多目标优化设计方法.ppt
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最优化之多目标规划
三、模型的建立与分析
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即
max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即
pixi
交易费 =
xi>ui xi≤ui
piui
而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(ri-pi)xi
max i i
i 1 k
i ( x1 , x2 , xn ) gi ( i 1,2,, m)
式中， i 应满足： 向量形式：
i 1
i 1
k
max T
s.t . ( X ) G
方法二 罚款模型（理想点法）
思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）；
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效
一、问题提出 市场上有 n 种资产 s i （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一 个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 ri ，风险损失率为 qi ， 投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。
pi )，当购买额不超过给定值 u i 时，交易费按购买 u i 计算。另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。 r0 =5%） （
多目标多学科优化设计
常见算法
常见的多目标优化算法包括非支配排序遗传算法、Pareto最 优解法、权重法等。这些算法在解决实际多目标优化问题中 具有广泛的应用价值。
03 多学科优化设计理论
学科交叉的重要性
01
创新性
学科交叉有助于打破传统学科界 限，激发新的思维方式和研究方 法，促进创新。
综合性
02
03
高效性
多学科优化设计能够综合考虑多 个学科的知识和原理，提高设计 的综合性能和整体效果。
船舶结构多目标多学科优化设计
总结词
船舶结构多目标多学科优化设计是提高船舶 结构强度、耐久性和降低建造成本的有效途 径。
详细描述
船舶结构多目标多学科优化设计涉及结构力 学、流体力学、船舶工程等多个学科领域， 旨在实现船舶结构、航行性能和建造工艺的 综合优化。通过多目标优化算法，可以找到 满足多个性能指标的优化设计方案，提高船 舶的结构强度、耐久性和经济性。
探讨多目标多学科优化设计在各个领 域的具体应用，深入挖掘其潜力和价 值，为相关领域的发展提供更多支持。
开展多目标多学科优化设计在实际工 程中的应用研究，提高其在实际问题 中的解决能力和实用性，为工程实践 提供更多帮助和支持。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
学科交叉的实践方法
1 2
建立跨学科团队
组织来自不同学科的专家和学者，共同开展研究 和设计工作。
制定统一的设计目标和评价标准
在多学科交叉设计中，需要制定明确、统一的设 计目标和评价标准，以便各学科协同工作。
3
加强沟通和协调
在多学科交叉设计中，各学科之间的沟通和协调 至关重要，应定期组织交流会议和讨论活动，促 进信息共享和知识交流。
常见的多目标优化算法包括非支配排序遗传算法、Pareto最 优解法、权重法等。这些算法在解决实际多目标优化问题中 具有广泛的应用价值。
03 多学科优化设计理论
学科交叉的重要性
01
创新性
学科交叉有助于打破传统学科界 限，激发新的思维方式和研究方 法，促进创新。
综合性
02
03
高效性
多学科优化设计能够综合考虑多 个学科的知识和原理，提高设计 的综合性能和整体效果。
船舶结构多目标多学科优化设计
总结词
船舶结构多目标多学科优化设计是提高船舶 结构强度、耐久性和降低建造成本的有效途 径。
详细描述
船舶结构多目标多学科优化设计涉及结构力 学、流体力学、船舶工程等多个学科领域， 旨在实现船舶结构、航行性能和建造工艺的 综合优化。通过多目标优化算法，可以找到 满足多个性能指标的优化设计方案，提高船 舶的结构强度、耐久性和经济性。
探讨多目标多学科优化设计在各个领 域的具体应用，深入挖掘其潜力和价 值，为相关领域的发展提供更多支持。
开展多目标多学科优化设计在实际工 程中的应用研究，提高其在实际问题 中的解决能力和实用性，为工程实践 提供更多帮助和支持。
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学科交叉的实践方法
1 2
建立跨学科团队
组织来自不同学科的专家和学者，共同开展研究 和设计工作。
制定统一的设计目标和评价标准
在多学科交叉设计中，需要制定明确、统一的设 计目标和评价标准，以便各学科协同工作。
3
加强沟通和协调
在多学科交叉设计中，各学科之间的沟通和协调 至关重要，应定期组织交流会议和讨论活动，促 进信息共享和知识交流。
多目标优化设计方法
多目标优化设计方法多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）是指在考虑多个冲突目标的情况下，通过寻求一组最优解，并找到它们之间的权衡点来解决问题。
多目标优化设计方法是指为了解决多目标优化问题而采取的具体方法和策略。
本文将介绍几种常见的多目标优化设计方法。
1.加权和方法加权和方法是最简单直观的多目标优化设计方法之一、其基本思想是将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
具体来说，给定目标函数集合f(x)={f1(x),f2(x),...,fn(x)}和权重向量w={w1,w2,...,wn}，多目标优化问题可以表示为：minimize Σ(wi * fi(x))其中，wi表示各个目标函数的权重，fi(x)表示第i个目标函数的值。
通过调整权重向量w的取值可以改变优化问题的偏好方向，从而得到不同的最优解。
2. Pareto最优解法Pareto最优解法是一种基于Pareto最优原理的多目标优化设计方法。
Pareto最优解指的是在多个目标函数下，不存在一种改进解使得所有目标函数都得到改进。
换句话说，一个解x是Pareto最优解，当且仅当它不被其他解严格支配。
