考虑啮合时变刚度和传递误差的齿轮振动分析

,
X02 =
Km me
,
8=
We Wo
,
Kjm=
Kj Km
,
F 0=
mfebmX0,
ejb =
ej 。 b
2 运动方程的稳态解
为了得到系统的稳态响应, 引进小参数 E, 令使得
F= ED, Kjm= Ekj ( j = 1, 2, 3 ,N ) , ejm= EFj , 则运动方程
( 6) 变为
##
D。
( c) 当
8
接近2j
2 -
1( j =
1,
2 ,) 时, 令( 2j -
1)
8-
1= 1+ ER, 消除永年项得可解性条件
( 2)
其中, x = ( R 1Hc1- R 2 Hc2) 为齿轮副的动态传递误
差, 惯量的当量质量
me=
I 1I 2
( I1 R22+
I
2
R
2 1
)
,
由于不考虑
原动机和负载的波动, 则静态外载荷 f m=
T R
1=
1
T 2。 R2
令动态传递 误差 和静态 传递 误差 之差 q = x -
e( t ) , 则运动方程( 2) 可表示为
i<j )
@
A
exp( iT 0) -
1 2
]
j
6
=
1kj
exp
(
ij
8T
0+
i<j )
@
A exp ( - iT 0) + CC
( 12)
式中, CC 表示前面各项的共轭。由方程( 12) 可以求得
u1。将 u0 和 u1 代入式( 8) 可得系统的稳态解。其中,
A 由方程( 12) 的可解性条件得到
关键词 齿轮系统 时变啮合刚度 静态传递误差 多尺度方法
前言
对于直齿圆柱齿轮传动, 由于齿轮在啮合过程中 参与啮合的轮齿齿对数的周期变换, 使得齿轮轮齿的 啮合综合刚度也随时间周期地变化, 反映在系统的动 力学分析模型中是弹性力的周期性时变参数。另外, 由于齿轮在加工和安装过程中误差在所难免, 使得不 承受载荷的齿轮也会产生传递误差, 造成系统的误差 激励, 它是一个与啮合频率相当的高频激励。
将其实部和虚部分离可得到
D 1 A= g1sin( C) + g 2cos( C) + g 3sin( 2 C) +
g4cos( 2C) - DA
( 17a)
D 1 C= l 1sin( C) + l 2cos( C) + l 3sin( 2 C) +
l 4cos( 2 C) + R
( 17b)
其中 C= RT 1 - B, g1 = Fj cos ( Hj ) ( 1 + ER) 2 -
表达式( 17) 变换为直角坐标形式, 经计算可得到系统
稳态解的幅频和相频方程
a2=
( d2 g1-
g2d4) 2+ ( d1g 1( d1d4- d3d 2) 2
d 3g2) 2
( 19)
C=
- arctan
d1 g1d2 g1-
d3g2 g2d4
( 20)
其中, d1= - l 3- D, d2= l 4- R, d3 = l 4 + R, d 4= l 3-
R2 k( t ) [ R1 H1- R2 H2- e( t ) ] = - T 2
( 1b)
将式( 1) 中的扭转振动位移转化为沿齿轮啮合线
6
机械传动
2002 年
的直线形式, 可将其简化为一个单自由度系统
mexd+ ce [ xc- ec( t ) ] + k( t ) [ x - e( t ) ] = f m
值计算, 并将不同情况下的结果进行了比较, 最终证明 该方法是可靠的, 可以应用于工程中齿轮系统的动态 分析。
1 动力学模型的建立
对于直齿圆柱齿轮传动, 当轴承支撑和传动轴的 刚度较轮 齿啮合刚 度大许 多时 ( 即可以 认为是 刚性 的) , 单级齿轮幅传动动力学模型可以简化为图 1 所示 的形式。其中 PQ 为齿轮理论啮合线, Ri 、I i 、Hi 、Ti ( i = 1, 2) 分别为啮合齿轮的基圆半径、转动惯量、扭转振 动位移和所承受的转矩, k ( t ) , ce, e( t ) 则分别表示啮 合齿轮副的时变啮合刚度激励、阻尼和静态传递误差 激励。
不是太大的情况下, 啮合刚度具有明显的周期性, 将其 以啮合频率进行傅立叶级数展开
]
ke( t) =
Km+
j
6[
=1
An
cos(
nXet )
+
Bnsin( nXet ) ] =
]
Km+
j
6K
=1
j
