基于多目标优化的投资组合分析

WT W0
PT W
w j ! 0, j
1,2 , ,n
其中，P
∀1,1, ,1#
T
， W0 为投资者投资于无风险资产的权重，来降低投资组合的风险。
假设 r0 为银行存款利率， W0 为存款在投资组合中的权重。当 W0 ∃ 0 时，表明投资者的组合 投资包含一定的无风险投资；当 W0 投资组合的可行解集 X 满足限制条件
《计算机工程与应用》
基金分离定理”；Wiliam. F. Sharpe[7]提出的“ 单一指数模型”，该模型假定资产收益只与市场 总体收益有关，从而大大简化了 Markowit 理论中所用到的复杂计算； Konno[8]等研究了收 益不对称的情况下的均值-方差-偏度模型，该模型在收益率分布不对称的情况下具有价值， 因为具有相同均值和方差的资产组合很可能具有不同的偏度， 偏度大的资产组合获得较大收 益率的可能性也相应增加；Cai[9]用资产组合项资产收益中的最大期望绝对偏差来刻画风险， 建立了一个资产组合选择的线性规划模型并给出了解析解。 本文在 Markowitz 和 Mamanis[10] 模型基础上改进，使在一定的收益和风险水平下，组合资产中资产的数目最小，从而达到降 低管理成本和难度的目的。 三目标投资组合优化模型表述如下： max
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实证分析及讨论
投资组合决策时， 投资者要依据宏观经济态势以及证券市场的行情和各种信息， 结合自
己的投资经验， 选择各种证券作为投资的目标， 并利用证券的历史数据得到有效的投资组合 集，再根据自己的投资偏好，在有效解集里选择一个满意点，依据该点计算出的投资各证券 的权重实施投资。
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图 1 20 支股票投资组合双目标优化结果
为收益率的协方差矩阵。
Ri (t) = lnS i (t + t) - lnS i (t)
E( R )
2
(1) (2) (3)
RT W W
WT
2.1 双目标投资组合优化模型
均值-方差双目标投资组合优化问题可以表述为： max min s.t.
E( R )
2
RTW W 1
W0
(4) (5) (6) (7)
《计算机工程与应用》
规定区域上的最优化问题就是多目标优化问题。 它本质上是一种均衡或平衡的概念。 由于指 标之间通常是相互矛盾的，因此，如何协调这些矛盾，兼顾各个指标，选出最满意的方案， 是人们经常遇到的问题。 所以， 多目标优化问题总是以牺牲一部分目标的利益来换取另一些 目标利益的改善。 本文利用收益、 方差及资产数目来建立三个目标的投资组合优化模型。 两目标投资组合 优化问题是在有效前沿中找最优解， 而在三目标的投资组合优化问题中， 最优解就是在三维 空间的有效界面上了。 多目标优化问题的精确有效界面的寻找是非常困难的， 特别是当至少 有一个目标具有离散或非平滑特征时。因此，本文采用 NSGA-II 遗传算法对三目标投资组 合优化模型进行求解。
2
∀y #& ∀x #,m∀y #& m∀x #。
2
2.3 带精英策略的非支配排序的遗传算法(NSGA-II) 遗传算法(GA)是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机搜索算法。其特点是 直接对结构对象进行操作， 不存在求导和函数连续性的限定； 具有内在的隐并行性和更好的 全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整 搜索方向，不需要确定的规则。它包括 1)参数编码；2)产生初始种群；3)设计适应度函数； 4)优化准则；5)选择操作；6)交叉操作；7)变异操作等求解步骤。在此基础上，通过采用不 同的遗传基因表达方式，选择不同的交叉和变异算子，引入特殊算子，以及不同的再生和选 择方法，产生了以基本遗传算法为核心的各种算法。其中，又以解决多目标优化问题的遗传 算法发展最为迅速。非支配排序遗传算法(NSGA)就是在此基础上发展起来的，且已被广泛 的应用。NSGA 与简单遗传算法的主要区别在于 NSGA 在选择算子执行之前根据个体的支 配关系进行了分层。这种非支配分层方法，可以使好的个体有更大的机会遗传到下一代。适 应度共享策略使得准 Pareto 面上的个体均匀分布，保持了群体多样性，克服了超级个体的 过度繁殖，防止了早熟收敛。NSGA 在许多问题上得到了应用，但仍存在一些问题：1)计算 复杂度较高，为 O( mN 3 ) (m 为目标函数个数，N 为种群大小)，所以当种群较大时，计算相 当耗时；2)没有精英策略；3)需要指定共享半径
min E( R )
2
R T W W0 W 1w j ∃0
(8) (9) (10) (11) (12)
WT
n
min m( x )
i 1
s.t.