基于Pareto最优原理，可以通过比较各个解之间的支配关系，找到Pareto最优解集合。
3.遗传算法遗传算法是一种模仿自然界中遗传机制的优化算法。
在多目标优化问题中，遗传算法能够通过遗传操作（如选择、交叉和变异）进行，寻找较优的解集合。
遗传算法的基本流程包括：初始化种群、评估种群、选择操作、交叉操作、变异操作和更新种群。
通过不断迭代，遗传算法可以逐渐收敛到Pareto最优解。
4.支持向量机支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习方法。
在多目标优化问题中，SVM可以通过构建一个多目标分类模型，将多个目标函数转化为二进制分类问题。
具体来说，可以将目标函数的取值分为正例和负例，然后使用SVM算法进行分类训练，得到一个最优的分类器。
多目标优化设计方法讲解
多目标优化设计方法讲解多目标优化是指在一个优化问题中存在多个目标函数需要同时优化的情况。
多目标优化问题在实际应用中非常常见，例如在工程设计、金融投资和运筹学中等等。
与单目标优化问题不同的是，多目标优化问题需要找到一组解，满足所有目标函数的最优性要求。
本文将介绍多目标优化的相关概念和设计方法。
1.目标函数的定义方法：对于每个目标函数，我们需要明确定义其数学形式。
目标函数一般是一个关于决策变量的函数，用于衡量解的质量。
这些目标函数可以是线性的、非线性的、连续的或离散的。
2. Pareto优化：在多目标优化问题中，我们通常使用Pareto优化来解决。
Pareto优化是一种基于Pareto支配的解集划分方法。
Pareto支配是指解集中的解在至少一个目标上比另一个解更好，且在其它目标上至少一样好。
解集中不被任何其它解所支配的解被称为Pareto最优解。
Pareto最优解形成了一个称为Pareto前沿的非支配集合。
3. Pareto优化算法：常见的Pareto优化算法包括遗传算法（GA）、模拟退火算法（SA）、粒子群优化算法（PSO）和多目标蚁群算法等。
这些算法基于不同的策略和参数设置，通过多次迭代找到Pareto最优解。
4.解集的评价和选择：找到Pareto最优解后，需要根据具体应用的要求进行解集的评价和选择。
一种常见的方法是使用其中一种距离度量方法，如欧氏距离或海明顿距离，来度量解集中各个解之间的相似度。
另一种方法是基于问题的特定要求进行解集的选择。
5.偏好权重方法：在实际应用中，不同的目标函数可能具有不同的权重。
偏好权重方法可以对不同目标函数赋予不同的权重，从而根据具体需求得到更合理的解集。
常见的偏好权重方法有加权和法、电报求和法和最大化方法等。
6.可行性约束：在多目标优化问题中，可能存在一些约束条件，如可行性约束和偏好约束。
可行性约束是指解集中的解必须满足一些约束条件。
在算法设计中，需要考虑如何有效地处理这些约束，以充分利用已有信息，降低空间。
《多目标规划》PPT课件
2021/4/24
16
多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
2021/4/24
Re* a,b
O
ab
x
O a cd b x
13
a
b
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
2021/4/24
6
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
多目标优化设计方法
还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求： X [x1, x2,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
即：
minF (X ) minF ( f1(X ), f2(X ),..., fl (X ))
X D
X D
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
L
min f ( X ) i fi ( X ) i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
注意：
1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。
2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
7.4 功效系数法（续）
二、评价函数 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数
f ( X ) L d1d2 dL
f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差； 0 f (X ) 1
f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案 f(X)=0时，表示此设计方案不能接受
该评价函数不会使某一个目标最不满意——功效 系数法的特点
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求： X [x1, x2,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
即：
minF (X ) minF ( f1(X ), f2(X ),..., fl (X ))
X D
X D
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
L
min f ( X ) i fi ( X ) i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
注意：
1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。
2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
7.4 功效系数法（续）
二、评价函数 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数
f ( X ) L d1d2 dL
f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差； 0 f (X ) 1
f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案 f(X)=0时，表示此设计方案不能接受
该评价函数不会使某一个目标最不满意——功效 系数法的特点
