初中七年级数学知识点专题讲解与练习8---还原与对消(培优版)

解题思路：建立关于 a 的方程，解方程．
[例 2] 已知 a 是任意有理数，在下面各说法中
(1)方程 ax＝0 的解是 x＝1
(3)方程
ax＝1
的解是
x＝
1 a
结论正确的个数是( )．
(2)方程 ax＝a 的解是 x＝1 (4)方程|a|x＝a 的解是 x＝±1
A．0 B．1 C．2 D．3
(江苏省竞赛试题)
解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意 a 的任意性．
[例 3]
a
为何值时，方程
x 3
＋a＝
x 2
－
1 6
(x－12)有无数多个解？无解？
解题思路：化简原方程，运用方程 ax＝b 各种解的情况所应满足的条件建立 a 的
关系式．
[例 4]
如果
a，b
为定值时，关于
x
的方程
2kx + 3
a
＝2＋
x
相等，则一块巧克力的质量是______克．
巧克力 果冻
50g 砝码
第 6 题图
(河北省中考试题)
7．有四个关于 x 的方程
5/6
①x－2＝－1 ③x＝0 其中同解的两个方程是(
②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)
④x－2＋
x
1 −
1
＝－1＋
x
1 −
1
)．
A．①与② B．①与③ C．①与④ D．②与④ 8．已知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax＝2a3－3a2－5a＋4 有整数解，
1 4
(x－
3 7
)]＝
3 16
(x－
3 7
)的解是______．
(广西赛区选拔赛试题)
3．若有理数 x，y 满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则 x2＋y3＝______．
(“希望杯”邀请赛试题)
3/6
4．若关于 x 的方程 a(2x＋b)＝12x＋5 有无数个解，则 a＝______，b＝______．
是：
(1)当
a≠0
时，原方程有唯一解
x＝
b a
；
(2)当 a＝0 且 b＝0 时，原方程有无数个解；
(3)当 a＝0，b≠0 时，原方程无解；
例题与求解
[例 1]
已知关于
x
的方程
3[x－2(x－
a 3
)]＝4x
和
3x + 12
a
1− 5x －8
＝1
有相同的解，
那么这个解是______．
1/6
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
初中七年级数学知识点专题讲解与练习
专题 08 还原与对消
——方程的解与解方程
阅读与思考 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、 得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又 要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．
方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面
第 题图 14 14 14 14 15 15 15 11
用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．
(1)小颖说四个数的和是 436，你能求出这四个数吗？
(2)小明说四个数的和是 326，你能求出这四个数吗？
6/6
日一二三四五六
12345
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
图①
123 8 9 10 15 16 17 22 23 24 29 30 31
…… 36 37 38
1996 1997
4567 11 12 13 14 18 19 20 21 25 26 27 28 32 33 34 35
(黑龙江省竞赛试题)
9．关于 x 的方程 a(x－a)＋b(x＋b)＝0 有无穷多个解，则( )．
A．a＋b＝0
B．a－b＝0
C．ab＝0
D．
a b
＝0
10．已知关于 x 的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0 无解，则 ab 是( )．
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
(“希望杯”邀请赛试题)
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(2)现将连续自然数 1 至 2004 按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框
出 16 个数(如图②)．
①图中框出的这 16 个数的和是______；
②在右图中，要使一个正方形框出的 16 个数之和等于 2000，2004，是否可能？若
不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的 16 个数中的最小数和最大数．
a
+ b
b
的值．
(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)
10．甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的 k(k
是不等于 1 的正整数)倍还多 6 人，问乙队原有多少人？
(上海市竞赛试题)
11．下图的数阵是由 77 个偶数排成：
2468111 1122222
3……3……3 ……3 ……3 ……4 …4
表示出 16 个数之和，若算出的 a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．
能力训练
A级
1．若关于 x 的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0 是一元一次方程，则 k＝______；若关于 x
的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0 是一元一次方程，则方程的解 x＝______．
2．方程
x－
3 4
[x－
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知关于 x 的方程 9x－3＝kx＝14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k＝
______．
(“五羊杯”竞赛试题)
6．下列判断中正确的是( )．
A．方程 2x－3＝1 与方程 x(2x－3)＝x 同解
B．方程 2x－3＝1 与方程 x(2x－3)＝x 没有相同的解
C．方程 x(2x－3)＝x 的解都是方程 2x－3＝1 的解
则 a 的值共有( )．
A．1 个 B．3 个 C．6 个 D．9 个
(“希望杯”邀请赛试题)
9．(1)当
a
取符合
na＋3≠0
的任意数时，式子
ma na
−2 +3
的值都是一个定值，其中
m
－n＝6，求 m，n 的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
(2)已知无论
x
取什么值，式子
ax bx
+ +
3 5
必为同一定值，求
……39 40 41 42
1999 2000 2001 2002
图② 2003 2004
(湖北省黄冈市中考试题)
解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差 7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里
的每两个关于中心对称的数之和都等于 44．如 31 与 13，11 与 33，17 与 27 都成中心
对称的．于是易算出这 16 个数之和．②设框出的 16 个数中最小的一个数为 a，用 a
为______．
2．已知关于
x
的方程
a
− 2
xwk.baidu.com
＝
bx − 3
3
的解是
x＝2，其中
a≠0
且
b≠0，则代数式
b a
－
a b
的值是______．
3．若 k 为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x 的解也是整数的 k 值有______
个．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．如果
1 2
＋
1 6
＋
1 12
＋…＋
1 n(n +
1)
＝
2003 2004
，那么
n＝______．
(江苏省竞赛试题)
5．用※表示一种运算，它的含义是
A※B＝
A
1 +
B
＋
(A
x + 1)( B
+ 1)
，如果
2※1＝
5 3
，
那么 3※4＝______．
(“希望杯”竞赛试题)
6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也
去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．
当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系 数的一元一次方程总可以化为 ax＝b 的形式，其方程的解由 a，b 的取值范围确定．字 母 a，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数 的一次方程解法一样；当字母 a，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法
− bk 6
，无论
k
为何值时，
它的根总是 1，求 a，b 的值．
(2013 年全国初中数学竞赛预赛试题)
解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解． [例 5] 已知 p，q 都是质数，并且以 x 为未知数的一元一次方程 px＋5q＝97 的解 是 1，求代数式 p2－q 的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：用代解法可得到 p，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析． [例 6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为 a，则用含 a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．
11．若关于 x 的方程 kx－12＝3x＋3k 有整数解，且 k 为整数，求符合条件的 k 值．
(北京市“迎春杯”训练题)
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12．已知关于
x
的方程
x 3
＋a＝
|
a 2
|
x－
1 6
(x－6)，当
a
取何值时，(1)方程无解？(2)
方程有无穷多解？
(重庆市竞赛试题)
B级
1．已知方程 2(x＋1)＝3(x－1)的解为 a＋2，则方程 2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a 的解
D．方程 2x－3＝1 的解都是方程 x(2x－3)＝x 的解
7．方程
x 1×
2
＋
2
x ×
3
＋…＋
1995
x ×1996
＝1995
的解是(
)．
A．1995 B．1996 C．1997 D．1998
8．若关于
x
的方程
2x − b x −1
＝0
的解是非负数，则
b
的取值范围是(
)．
A．b＞0 B．b≥0 C．b≠2 D．b≥0 且 b≠2