基于张量分解的二次双线性系统降阶方法

基于张量分解的二次双线性系统降阶方法在工程应用领域,许多物理及化学现象往往可以通过数学模型描述.这些数学模型通常是由微分方程构成.随着科技与计算水平的发展,人们对于所建模型的精度要求越来越高,使得动力系统的复杂程度和规模急剧增大.因而给动力系统的仿真模拟、优化和控制带来了巨大挑战.为了在合理的时间内,利用有限的资源对系统进行模拟和分析,必须寻找快速且可行的方法来降低系统的规模或复杂度.模型降阶为解决上述问题提供了有效的方法,它能够在保证精度的前提下,有效降低理论分析难度、提高仿真模拟效率.本论文研究了二次双线性(Quadratic bilinear,QB)系统基于张量分解的模型降阶方法.主要的研究内容包括以下几个方面:(一)对于一类非线性系统,通过引入新的状态变量将其等价地转化为QB系统,探讨了该系统基于张量Tucker分解与矩阵Khatri-Rao积的模型降阶方法.将QB系统的二次项系数矩阵重构为一个三阶张量,并进行Tucker分解,将其分为核心张量与三个因子矩阵.考虑张量的展开矩阵,将原始系统的二次项写为小规模矩阵的Khatri-Rao积形式.对状态变量进行Taylor展开,计算展开系数,构造投影矩阵,从而得到降阶系统.由此得到的降阶系统能够保持原始系统的稳定性,并且能够匹配若干Taylor展开系数.此外,本论文还给出了原始系统与降阶系统的误差界.(二)针对QB系统,研究了基于张量CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解及矩阵Hadamard积的模型降阶方法.首先,将QB系统的二次项系数重构为三阶张量.通过对该张量进行CP分解,得到三个规模相对较小的成分矩阵.类似地,将CP分解得到的张量展开为矩阵形式,进而将原始系统的二次项写为矩阵的Hadamard

积形式.通过计算状态变量的Taylor展开系数,构造投影矩阵,从而得到降阶系统.此外,理论分析了降阶系统的稳定性,探讨了原始系统与降阶系统的误差界.

由于运用了张量分解将二次项系数矩阵改写为规模相对较小的矩阵形式,所以本论文所提出的两种非线性模型降阶方法在构造降阶系统过程中不需要花费较大的计算量.