机械优化设计PPT
二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤
表7-3 离散变量优化的主要方法及其特点和步骤
图7-8 两个目标函数的等值线和约束边界
三、协调曲线法
图7-9 协调曲线
四、分层序列法及宽容分层序列法
四、分层序列法及宽容分层序列法
采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程 无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时， 则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义 了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至 第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数 考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则 更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这 种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函 数的最优值取给定的宽容量，即ε1>0，ε2>0，…。这样，在求后一 个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内， 而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避 免了计算过程的中断。
5.组合型算法终止准则
6.组合型算法的辅助功能
(1) 直线加速与二次曲线加速 当目标函数严重非线性时，即若
函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进 行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速 能力。 (2) 网格搜索法技术 将离散空间视为一网格空间，每个离散点 就是一个网格节点。 (3) 变量分解策略 将目标函数中的变量分成若干个子集合，若
离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算
的优化点重合，算法才最终结束。
6.组合型算法的辅助功能
图7-24 有脊线目标函数 寻优过程示意图
第十章 多目标优化方法简介
q * 2
hv ( X ) 0(v 1, 2, , p)
求解上述问题得到的设计方案既考虑了目标函 数的重要性，又最接近完全最优解，因此，它是原
多目标优化问题的一个更加理想、更加切合实际的
相对最优解。
（3）功效系数法
每个分目标函数 f k ( X ) 都可以用一个对应的功效系
数 k (0 k 1)来表示该项设计指标的好坏，规定：
分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法的基本思想是将多目标优化问 题式中的J个目标函数分清主次，按其重要程度 逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解。 不过后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻 优。
现在假设f1(x)最重要，f2 (x)其次，f3 (x)再其次，…。 首先对第一个目标函数f1(x)求解，得最优值
D ( k ) x f i min x f i x f i max x
xD
min f k x (k )
统一目标法
统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标 优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综 合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然 后用前述的单目标函数优化方法求解。
（1）加权组合法
加权组合法又称为线性加权法或加权因子法。
即在将各个分目标函数组合为总的“统一目标函数”
的过程中，引入加权因子，以平衡各指标及各分目
标间的相对重要性以及他们在量纲和量级上的差异，
因此，原目标函数可写为：
min f X wk f k X
k 1 q
s.t.
gu ( X ) 0(u 1,2, , m)
多目标优化问题概述
实际的工程设计和产品设计问题通常有多个设
计目标，或者说有多个评判设计方案优劣的标准。
hv ( X ) 0(v 1, 2, , p)
求解上述问题得到的设计方案既考虑了目标函 数的重要性，又最接近完全最优解，因此，它是原
多目标优化问题的一个更加理想、更加切合实际的
相对最优解。
（3）功效系数法
每个分目标函数 f k ( X ) 都可以用一个对应的功效系
数 k (0 k 1)来表示该项设计指标的好坏，规定：
分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法的基本思想是将多目标优化问 题式中的J个目标函数分清主次，按其重要程度 逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解。 不过后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻 优。
现在假设f1(x)最重要，f2 (x)其次，f3 (x)再其次，…。 首先对第一个目标函数f1(x)求解，得最优值
D ( k ) x f i min x f i x f i max x
xD
min f k x (k )
统一目标法
统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标 优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综 合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然 后用前述的单目标函数优化方法求解。
（1）加权组合法
加权组合法又称为线性加权法或加权因子法。
即在将各个分目标函数组合为总的“统一目标函数”
的过程中，引入加权因子，以平衡各指标及各分目
标间的相对重要性以及他们在量纲和量级上的差异，
因此，原目标函数可写为：
min f X wk f k X
k 1 q
s.t.
