图论 图的基本概念

若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。
满足 V (H ) = V (G), E(H ) ⊂ E(G) 的真子图
奇圈与偶圈
n个顶点构成的道路记作 Pn 。 n个顶点构成的圈记作Cn 。
n为奇数的圈称为奇圈。 n为偶数的圈称为偶圈。
差运算
由G1中去掉G2中的边组成的图称为G1和G2 的差(difference)，记作 G1 − G2
G1
G2
G1 − G2
例题 1.3.2
设G是简单无向图且 G ≅ Gc , n ≡ 1(mod 4) 。 证明：G中含奇数个 1 (n −1) 度点。
证明 V (G) = Vo Ve 2由推论1.3.2知，|Vo | 为
G
G[{e1, e4 , e5, e6}] G −{e5, e7}
G +{e8}
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G,G2 ⊆ G. 若V (G1) V (G2 ) = φ ,则称G1和G2是点不交
（vertex-disjoint） 若 E(G1) E(G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的
偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。
因此，|Ve | 为奇数个。
n ≡ 1(mod 4)
，
1 2
(n
−
1)
为偶数。
设为偶数。。若由 ，，存则在y，使得 且 x ∈Ve
d
G(x)G≠ 1 (n −2≅G
c
1)
dGc
(x)
=
n
−1−
dG
(x)
≠
1 2
(n
−1)
dG ( y) = dGc (x)
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
圈：v1v2v3v4v1
Hamilton路
定义：包含图中每个顶点的路称为Hamilton 图。
Th1.4.1 每个竞赛图都含有Hamilton有向路。 证明 反证，设P= x1x2x3.........xl 是图的最长路。
12为(n −偶1) 数的。点即是成y ∈对Ve且的出dG (现y) ≠的12 (n。−1) 。Ve 中度不为
链 (walk，chain)
链: 从顶点u到顶点v的一条链是指一个序 列 µ = v0e1v1e2v2...vk−1ekv，k 其中 ei 的起点终点 为vi−1及 vi ；k 称作途径的长度；v0 = u 称为链的 起点；vk = v称为链的终点。
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的 桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出 一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
同构
G1和G2的顶点和边都一一对应，且连接关 系完全相同，只是顶点和边的标号不同，则 G1和G2是同构的。
同构关系实际是一种等价关系。
完全图
完全图：每对不同的顶点都有边相连
n阶完全图记作 Kn
共有
Cn2
=
1 2
n(n −1条) 边
补图：设G为简单图，而H是一个以V(G)为顶点
集，且顶点在H中邻接当且仅当它们在G中不 邻接，则称H为G的补图，记作 H = G
（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1) V (G2 )
E(G1 G2 ) = E(G1) E(G2 )
图的运算
设G1和G2是两个图，若G1和G2无公共顶点， 则称它们是不相交的(disjoint)；若G1和G2无 公共边，则称它们是边不重的(edge disjoint)。
例题
证明：在任意六人中必存在三人，要么都相 识，要么都不相识。
证明 构造图。六个人={a, b, c, d, e, f}
边集：两人认识，则代表两人的顶点之间连 一条红边，否则连一条绿边。
考虑某点，不妨设为f，至少有3条边同色 （不妨设为红色）。设这三条同色边为fa， fb，fc。考虑三角形abc。1.abc中含红边 （设为bc），则fbc为一同色三角形；2.abc 不含红边，则abc为一同色三角形（绿色）。
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
链： v1v4v3v5v4
道路 (path)
并运算
设G1和G2是两个无孤立点的图
(1) 由G1和G2中所有边组成的图，称为G1和G2
的并(union)，记作 G1 G2
相同的顶点 在并中只能 出现一次
G1
G2
G1 G2
交运算
由G1和G2的公共边组成的图称为G1和G2的 交(cap)，记作 G1 G2
G1
G2
G1 G2
第一章：图的基本概念
杨帆
江苏科技大学数理学院
第一章：图的基本概念
图的定义与基本术语 同构 途径(way)和道路(path) 图的连通性 图的运算
图的概念
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶 点的边所构成的图形。
这种图形通常用来描述某些事物之间的某种 特定关系，用顶点代表事物，用边表示相应 两个事物间的某种关系。
以 u ≡ v表示顶点 u和v是连通的。
如果图G中每对不同的顶点u, v都有一条 (u, v) 道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简 称分支(Component)。分支的个数记为w(G)。
分支大于1的图称为分离图或非连通图。
连通图
分离图
连通图的性质
定理 若图G是非连通的，则补图 G是连通的。
图的基本术语(1)
阶：图G的顶点集合V的大小称为图G的阶
