数据结构 (C语言版)课件：第7章_图
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非简单图
2020/9/30
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 无向图和有向图
● 无向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边无方向，则称这条边为无向边， 用无序偶对 (vi, vj) 表示，称该图为无向图。
● 有向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边有方向，则称这条边为有向边， 用有序偶对 <vi, vj> 表示，称该图为有向图。
无论有向图还是无向图，顶点数 n、边 数 e 和度数之间满足：
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 权和网
● 权：权通常是指对图中边赋予的有意义的数值量。在实际应用中，权 可以有具体的含义。
● 网：如果将图中的每条边上都赋上一个权值，则称这种图为网，或称 为有权图 。
2020/9/30
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 稀疏图和稠密图
● 稀疏图：边数很少的图称为稀疏图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e＜nlogn。
● 稠密图：边数很多的图称为稠密图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e≥nlogn。
2020/9/30
无向完全图
有向完全图
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 邻接和依附
● 邻接：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR，则称顶点 vi 和 vj 互为邻 接点；如果弧<vi, vj>∈VR，则称顶点 vi 邻接到 vj，vj 邻接自 vi。
● 依附：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR 或弧 <vi, vj>∈VR，则称 边 (vi, vj) 或弧 <vi, vj> 依附于顶点 vi 和 vj。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 生成树和生成森林
● 生成树：一个具有 n 个顶点连通图 G 的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但是只有足以构成一棵树的 n-1 条边。
● 生成森林：在非连通图 G 中，由每个连通分量都可以得到一棵生成 树，这些连通分量的生成树构成了非连通图 G 的生成森林 。
7.1.1 图的定义
● 相关概念 强连通图和强连通分量
● 强连通图：在有向图 G 中，对任意顶点 vi 和 vj（ij），如果从顶点 vi 到 vj 均存在路径，则称图 G 是强连通图。
● 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。任何强连通图都只有一 个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。
7.1.1 图的定义
● 相关概念 连通图和连通分量
● 连通图：在无向图 G 中，如果任意顶点 vi 和 vj（ij）之间都有路径， 则称 图 G 是连通图。
● 连通分量：非连通图的极大连通子图。任何连通图都只有一个连通分 量，即是其自身；非连通图有多个连通分量。
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7.1 图的逻辑结构
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义 ● 图的定义
图 G 由两个集合 V 和 VR 组成，记为：G=(V, VR)。其中：V 是顶点的 有穷非空集合，VR 是 V 中顶点偶对的有穷集，顶点偶对称为边或弧。
在图中，如果不存在顶点到其自身的边，且同一条 边不重复出现，则称这样的图为简单图。
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无向图
有向图
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 无向完全图和有向完全图
● 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为 无向完全图。含有 n 个顶点的无向完全图有 n(n-1)/2 条边。
● 有向完全图：在有向图中，若任意两顶点间都存在方向互为相反的两 条弧，则称为有向完全图。含有 n 个顶点的有向完全图有 n(n-1) 条边。
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无向网
有向网
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图Βιβλιοθήκη 定义● 相关概念 路径、路径长度和回路
● 路径：在图 G 中，从顶点 vi 到顶点 vj 的顶点序列。 ● 路径长度：路径上的边的数目。 ● 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 ● 回路：在路径顶点序列中，第一和最后一个顶点相同的路径。 ● 简单回路：除第一和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。
2020/9/30
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 子图
● 子图：对于图 G=(V, VR) 和 G'=(V', VR')，如果 V'V 且 VR'VR， 则称 G' 为 G 的子图。
无向图 G1 及其一个子图
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有向图 G2 及其一个子图
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7.1 图的逻辑结构
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 顶点的度、入度和出度
● 顶点的入度：对于有向图，以顶点 v 为头的边数，记为 ID(v)。 ● 顶点的出度：对于有向图，以顶点 v 为尾的边数，记为 OD(v)。 ● 顶点的度：对于有向图，顶点 v 的度 D(v)=ID(v)+OD(v)；对于无向图， 顶点 v 的度是和 v 相关联的边数，记为 D(v)。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 顶点位置和邻接点位置
● 顶点的位置：将图中顶点按任意顺序排列起来，即用顶点的存储顺序 表示该顶点在图中的位置。
● 邻接点的位置：对一个顶点的所有邻接点按任意顺序排列，在这个 排队中自然形成了第一个或第 k 个邻接点。如果某个顶点的邻接点个数大于 k，则称第 k+1 个邻接点为第 k 个邻接点的下一个邻接点，而最后一个邻接 点的下一个邻接点为 “空”。
第
章
图
2020/9/30
图是一种复杂非线性结构，是 计算机应用中对实际问题进行数学 抽象和描述的强有力工具。图论是 专门研究图性质一个数学分支，注 重研究图的纯数学性质；而数据结 构中对图讨论侧重在计算机中如何 表示图及实现图的操作和应用等。
1
7.1 图的逻辑结构