gu ( X ) 0(u 1,2, , m)
多目标优化问题概述
实际的工程设计和产品设计问题通常有多个设
计目标，或者说有多个评判设计方案优劣的标准。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
多目标优化
求解算法 转化为单目标 实例1：投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作 一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评 估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率，并预测出购 买Si的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小，公 司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所 投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率已知，并且当购买额不超过最低限 额时，交易费按购买最低限额计算（不买当然无须付费）。 另外，假定同期银行存款年利率是1%, 且既无交易费又无风 险。试给该公司设计一种投资组合方案 目标一：使净收益尽可能大； 目标二：而总体风险尽可能小。
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际 情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问 题。
转化单目标法
2. 线性加权和法：按照m个目标 fi (x) 的重要 程度，分别乘以一组权系数，然后相加作 为目标函数。
+
约定如下： •当实际值超过目标值时，有 d − = 0, d + > 0; •当实际值未达到目标值时，有 d + = 0, d − > 0; •当实际值与目标值一致时，有 d − = 0, d + = 0.
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解生产安排问题中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
机械结构的多目标优化设计方法
机械结构的多目标优化设计方法机械结构的多目标优化设计方法：在机械工程领域，设计出既能满足性能要求又能尽可能减小成本和资源消耗的机械结构是一项重要的任务。
在实际设计过程中，通常会涉及到多个相互矛盾的设计目标，如减小重量、提高强度、减小成本等。
因此，多目标优化设计方法在机械结构设计中具有重要的意义。
多目标优化设计方法的核心是找到一种平衡不同设计目标之间的权衡关系，使得设计方案能够在各个目标之间取得最优的折中。
在机械结构的多目标优化设计过程中，通常会采用以下几种常见的优化方法：1. 多目标遗传算法（MOGA）：多目标遗传算法是一种通过模拟进化过程来搜索最优解的优化方法。
它通过维护一个种群，在每一代中根据个体的适应度对种群进行选择、交叉和变异等操作，最终得到一个能够同时满足多个目标要求的设计方案。
2. 多目标粒子群优化算法（MOPSO）：多目标粒子群优化算法是基于群体智能的优化方法，它模拟了鸟群觅食的行为，通过不断调整粒子的位置和速度来搜索最优解。
MOPSO算法能够在多个设计目标之间找到一种平衡，快速收敛到帕累托前沿。
3. 多目标模拟退火算法（MOSA）：多目标模拟退火算法是一种基于模拟退火原理的优化方法，通过不断接受较差解以避免陷入局部最优解，并逐步降低温度来搜索全局最优解。
MOSA算法在多目标优化设计中具有较好的收敛性和鲁棒性。
4. 多目标遗传规划算法（MOGP）：多目标遗传规划算法是一种结合了遗传算法和规划算法的新型优化方法，它能够在多个设计变量和目标函数之间进行有效的优化，并生成满足多目标设计要求的解。
MOGP算法在处理复杂的多目标优化设计问题时表现出色。
综上所述，机械结构的多目标优化设计方法是一门研究如何在多个相互矛盾的设计目标下找到最优设计方案的学科。
不同的优化算法在处理多目标优化设计问题时具有各自的特点和适用范围，设计人员可以根据具体的需求和情况选择合适的方法来实现设计目标的最优化。
通过合理应用多目标优化设计方法，可以提高机械结构设计的效率和性能，实现设计的优化和提升。
多目标优化方法讲义(PPT64张)
决策空间 可行域
目标空间 可行域
示例2
m i n( F X ) f ( Xf ) ,2 ( X ) 1
T
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x ( ) 2 1 4 4 4 4 4 4 3 E Dx Dx Dx 2 2 61 2 1 2 9.78 10 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2
4
2 1 2
2 2
1
2 1
2 2
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x (4 4 4 4 ) 4 4 2 1 3 E Dx Dx Dx 2 2 1 2 1 2