没有任何边的图称为空图，记作Φ。 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph)。
关联与邻接：
点与点的邻接(adjacent) 点与边的关联(incident) 两个顶点之间有边相连，则两个顶点邻接，并
且通过这条边关联。
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8
在任意图G中，度为奇数的顶点个数是偶数
∑ d(v) + ∑ d(v) = 2 E
v∈V1
v∈V2
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G)，且H中边的重 数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
G
G[{v1, v2 , v3}]
G − v2
边导出子图
边导出子图:
设E′ ⊆ E(G) ，以E′ 为边集，以E′中所有边的端点 为顶点集，组成的子图称为G的边导出子图，记 作G[E′] 。
从 E(G)中删去 E的′ 所有边得到的子图，记作 G − E′ 在 E(G)上增加一个边集 E所′ 得到的图，记作 G + E′
且l<n。则存在点 x ∈V (D) \V (P) ,且x1x, xxl ∈ E(D) 可以推出存在 xi−1x, xxi ∈ E(D) 。
则找到一条比P还要长的路 x1x2.....xi−1xxi.....xl
矛盾。
连通性
设 u, v是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v) 道路，则称顶点u和 v是连通的(connected)。
分划(V1,V2 )称为图G的二分划。
完全二部图
对于二部图G，如果 V1中的顶点与V2中的每 个顶点都邻接，则称为完全二部图。
若 V1 = m, V 2 = n ，则完全二部图记作Km,n 。
Petersen 图
图
习题 1.2.3 pp. 13 证明：下列三个无向图都与Pertersen图同构。
证明：设u和 v是G中任意两个顶点。 (1)若 u和 v在G中不邻接，则它们在补图G一定邻接。 (2)若 u和 v 在G中邻接，则它们属于G的同一分支，而在 G的另一个分支中一定存在一个顶点 w ，使得在G中 w和 u不邻接，w和v 也不邻接，而在补图G中，u和v 均 与w邻接，那么uwv是一条道路。 综上，在 G中，任意两个顶点都是连通的。
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题， 证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数 学中的图论。
图的定义
二元组定义：G = (V , E)
V 是顶点集，E 是边集 E 的元素是一个二元组数对，用(x, y表) 示，x, y ∈V
点导出子图
点导出子图(induced graph):
设V ′ ⊆ V (G) ，以V ′为顶点集，且两端点都在V ′中 的边的全体为边集所组成的子图，称为由V ′导出 的G的子图，记作 G[V ′]。
导出子图G[V \V '表] 示从G中去掉V ′及其关联边的 子图，记作 G −V。′
若 V ′ = {v，} 则把 G −V ′简记作G − v，称为主子图。
G1 = (V, E) V = {v1, v2, v3, v4, v5} E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} e1 = (v1, v2 ), e2 = (v2, v3 ), e3 = (v3, v4 ), e4 = (v2, v4 ), e5 = (v1, v4 ), e6 = (v4, v5 ), e7 = (v1, v5 )
重边：连接同一对顶点的边数大于1 环：顶点通过同一条边与自己关联
图的基本术语(2)
多重图：允许重边，又允许有环的图 简单图：没有环及多重边的图 有向图/无向图：
每条边都规定了方向的图称为有向图，而边没 有方向的图为无向图。
有限图/无限图：
顶点集合和边集合都是有限集合称为有限图， 否则称为无限图。
图的基本术语(4)
正则图：图的每个顶点的度都相同
每个点的度均为k的正则图，称为k-正则图
0-正则图
1-正则图
2-正则图
3-正则图
握手定理
顶点的度与边的关系：∑ deg(v) = 2 E v∈V
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
链： v1e3v4e4v3e6 v5e7v4
简便起见，只用顶点表示为：
v1v4v3v5v4
链 (chain)
如果 u = v，称该途径是闭的，反之则称为开 的；
链 µ 逆转后得到的链µ′ = vkekvk−1...v2e2v1e记1v0 为µ −1 ，称为µ 的逆链。
链µ 中一段子序列 viei+1vi+1...v j−1e jv j 称为µ 的 节(vi , v j )。
G
H
竞赛图
定义：完全图的定向图称为竞赛图。 举例：n=1，n=2， n=3
二部图(bipartite graph)
定义：设V1 和V2是G的顶点子集， 其中V 1V2 = V (G),V1 V2 = Φ，且G中每一条边 的一个端点在V1中，另一个端点在V2中，则 称G为二部图，记作G = (V1,V2; E)
图的基本术语(3)
顶点的度：与该顶点相关联的边的数目
记作 deg(v)，或简记作 d (v)； 度为零的顶点称为孤点； 度为1的顶点称为悬挂点； 对于有向图，有出度和入度之分； 奇顶点和偶顶点； 计算有环的顶点，环边计两次.
图G的最大度: ∆(G) = max{d (v) | v ∈V (G)} 图G的最小度：δ (G) = min{d (v) | v ∈V (G)}