在线性结构中，元素之间仅 有线性关系；在树形结构中，元 素之间有着明显的层次关系；而 在图形结构中，结点之间的关系 可以是任意的，任意两个元素之 间都可能相关。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 无向图和有向图
● 无向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边无方向，则称这条边为无向边， 用无序偶对 (vi, vj) 表示，称该图为无向图。
● 有向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边有方向，则称这条边为有向边， 用有序偶对 <vi, vj> 表示，称该图为有向图。
无论有向图还是无向图，顶点数 n、边 数 e 和度数之间满足：
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 权和网
● 权：权通常是指对图中边赋予的有意义的数值量。在实际应用中，权 可以有具体的含义。
● 网：如果将图中的每条边上都赋上一个权值，则称这种图为网，或称 为有权图 。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 稀疏图和稠密图
● 稀疏图：边数很少的图称为稀疏图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e＜nlogn。
● 稠密图：边数很多的图称为稠密图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e≥nlogn。
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无向完全图
有向完全图
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 邻接和依附
● 邻接：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR，则称顶点 vi 和 vj 互为邻 接点；如果弧<vi, vj>∈VR，则称顶点 vi 邻接到 vj，vj 邻接自 vi。
● 依附：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR 或弧 <vi, vj>∈VR，则称 边 (vi, vj) 或弧 <vi, vj> 依附于顶点 vi 和 vj。
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7.1.1 图的定义
● 相关概念 生成树和生成森林
● 生成树：一个具有 n 个顶点连通图 G 的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但是只有足以构成一棵树的 n-1 条边。
● 生成森林：在非连通图 G 中，由每个连通分量都可以得到一棵生成 树，这些连通分量的生成树构成了非连通图 G 的生成森林 。
7.1.1 图的定义
● 相关概念 强连通图和强连通分量
● 强连通图：在有向图 G 中，对任意顶点 vi 和 vj（ij），如果从顶点 vi 到 vj 均存在路径，则称图 G 是强连通图。
● 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。任何强连通图都只有一 个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。
7.1.1 图的定义
● 相关概念 连通图和连通分量
● 连通图：在无向图 G 中，如果任意顶点 vi 和 vj（ij）之间都有路径， 则称 图 G 是连通图。
● 连通分量：非连通图的极大连通子图。任何连通图都只有一个连通分 量，即是其自身；非连通图有多个连通分量。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义 ● 图的定义
图 G 由两个集合 V 和 VR 组成，记为：G=(V, VR)。其中：V 是顶点的 有穷非空集合，VR 是 V 中顶点偶对的有穷集，顶点偶对称为边或弧。
在图中，如果不存在顶点到其自身的边，且同一条 边不重复出现，则称这样的图为简单图。
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无向图
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 无向完全图和有向完全图
● 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为 无向完全图。含有 n 个顶点的无向完全图有 n(n-1)/2 条边。
● 有向完全图：在有向图中，若任意两顶点间都存在方向互为相反的两 条弧，则称为有向完全图。含有 n 个顶点的有向完全图有 n(n-1) 条边。
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无向网
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图Βιβλιοθήκη 定义● 相关概念 路径、路径长度和回路
● 路径：在图 G 中，从顶点 vi 到顶点 vj 的顶点序列。 ● 路径长度：路径上的边的数目。 ● 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 ● 回路：在路径顶点序列中，第一和最后一个顶点相同的路径。 ● 简单回路：除第一和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 子图
● 子图：对于图 G=(V, VR) 和 G'=(V', VR')，如果 V'V 且 VR'VR， 则称 G' 为 G 的子图。
无向图 G1 及其一个子图
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有向图 G2 及其一个子图
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7.1 图的逻辑结构
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 顶点的度、入度和出度
● 顶点的入度：对于有向图，以顶点 v 为头的边数，记为 ID(v)。 ● 顶点的出度：对于有向图，以顶点 v 为尾的边数，记为 OD(v)。 ● 顶点的度：对于有向图，顶点 v 的度 D(v)=ID(v)+OD(v)；对于无向图， 顶点 v 的度是和 v 相关联的边数，记为 D(v)。
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 顶点位置和邻接点位置
● 顶点的位置：将图中顶点按任意顺序排列起来，即用顶点的存储顺序 表示该顶点在图中的位置。
● 邻接点的位置：对一个顶点的所有邻接点按任意顺序排列，在这个 排队中自然形成了第一个或第 k 个邻接点。如果某个顶点的邻接点个数大于 k，则称第 k+1 个邻接点为第 k 个邻接点的下一个邻接点，而最后一个邻接 点的下一个邻接点为 “空”。
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章
图
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图是一种复杂非线性结构，是 计算机应用中对实际问题进行数学 抽象和描述的强有力工具。图论是 专门研究图性质一个数学分支，注 重研究图的纯数学性质；而数据结 构中对图讨论侧重在计算机中如何 表示图及实现图的操作和应用等。
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7.1 图的逻辑结构
在线性结构中，元素之间仅 有线性关系；在树形结构中，元 素之间有着明显的层次关系；而 在图形结构中，结点之间的关系 可以是任意的，任意两个元素之 间都可能相关。