9.78 106 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2 g2 ( X ) 75.2 x2 0 g3 ( X ) x2 40 0 g4 ( X ) x1 0
(1) (1) (1)
(1)
( 2)
, fm ( X )
(1) (2)
T
F(X
(2)
) f1 ( X
(2)
), f2 ( X
(2)
),
, fm ( X ) , m) X (2)
T
若对于每一个分量，都有 fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1)
向量不等式的含义为
p p f ( X ) f ( X ) j 1 , 2 , , m , 但 至 少 有 一 个 f ( X ) f ( X ) j j l l
决策空间 非劣解集
第7章 多目标优化和离散变量优化概述
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法
1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
优化设计方法ppt
其他优化方法
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟 鸟群、鱼群等自然现象的群体行为来寻找最优解。
人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型， 通过训练来逼近某个映射函数或分类器。
03
优化设计的实际应用
建筑设计的优化
总结词
提高功能性、美观性和经济性
优化设计方法ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 优化设计的基本方法 • 优化设计的实际应用 • 优化设计的新发展 • 优化设计的实践技巧
01
引言
什么是优化设计
优化设计是一种通过合理选择和调整设计方案参数，在给定 的一组约束条件下，使设计性能指标达到最优化的方法。
优化设计旨在找到一个或多个最优解，使设计在满足各种约 束条件的同时，最大化或最小化某一特定的设计性能指标。
迭代次数设置
合理设置迭代次数，避免 因迭代次数过多或过少导 致收敛效果不佳。
收敛条件设置
合理设置收敛条件，以便 在满足条件时实现算法收 敛。
初始化参数设置
合理设置初始化参数，避 免算法过早收敛或无法收 敛。
如何避免优化过程中的局部最优解
随机初始化
通过随机初始化参数，避 免算法在初始阶段就陷入 局部最优解。
适应性。
自适应选择
自适应选择是根据问题的特征和 性质，自适应地选择不同的算法 或策略，以获得更好的性能和适 应性。
自适应学习
自适应学习是通过学习历史经验和 数据，自适应地调整算法参数和策 略，以适应不同的情况和问题，提 高算法的效率和精度。
05
优化设计的实践技巧
如何选择合适的优化方法
根据问题特性选择
多目标优化
在许多实际设计中，一个设计方案又企望有几项设计指 标同时都达到最优值，这种在优化设计中同时要求两项极其 以上设计指标达到最优值得问题，成为多目标优化设计，目 标函数称为多目标函数。
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
m F ( x ) f 1 i ( x ) n f 2 ( x ) f m ( x ) T
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变
量，；l2是又l1与l2a的0函2l1 数c，o 故0ls 2也
为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
x l1 0 T x 1x 2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j*优目m x标Di函fnj(数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
m F ( x ) f 1 i ( x ) n f 2 ( x ) f m ( x ) T
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变
量，；l2是又l1与l2a的0函2l1 数c，o 故0ls 2也
为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
x l1 0 T x 1x 2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j*优目m x标Di函fnj(数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
《多目标优化》课件
多目标优化算法分类
01
基于排序的方法
通过将多目标问题转化为单目标问题，寻求一个排序方案，以解决多目
标优化问题。常见的算法包括非支配排序遗传算法（NSGA-II）和快速
非支配排序遗传算法（FAST-NSGA-II）等。
02
基于分解的方法