co
s(
Xet +
<j )
( 4)
其中, Km 为平均刚度, Xe 为齿轮副的啮合圆周频
率,
Xe =
2
Pz 1n 60
j 8= 1+ ER, 2j 8- 1= 1+ 2ER
( 14)
其中, E为正的小参数。将式( 14) 中两表达式代入式
( 12) 中, 消除永年项, 得到方程( 12) 的可解性条件 Fj exp( iT 1 R+ iHj ) ( 1+ ER) 2- 4iA D- 4iD 1A -
第 26 卷 第 1 期
考虑啮合时变刚度和传递误差的齿轮振动分析
7
F0 kj exp( iT 1 R+ i<j ) - A k2j exp( 2iT 1 R+ i <2j ) = 0 ( 15) 为了求 A , 设
A( T1) =
A( T 1)
exp
iB( T 1) 2
( 16)
代入式( 15) 中, 并将指数形式化为三角形式, 最后
对于齿轮轮齿的误差激励, 早在 1958 年, Harris[ 7] 就认为它是引起齿轮振动的三种主要内部激励之一。 但直到现在, 大部分学者仍然把其处理成单一谐波的 周期激励。
本文的主要目的就是, 应用多尺度方法, 对考虑时 变啮合刚度和轮齿误差激励的齿轮系统的稳态响应进 行分析, 研究系统在共振频率下的副频特性, 为研究系 统在各种共振情况下不同参数对系统动态特性的影响 提供一种理论分析方法。为了验证所采用方法的合理 性, 本文还应用 GEAR 方法对系统运动方程进行了数
F0 k1cos( <j ) , g2= Fj sin( Hj ) ( 1+ ER) 2- F 0k 1sin( <j ) , g3
= - k 2j Acos( <2j ) , g4= - k2j Asin( <2j ) , l 1= - gA2, l 2= gA1, l 3= - gA4 , l4= gA3。因此可得
式中, D 0 和 D 1 分别表示新引进时间尺度 T n( n= 0, 1)
的偏导数。设式( 9) 的解为
u0( T 0, T 1) = F0+ A ( T 1) exp( iT 0) + A ( T 1) exp( - iT 0)
( 11)
其中, i 2= - 1, A 为 A 的共轭复数, 把式( 11) 代入
对考虑时变刚度的齿轮系统, 很多齿轮方面的学 者在确定系统的响应及稳定域方面做了大量的工作。 方宗德[ 1] 、唐增宝[ 2] 、Kumar[ 3] 利用状态空间方法对齿 轮系统的动态特性进行了研究。Benton[ 4] 不但给出了 利用相平面和数字仿真相结合的方法分析了单自由度 齿轮系统的 稳定性问 题和稳态 响应的方 法, 而 且将 Ritz 平均法应用于求解齿轮传动系统的稳态响应[ 5] 。 但大部分学者将齿轮的综合啮合刚度假设为矩形波或 者正弦波的形式。张锁怀[ 6] 对齿轮系统时变啮合刚度 进行了 Fourier 展开, 取到三次谐波, 应用谐波平衡方 法对齿轮系统的动力特性进行了分析, 但是却没有考 虑误差激励的影响。
单位长度 10- 6m) , S= X0 t , 可得
源自文库##
#
]
u+
2 Fu +
[ 1+
j
6
=
K
1
jm
cos(
j
8
S+
<j ) ] u=
]
F0+
8
2 j
6
=
j
1
2
ejb
cos(
j
8S+
Hj )
( 6)
##
#
式( 6) 中, u 和 u 表 示对 S 的一 阶 和 二阶 导 数, F=
ce 2me X0
(a) 当 8 远离 1/ j 和 2/ ( 2j - 1) 时, 消除永年项,
有
D 1A + DA = 0
( 13)
则 A = A 0 exp( - Dt ) , A 0 为初始值。u0 最终趋于 F0, 由式( 12) 知此时系统稳定, 容易求得系统稳态解。
( b) 当 8 接近 1/ j ( j = 1, 2 ,) 时, 引入解谐参数 R, 设
1
=
2
Pz 2 n 60
2
。
ni
、zi
(
i
=
1, 2) 分别指相互
啮合齿轮的转速和轮齿数。
齿轮啮合的静态传递误差是指实际啮合位置与理 论啮合位置在啮合作用线上的差值, 主要是由齿轮加 工和安装误差引起的。这里假设轮齿的所有啮合位置
发生在在理论啮合线上。将传递误差也以齿轮啮合频
