复合函数微分法

z
uv
证: 设 t 取增量△ t , 则相应中间变量 有增量△ u ,△v ,
? z ? ?z ?u ? ?z ?v ? o (? )
?u ?v
tt
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? z ? ? z ? u ? ? z ? v ? o( ? ) ( ? ? (? u)2 ? (? v)2 )
? t ?u ? t ?v ? t ? t
? 2 ( y ? x4 sin y cos y ) ex2 ? y2 ? x4 sin2 y
xy
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例3. 设 z ? uv ? sin t , u ? et , v ? cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz ? ? z ?du
? ?z
dt ?u dt
?t
z
? vet
? cost
? e t (cost ? sin t) ? cost
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到 , 应掌握这方面问题的求导 技巧与常用导数符号！
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二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微 ,
则复合函数 z ? f (? (x, y) ,? (x, y))的全微分为
d t 2 ?u dt ?v dt
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来自百度文库
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形 . 例如, z ? f (u, v, w) ,
u ? ? (t), v ? ? (t), w ? ? (t)
dz ? dt
? z ?du ?u d t
? ? z ?dv ?v dt
?y
? f1?? f2?? 1? ? f2?? 2?
xv xy
注意: 这里 ? z 与 ? f 不同, ?x ?x
? z 表示固定 y 对 x 求导, ? f 表示固定 v 对 x 求导
?x
?x
口诀 : 分段用乘 , 分叉用加 , 单路全导 , 叉路偏导
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例1. 设 z ? eu sin v , u ? x y , v ? x ? y , 求 ? z , ? z .
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例 4. 利用全微分形式不变性再解例 1.
解: dz ? d( eu sin v ) ? eu cos v dv
d (x y)
d (x ? y)
(yd x ? xdy) ? e xy[ y sin(x ? y) ? cos(x ? y)]d x
(dx ? dy)
dy
f2?? 1?
z
uv
? z ? ? z ??u ? ? z ??v ? y ?u ? y ?v ? y
?
f1?? 2? ?
f2?? 2?
x
yx
y
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又如, z ? f (x,v), v ? ? (x, y)
当它们都具有可微条件时 , 有
z? f
?z ?x
?
?f ?x
?z
?x ?y
解: ?z
? ? z ??v
?x
?v ?x
? eu sin v ? eu cos v ?1
z
?z
? ? z ??v
?y
?v ? y
? eu sin v ? eu cosv ?1
uv x yx y
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例2. u ? f (x, y, z) ? ex2 ? y2 ? z2 , z ? x2sin y, 求 ?u , ?u
第二节
第十七章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z ? f (u,v)
处偏导连续 , 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z ? ? z ?d u ? ? z ?dv d t ?u d t ?v d t
dz ? ?z dx ? ?z dy ?x ?y
? ( ? z ??u ? ? z ??v ) dy ?u ? y ?v ? y
( ?u dx ? ?u dy ) ?x ?y
( ?v dx ? ?v dy ) ?x ?y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量 , 其全微分表达 形式都一样 , 这性质叫做 全微分形式不变性 .
说明: 若定理中
偏导数连续 减弱为
偏导数存在 , 则定理结论 不一定成立 .
例如: z ? f (u, v) ?
u2v u2 ? v2 ,
0,
u2 ? v2 ? 0
u2 ? v2 ? 0
u?t, v?t
易知 :
但复合函数 z ? f (t, t ) ? t
2
d z ? 1 ? ? z ?du ? ? z ?dv ? 0 ?1? 0 ?1 ? 0
? ? z ?dw ?w dt
z
uvw
? f1?? ?? f2?? ?? f3?? ?
2) 中间变量是多元函数的情形 .例如,
t tt
z ? f (u, v) , u ? ? (x, y), v ? ? (x, y)
? z ? ? z ??u ? ? z ??v ?x ?u ?x ?v ?x
?
f1?? 1??
?x ?y 解: ?u ? ? f
?x ?x
?
2xex2 ?
y2 ? z2
? 2zex2 ?
y2?
z
2
?2
x
sin
y
u
? 2 x (1 ? 2 x2 sin2 y) ex2 ? y2 ? x4 sin2 y
xyz
?u ?y
?
? ?
f y
?
?f ?z
?? z ?y
? 2ye x2 ? y2 ? z2 ? 2zex2 ? y2 ? z2?x2 cos y
所以
例1 . z ? eu sin v, u ? xy, v ? x ? y, 求 ? z , ? z .
?x ?y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加 , 单路全导 , 叉路偏导”
例如 ,
u
? 1?;
? 2? x y v
xy
2. 全微分形式不变性
则有? u ? 0, ? v ? 0,
z
? u ? du , ? v ? dv ? t dt ? t dt
? o( ? ) ?
uv tt
(△t＜0 时,根式前加“ –”号)
d z ? ? z ?d u ? ? z ?dv ( 全导数公式 ) d t ?u d t ?v d t
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