将多目标问题分解为多个单目标子问题，分别求解子问题，再通过聚合
子问题的解得到原问题的解。常见的算法包括优先级规则法、权重和法
降温系数
降温系数决定了算法的降温速度，较 大的降温系数可能导致算法早熟，而 较小的降温系数则可能导致算法收敛 速度慢。
随机游走策略
随机游走策略决定了新解的产生方式 ，对于多目标优化问题，需要采用合 适的Pareto占优关系和支配关系来指 导新解的产生。
05
多目标优化应用案例
案例一：电力系统的多目标优化
多目标优化
同时考虑多个目标函数，寻求在各目标之间取得 平衡的最优解。
算法流程
非支配排序
对种群中的个体进行非支配排 序，形成一系列的层级。
交叉和变异操作
通过交叉和变异产生新的个体 ，丰富种群的多样性。
初始化种群
随机生成一定数量的初始解作 为种群。
选择操作
根据个体的非支配层级和拥挤 度等信息，选择优秀的个体进 行交叉和变异操作。
等。
03
基于群智能的方法
利用群智能算法的并行性和全局搜索能力，寻找多目标优化问题的满意
解集。常见的算法包括粒子群优化算法、蚁群优化算法等。
02
非支配排序遗传算法（NSGA-II）
算法原理
遗传算法
基于生物进化原理，通过选择、交叉、变异等操 作，不断优化解的适应度。
非支配排序
优化设计方法
详细描述
粒子群优化算法将问题的每个解看作一个粒子，粒子在解空间中飞行，通过更新粒子的速度和位置来搜索最优 解。每个粒子都会记录自身的历史最优位置和群体的历史最优位置，并以此为依据来更新自己的速度和位置。 该算法具有寻优速度快、全局搜索能力强等优点。
04
多目标优化方法
多目标优化问题的定义与特点
01
案例四：生产工艺流程优化设计
总结词
在生产工艺流程优化设计中，采用模拟仿真、神经网络 等优化算法，可以有效地提高生产效率和质量。
详细描述
在生产工艺流程优化设计中，通常需要考虑生产效率、 产品质量、生产成本等因素。通过采用优化算法，可以 对多个设计方案进行评估和比较，从而找到最优的设计 方案。例如，可以采用模拟仿真算法对多种加工工艺进 行模拟和比较，或者采用神经网络算法对多种控制策略 进行优化调整。
要点二
深入研究复杂系统优 化设计方法，解…
针对现有研究存在的局限性，未来可 以加强复杂系统优化设计方法的深入 研究。通过引入先进的数学理论和分 析方法，可以建立更为精确和有效的 复杂系统优化设计模型，为解决现实 世界中的复杂问题提供支持。
要点三
加强实证研究，验证 优化设计方法的…
为了克服现有研究的不足，未来可以 加强实证研究，通过实际案例的验证 来证明优化设计方法的有效性。这不 仅可以增强人们对优化设计方法的信 任度，还可以为方法的进一步改进和 完善提供实践经验。
遗传算法
受生物进化启发的优化算法，通过 模拟基因选择、交叉、变异等过程 ，寻找到满足优化目标的解。
模拟仿真法
通过建立物理模型或数学模型，模 拟系统的行为和性能，以评估和优 化设计方案。
强化学习算法
通过让算法与环境互动并学习，不 断优化决策策略，达到寻找到最优 解的目的。
粒子群优化算法将问题的每个解看作一个粒子，粒子在解空间中飞行，通过更新粒子的速度和位置来搜索最优 解。每个粒子都会记录自身的历史最优位置和群体的历史最优位置，并以此为依据来更新自己的速度和位置。 该算法具有寻优速度快、全局搜索能力强等优点。
04
多目标优化方法
多目标优化问题的定义与特点
01
案例四：生产工艺流程优化设计
总结词
在生产工艺流程优化设计中，采用模拟仿真、神经网络 等优化算法，可以有效地提高生产效率和质量。
详细描述
在生产工艺流程优化设计中，通常需要考虑生产效率、 产品质量、生产成本等因素。通过采用优化算法，可以 对多个设计方案进行评估和比较，从而找到最优的设计 方案。例如，可以采用模拟仿真算法对多种加工工艺进 行模拟和比较，或者采用神经网络算法对多种控制策略 进行优化调整。
要点二
深入研究复杂系统优 化设计方法，解…
针对现有研究存在的局限性，未来可 以加强复杂系统优化设计方法的深入 研究。通过引入先进的数学理论和分 析方法，可以建立更为精确和有效的 复杂系统优化设计模型，为解决现实 世界中的复杂问题提供支持。
要点三
加强实证研究，验证 优化设计方法的…
为了克服现有研究的不足，未来可以 加强实证研究，通过实际案例的验证 来证明优化设计方法的有效性。这不 仅可以增强人们对优化设计方法的信 任度，还可以为方法的进一步改进和 完善提供实践经验。
遗传算法
受生物进化启发的优化算法，通过 模拟基因选择、交叉、变异等过程 ，寻找到满足优化目标的解。
模拟仿真法
通过建立物理模型或数学模型，模 拟系统的行为和性能，以评估和优 化设计方案。
强化学习算法
通过让算法与环境互动并学习，不 断优化决策策略，达到寻找到最优 解的目的。
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7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数 i 构造评价函数。
评价函数：
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f ( X ) i [ fi ( X ) fi * ]2
i 1 L
s.t.