率进行傅立叶级数展开
]
e( t) =
-
A 2l
]
6
X2j
kl
cos[ ( l 1- (
1) l-
8S+ <l + 1) 2 82
C]
( 18b)
代入式( 8) 中得到 8 接近 1/ j ( j = 1, 2 ,) 时运动
方程( 7) 的近似稳态解。A和 C由式( 16) 确定。
当 D 1 A= 0 和 D 1 C= 0 时, 系统存在稳态运动。将
( 8)
其中, T n= EnS( n = 0, 1) , 代入运动方程( 7) 中, 并
令方程两端 E0, E1 的系数相等, 得到
D
2 0
u
0+
u 0=
F0
( 9)
]
D
2 1
u
1
+
u1=
8
2[
6j
j= 1
2Fj
cos( j 8T 0+
Hj ) ] - 2D 0D 1 u0-
]
2DD0 u0- [ 6 kj cos( j 8T 0+ <i ) ] u0 ( 10) j= 1
#
]
u + 2EDu+ [ 1+
E6 j=
K
1
j
cos(
j
8S+
<j ) ] u=
]
F0+
8
2
E6 j j= 1
2Fj
cos(
j
8S+
Hj )
( 7)
根据多尺度方法[ 8] , 假设方程( 7) 的解可近似为以
下的展开形式
u ( S, E) µ u0( T 0, T 1) + Eu1( T 0, T 1) + ,
第 26 卷 第 1 期
考虑啮合时变刚度和传递误差的齿轮振动分析
5
文章编号: 1004- 2539( 2002) 01- 0005- 04
考虑啮合时变刚度和传递误差的齿轮振动分析
( 同济大学机械学院, 上海 200092) 王玉新 ( 天津大学机械设计系, 天津 300072) 柳 杨 王仪明
摘要 用多尺度方法研究了考虑轮齿时变刚度和静态传递误差激励的齿轮系统的动态特性, 给出 了系统在不同激励频率下系统稳态响应的求解方法, 以及系统稳态解的解析表达式。最后, 用数值方法 对解析法分析的结果进行了验证。经研究发现, 由于齿轮时变啮合刚度和静态传递误差的共同作用, 导 致系统产生多频响应; 并且发现轮齿误差对系统响应幅值有较大的影响。
式( 10) 中, 并将其转化为指数形式, 有
D
2 1
u
1+
u1=
1 2
j
]
6
=
[
1
82j 2Fj
exp
( ij 8T 0+
iHj ) -
F0 kj exp ( ij 8T 0+ i<j ) ] - 2iD1A exp ( iT 0) -
2iDA exp( iT 0) -
1 2
]
j
6
=
1kj
exp( ij 8T 0+
em +
6[
j= 1
eAj cos( j Xet ) +
eBj sin( j Xet ) ] =
]
em + 6 ej cos( Xet + Hi )
( 5)
j= 1
1. 3 运动方程的无量刚化
分别将啮合刚度和齿形误差式( 4) 和式( 5) 代入运
动方程式( 3) 中, 并令 q = bu ( b 为特征尺寸, 这里取为
meqd+ ceqc+ k ( t ) q = f m- mee( t )d
( 3)
1. 2 齿轮啮合的综合刚度和静态传递误差
由于齿轮动力系统齿轮在啮合过程中的单齿啮合
和双齿啮合的交替变化, 齿轮的啮合刚度在单齿和双 齿啮合交替时会发生突变, 且在不同的啮合位置, 每一 对啮合轮齿的啮合刚度也不相同。在齿形和基节误差
图 1 单级齿轮副物理模型
1. 1 运动方程
由图 1 得到系统的运动方程为
I 1H1d+ ceR 1[ R1 H1c- R 2H2c- ec( t ) ] +
R1 k( t ) [ R1 H1- R2 H2- e( t ) ] = T 1
( 1a)
I 2H2d- ceR 2[ R1 H1c- R 2H2c- ec( t ) ] -
u0= F0+ Acos( S+ B) = F0+ Acos( j 8S- C) ( 18a)
u1=
82
]
6
l 2Fl cos(
l 8S+
l= 1
Hl ) - F0 kl cos( l 8S+ 1- l 2 82
<l ) -
lXj
2Al6=] 1
kl
cos[ ( 1-
l + 1) 8S+ <l- C] ( l + 1) 2 8 2