高一数学知识点总结

高一数学知识总结

必修一

一、集合

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合

{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法及描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R|

x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：

{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：B

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A

及B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A A

②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)

③如果A B, B C ,那么A C

④如果A B 同时B A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性及单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数对称规律：

1、函数y=a^x及y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x及y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x及y=-a^-x关于坐标原点对称

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如αx

y=)

a∈的函数称为幂

(R

函数，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当<α时，幂函数的图象上凸；

1

0<

（3）0<α时，幂函数的图象在区间)

,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

方程的根及函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数)

)(=

x

f

=，把使0

y∈

)(

x

(D

f

x

成立的实数x叫做函数)

f

y∈

x

=的零点。

x

)(

(D

2、函数零点的意义：函数)(x f

f实

x

y=的零点就是方程0

)(=

数根，亦即函数)(x f

y=的图象及x轴交点的横坐标。

即：方程0

y=的图象及x轴有交

)(=

f有实数根?函数)(x f

x

点?函数)(x f

y=有零点．

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程0

f的实数根；

)(=

x

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函

数)(x f

y=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0

(

2≠

bx

y．

ax

c

+

+

=a

（1）△＞０，方程0

2=

ax有两不等实根，二次函数

bx

+c

+

的图象及x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程0

2=

ax有两相等实根，二次函数

bx

+

+c

的图象及x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二

阶零点．

（3）△＜０，方程0

2=

ax无实根，二次函数的图象及x轴无交点，二

bx

+c

+

次函数无零点．

三、平面向量

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

数乘运算

实数λ及向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ> 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λμ)a = λa μa（3）λ(a ±b) = λa ±λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a及b的数量积或内积，记作a?b，θ是a及b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量及任意向量的数量积为0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|及b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象

定义域

R R 值域

[]1,1- []1,1- R 最值

当()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性

2π 2π π 奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数 单调性

在 ()k ∈Z 上是增函数；在 ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在 ()k ∈Z 上是增函数． 对称性

对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 对称中心 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心

无对称轴

函 数 性 质

必修四

角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k α

α?<

?+

第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<

终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、及角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

(以上k ∈Z)其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式商的关系：

sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc α

cos α/sin α＝cot α＝csc α/sec α

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和及差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα?tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα?tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---

2 2

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----

2 2

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—----- 2 2

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—----- 2 2