2
这时权数可取为：i 1 fi ( X ) , i 1, 2,..., L 目的：在评价函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
（3）加权因子分解法
i 2i (i 1, 2,..., L)
* 1i
* 1i
本征权因子，反应第 i 个目标的相对重 要程度。 校正权因子，用于调整各目标在量级 方面差异的影响。
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f 2 ( X ) s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k ) ft ( X ) f t 0 (t 1, 2,..., L)
ft 0 (t 1, 2,..., L) ——原问题第t个目标函数的上限值。
1 d i ( f i ( X )) 0 f i ( X ) f i (2) fi ( X ) fi
(1)
(i S 1,..., L)
则可得功效函数为
fi ( X ) fi (1) di ( fi ( X )) (2) fi fi (1) (i S 1,..., L)
f ( X ) L d1d 2 d L
f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差； 0 f ( X ) 1 f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案
f(X)=0时，表示此设计方案不能接受
该评价函数不会使某一个目标最不满意 ——功效 系数法的特点
三、功效函数的确定
(a)目标函数 越大越好
(2)
(i 1, 2,..., S )
则可得线性功效函数为
fi (2) fi ( X ) di ( fi ( X )) (2) f i f i (1) (i 1, 2,..., S )
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续）
3、对于后面L-S个要求极大化的子目标函数fi(X)，若 规定对应的功效函数满足
每个子目标都用一个功效函数di表示
di di ( fi ( X )) (i 1, 2,..., L)
——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
二、评价函数 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数
fi (1) min fi ( X ) X D (2) fi max fi ( X ) X D (i 1, 2,..., L)
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续）
2、对于前S个要求极小化的子目标函数fi(X)，若规定 对应的功效函数满足
1 di ( f i ( X )) 0 f i ( X ) f i (1) fi ( X ) fi
权因子的确定方法： 在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
fi ' ( X ) fi ( X ) min fi ' ( X )
X D
fi ' ( X ) 是多目标问题中某个带量纲的子目标；
fi ( X ) 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
(1) 专家评判法（老手法）
7.4 功效系数法 基本思想： 先按各子目标值的“优”或“劣”（即“功 效”）分别求出与其对应的功效函数，然后再由 各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。 目的是将多目标优化问题转化为单目标 优化问题
7.4 功效系数法 一、功效系数 极小值 多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值
一个合适的数值
3、弱有效解（弱非劣解） 设 X * D 若不存在 X D ,使
fi ( X ) fi ( X *)(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的弱非劣解或弱有 效解。
* D 所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集,用 wp 表示。
三者之间关系：
* * Dab D* D pa wp D
即评价函数为： f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )
——各子目标函数
L
1 , 2 ,..., L ——权数
i 应满足归一性和非负性条件
i 1
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)
X D X D 1 2 l
D为可行域，f1(X)， f2(X)， …， fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
(b)目标函数 越小越好
(c) 目 标 函 数 过 大过小都不好
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续） 对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多
目标优化问题，若有S个子目标函数为目标对应的功
效函数的求法：
1、在可行域D中求出各子目标函数的最小值和最大值
机械加工成本最低；
生产率最高； 刀具寿命最长。 还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多
目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求：
X [ x1 , x2 ,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量 向量形式的目标函数 设计变量应满足的所 有约束条件
优化的数学模型为 X ( x1 , x2 ,..., xn )T
min f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
注意： 1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。 2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
7.4 功效系数法（续）
三、功效函数的确定（续） 4、对于L个子目标函数对应的功效函数为
fi (2) fi ( X ) (2) (1) fi fi di ( fi ( X )) (1) fi ( X ) fi (2) (1) fi fi (i 1, 2,..., S ) (i S 1,..., L)
7.2 统一目标函数法（综合目标法） 一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X) 统一到一个新构成的总的目标函数
f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统 — 目标函数的单目标问题来求解． 即：
minF ( X ) min F ( f ( X ), f ( X ),..., f ( X ))
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法 若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi ( X ) i , i 1, 2,..., L
则称
fi ( X )
i i
2
(i 1, 2,..., L)
为该目标函数的容限
宿松百姓论坛
7.1
概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例：
物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求：
各齿轮体积总和 f1 ( X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和
f 2 ( X ) 尽可能小
2i
2i 1 fi ( X ) , (i 1, 2,..., L)
目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。
2
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 2、理想点法 基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。 步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造评价函数。 评价函数：
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续)
2、解法： 直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题 间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
min F ( X ) [ f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k )
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解
设 X * D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
i 满足归一性和非负性条件
i 1
L
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)