P T W W0
1
w j ! 0 , j 1,2 , , n
该模型是在双目标优化问题的基础上，增加了投资组合中资产数目最小化的附加目标， 采用二进制变量，当在投资组合中持有该资产时等于 1，否则为 0。投资组合 y 优于投资组 合 x，当 E ∀y #! E ∀x #,
网络出版时间：2012-01-16 09:27 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120116.0927.039.html
《计算机工程与应用》
基于多目标优化的投资组合分析
孙雪莲 SUN Xuelian 天津大学 管理学院，天津 300072 School of management, Tianjin University, Tianjin, 300072, China
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引言
投资组合理论是由美国经济学家 Markowitz[1,2]在 1952 年首次提出，该理论包含两个重
要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，Markowitz 投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并被广泛的应用于组合选择和资产配置。 作为现代证券组合管理理论的开端，Marko百度文库itz 对风险和收益进行了量化，建立的是均值方 差模型， 提出了确定最佳资产组合的基本模型。 由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩 阵，严重制约了其在实践中的应用。传统的投资组合思想认为“ 不要把所有的鸡蛋都放在一 个篮子里”，否则“ 倾巢无完卵”，组合中资产数量越多，分散的风险就越大。现代投资组合 思想认为，组合的风险与组合中资产的收益之间的关系有关。在一定条件下，存在一组使得 组合风险最小的投资比例；随着组合中资产种数增加，组合的风险下降，但是组合管理的成 本提高；当组合中资产的种数达到一定数量后，风险无法继续下降。最近，研究者们发现， 在投资组合选择模型中加入偏度或峰度等附加准则其效果并不明显[3-5]。对投资者来说，高 收益伴随着高风险， 分散投资可以降低风险， 但过于庞大的资产数目也为资产管理带来很大 的困难，因此，对理性的投资者来说，除了关注资产组合的收益和风险外，资产组合中资产 的数量也是其关注的方面，在一定的收益和风险水平下，资产的数目越少越容易管理。 由于人们通常希望投入的资金量小， 收益最大且风险最小， 这种多于一个的数值目标在
摘要：对理性的投资者而言，除了关注投资收益和风险外，资产组合中数目的多少也是其关注的重要方面。 在一定的收益和风险水平下，资产的数目越少越容易管理。本文利用 NSGA-II 算法对 Markowitz 的扩展模 型进行多目标优化，并通过实证分析进行验证。由分析结果可知，在一定的收益和风险水平下，资产组合 中的数目是可以降低的，对投资者来说可以大大降低其资产组合的管理成本。 关键词：投资组合；多目标优化；遗传算法 文献标识码：A 中图分类号：F830.91
Analysis of portfolio based on multi-objective optimization
Abstract: To the rational investors, besides attention asset return and risk, the assets number of the portfolio is also an important aspect of their concerns. In certain return and risk level, the number of assets under fewer is easier to manage. This paper optimizes the Markowitz extension multi-objective optimization model using the NSGA-II algorithm and verifies the result though empirical analysis. The analysis result is that the assets number of the portfolio can reduce in certain return and risk levels, and it can greatly reduce the portfolio management cost for the investors. Key words: portfolio; multi-objective optimization; genetic algorithm
