向量值函数的导数与积分演示文稿

向量值函数的导数的物理意义: r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置, 对应的几何曲线为质点的运动轨迹, r r(t t) r(t) 是质点在时间段 [t, t + t] 上的位移, r 是质点在这段时间内的平均速度，
t
r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即 v(t) r(t), 速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向, v(t) r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
(2) r(t) {a sin t,b cos t, c}, r(t) (a cost, bsin t,0).
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
如果一个向量值函数 r(t) 在区间 I 上满足 r(t) 连续， 且在区间 I 内 r(t) 0, 我们就称 r(t) 在区间 I 上是 光滑的． 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的． 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线．
质点的速率为 r(t) 1 4t2 4sin2 2t , 质点的加速度为 r(t) (0, 2, 4cos 2t).
可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 dr r(t)dt.
对于可导的二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j, dr df (t) i dg(t) j f (t)dt i g(t)dt j.
例2 判断曲线 r(t) {1 t3,t2}是否为光滑曲线？ 解 因为 r(t) (3t2, 2t), r(0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
在曲线上出现了尖点的特征．
y
尖点
o
1
x
例3 一个质点的位置向量为 r(t) (t,t2, cos 2t), 求 质点的速度、加速度与速率． 解 质点的速度为 r(t) (1, 2t, 2sin 2t),
(4) d [ f (t)u(t)] f (t)u(t) f (t)u(t); dt
(5) d [u(t) v(t)] u(t) v(t) u(t) v(t); dt
(6) d [u(t) v(t)] u(t) v(t) u(t) v(t); dt
( 7 ) 链式法则：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t) 为可导的数值函数，则
2．向量值函数的求导法则
定理9.2.1 设u(t), v(t)为可导的向量值函数， f (t)为可导 数值函数，C 为常向量 (即 C的各分量都为常数), k 为
常数，则有
(1) d C 0; dt
(2) d [u(t) v(t)] u(t) v(t); dt
(3) d [ku(t)] ku(t); dt
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k 的二阶导数为
lim r lim r(t t) r(t)
t t 0
t 0
t
存在，则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导，并称极限值为
向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，记为 r(t) 或者 dr . dt
明显地，r(t) 也是一个向量值函数．如果向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.
这个向量可以看作是割线向量．当 t 0 时, 割线向量 趋于曲线在点 P 处的切线向量．如果 r(t) 存在，且 r(t) 0, 则称 r(t) 为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P 点且以 r(t) 为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切 线．这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为T (t) r(t).
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：
(1) r(t) {a cost,bsin t};
(2) r(t) {a cost,bsin t, ct}.
．
解 (1) r(t) {a sin t,b cos t}, r(t) (a cost, bsin t).
du du ds u(s) f (t) u( f (t)) f (t). dt ds dt
例4 设 r(t) 是可导的向量值函数，且 r(t) 0, 如果 | r(t) | C, (C为常数)，证明：r(t) 与 r(t) 垂直． 证 因为 r(t) r(t) | r(t) |2 C2, 则由求导法则 (5) 知
与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为 r(t)的导数, 即:
r(t) (r(t)) 向量值函数的导数的几何解释
（a）二维向量值函数的情形 （b）三维向量值函数的情形
如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+ t), 那么
PQ r(t t) r(t)
向量值函数的导数与积分演示 文稿
优选向量值函数的导数与积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
9.2.1 向量值函数的导数与微分
1．向量值函数导数与微分的概念
源自文库
定义9.2.1 设向量值函数 r r(t) 在 t 的某邻域内有定 义，如果极限
对于可导的三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t) k,
dr d f (t)i d g(t) j dh(t) k f (t)dt i g(t)dt j h(t)dtk.
对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与 曲线的切向量 T(t) r(t) 平行的向量，当 dt >0 时, dr与 与切向量 r(t) 同向；当dt <0 时, dr与切向量 r(t) 反向.