求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法

1.1函数极值的定义法

说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法

定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件.

例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22

5

x =

，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表

说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法

对于问题：

Min (,)z f x y =

s.t (,)0x y =

如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得

****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=

****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=

利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数

例2 在曲线3

1(0)y x x =

>上求与原点距离最近的点.

解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函

数2231()w x y y x

λ=++-

然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得

43

320201x x y y x λλ⎧+=⎪⎪

+=⎨⎪⎪=⎩

解得

x y ⎧=⎪

⎨=⎪⎩

这是唯一可能取得最值的点 因此

x y ==

. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得

****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=

****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=

这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题

由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0p 点的Hessene 矩阵H ，判定H 正定或负定，若H 正定则()f p 在0p 点取得极小值；若H 负定则()f p 在0p 点取得极大值.

例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值

解 先求驻点，由 220440660x y z

f x f y f z =+=⎧⎪

=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=-

所以驻点为0(1,1,1)p ---.

再求Hessene 矩阵，

因为 2,0,0,4,0,0,0,0,6xx xz xy yy yz yx zx zy zz f f f f f f f f =========

所以 200040006H ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

由此可知，H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)p ---点取得极小值：

222(1,1,1)(1)2(1)312(1)4(1)6166f ---=-+⨯-+⨯+⨯-+⨯--⨯-=-

说明：此方法适合多元函数求极值的放法，要注意求偏导数以及 Hessene 矩阵.