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，()()()222222001212000001414164422x x x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点AB 的距离为200244x y d x -=+，∴()()()2300222200002041114442224x y AB d xx y x y x -=⋅=+-⋅=-+，()()22200000041441215621y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.由224PF PB -=，得()(222x y x ⎡-+-⎣化简得92x =，故所求点P 的轨迹为直线92x =．1又121121,QA QB y y k k k x x x '--==-=-所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线法解高中圆锥曲线极点与极线在高等几何中是重要的概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的研究内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所涉及，自然也会成为高考试题的命题背景。
从几何角度来看，极点与极线的定义如下：设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、FG交于N，连接EG、FH交于M，则直线MN为点P对应的极线。
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线。
由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线。
因此，将MNP称为自极三点形。
设直线MN交圆锥曲线于点A、B两点，则PA、PB 恰为圆锥曲线的两条切线。
定理1如图1，当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；当P在圆锥曲线外时，过点P作圆锥曲线的两条切线，设其切点分别为A、B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；当P在圆锥曲线内时，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，设圆锥曲线在A、B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹。
定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，交l于Q，则①成立；反之，若有①成立，则称点P、Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于圆锥曲线的调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q（或点P）。
点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线。
推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有②成立；反之，若有②成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
可以证明，①与②是等价的。
事实上，由①可得到②，由②可得到①。
特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR²=OP×OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。