图 2 三种投资组合双目标优化结
图 3 20 支股票投资组合三目标优化结果
图 4 40 支股票投资组合三目标优化结果
图 5 60 支股票投资组合三目标优化结果
图 6 80 支股票投资组合三目标优化结果
《计算机工程与应用》
不论对机构或个人， 管理庞大的投资组合都是很困难的， 如何确定最优的组合规模更是 其管理工作的重点。本文选取上证 A 股的 20、40、60 和 80 种股票进行组合投资，以始于 2004-01-06 的 50 组周收益率作为实际收益率。假定银行存款利率为 0.36%。用 NSGA-II 算 法对上述两个模型进行计算，双目标投资组合优化结果见图 1 和图 2。 图 1 为 20 支股票的投资组合的双目标优化结果，从结果来看，当收益大时，其相应的 风险也很大。 图 2 分别为 40、 60 及 80 支股票的投资组合双目标优化结果， 从图中可以看到， 随着组合中资产数目的增加，风险是降低的。比较图 1 和图 2，可以看出随着资产数目的增 加，投资风险随之降低，尤其是资产数目为 20 支与 40 支之间时，其投资风险降低的幅度较 大，但大于 40 支股票的投资组合随着资产的增加，其风险降低的幅度不太大，这也印证了 当组合中资产的种数达到一定数量后，风险无法继续下降的观点。 图 3 为 20 支股票投资组合的三目标优化结果， 从图中可以看出原本 20 支股票的资产组 合，可以由 6、7 支股票，甚至 3、4 支股票的资产组合来代替。同样的，图 4 和图 5 的 40 支和 60 支股票的优化结果也可看出，至少可以减少一般的资产数量，就可达到其原来 40 支和 60 支股票投资组合的投资效果。 图 6 是 80 支股票优化结果。 从图中可以清晰的看到资 产的数目甚至可以减少三分之二。从优化结果可以得出结论：在一定的收益和风险水平下， 可以通过该模型对投资者所选的证券进行筛选， 从而减少组合中资产的数量。 投资者在进行 资产配置前，都要根据自身对收益和风险的喜好，确定适合自己的资产，利用上述三目标投 资组合优化模型可以对投资者在资产品种和投资数量的选择方面起到一定的指导作用， 从而 降低投资者对组合资产的管理难度。 而且投资者还可以利用该模型定期的检查自己的投资组 合，进行主动性调整。
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。本文采用的带精英策略的非支配排序
遗传算法(NSGA-II)是 NSGA 的改进算法， 针对 NSGA 存在的缺陷通过以下三方面进行了改 进：1)提出了快速非支配排序法，降低了算法的计算复杂度；2)提出了拥挤度和拥挤度比较 算子；3)引入精英策略，扩大采样空间。
《计算机工程与应用》
本文采用 NSGA-II 遗传算法，Matlab R2010a 软件对上述两个优化模型进行求解，参数 设定为种群数 100；进化代数 500；变异概率 0.2；交叉概率 0.9。
0 时，表明投资者的组合投资完全是风险证券组合。
j
wj
1 ，且 w j ! 0 ，即不允许卖空。一个成熟的证
券市场是既可以卖空，也可以买空的，当模型中的 w j % 0 时，即表示卖空。 2.2 三目标投资组合优化模型 继 Markowitz 的均值－方差模型之后，出现了大量的扩展模型，大体包括三个方面：(1) 简化模型的形式(2)引入度量风险的替代量(3)加入附加准则或限制变量。 如 Tobin[6]提出的“ 二
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多目标投资组合优化
对于给定一个包含 N 个资产的投资组合，假设第 i 个资产在 t 时的价格为 S i (t) ，那么资
产 i 的收益可用式(1)描述，期望收益则可表达为式(2)，其中： R 为收益率矩阵； W 为各项 资产的投资权重， W 其中
( w1 , w2 , wn )T ，且其和为 1。风险可用其方差描述，如式(3)所示，