专题1第一章预备知识知识点与基础巩固题(解析版)年高二数学复习巩固练习(北师大版2019)

专题1北师大版（2019）第一章预备知识/1知识点与基础巩

固题——寒假作业1（解析版）

集合

1

2、集合的表示方法有：（1；

（2；

3

4 5、集合分类：

（1 （2

（3 6、常用数集及其记法： （1）自然数集

{}0,1,2,3,：记作N ； （2）正整数集{}1,2,3,：记作N N *+或；

（3）整数集

{

}3,2,1,0,1,2,3,

---：记作Z ；

（4）有理数（包括整数和分数）集：记作Q ； （5）实数（包括有理数和无理数）集：记作R ；

7?）

）=）；

8、子集的概念：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B

9、真子集的概念：若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集

合B （真子集是除本身以外的子集）

10、子集、真子集的性质：

（1）传递性：若

B A ?，

C B ?

（2

（3（在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身） 11、集合相等：

（1）若集合A 中的元素与集合B A 等于集合B,

（2。

12、n )(N n ∈个元素的集合其子集个数共有2n 个；真子集有21n

-个（比子集少了它本身）

； 非空子集有2

1n

-个；非空的真子集有22n -个；

13、集合的运算：

（1）交集（公共元素） ：A ∩B ＝{x|x ∈且x ∈B}； （2）并集（所有元素） ：A ∪B ＝{x|x ∈或x ∈B}； （3）补集（剩余元素） ：A C U ＝{x|x A ? 且x ∈U}，U 为全集。

14、集合运算中常用的结论: ①A B A B A

??= ； ②

A B A B B ??=；

③

A A A =；A A A =； ④;A A A ?=??=。

注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.

常用逻辑用语

一．知识点回顾：

1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 简单命题：不含逻辑联结词的命题;

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： ⑴ 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3、复合命题

p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ?）. ⑵复合命题的真假判断

“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：全假为假； “p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：全真为真； “非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 4、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p ：,()x p x ?∈M ，它的否定p ?：00,().x p x ?∈M ?全称命题的否定是特称命题．

②特称命题p ：00,(),x p x ?∈M ，它的否定p ?：,().x p x ?∈M ?特称命题的否定是全称命题.

5、充分条件、必要条件与充要条件

⑴、一般地，如果已知p q ?，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； 若p q ?，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．

⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看：

①若p q ?，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p q ?，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件; ③若p q ，但q p ?，则p 是q 必要而不充分条件; ④若p q ?且q p ?，则p 是q 的充要条件；

⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知{

A x x =满足条件}p ，{

B x x =满足条件}q ：

A B ?,则p 是q 充分条件； ②若B A ?,则p 是q 必要条件；

③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件; ④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件; ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；

⑥若A B ?且B A ?，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

不等式的基本知识

不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,

bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘)

(5) 倒数法则：b

a a

b b a 110,

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n

n

且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?

>>n N n b a b a n n

且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式 基本不等式2

a b

ab +≤

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形： 有:a+

b ≥ab 2；ab ≤2

2??

?

??+b a ,当且仅当a=b 时取等号.

3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

2

S .

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<

+（糖水的浓度问题）。

二次函数的知识归纳：

2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.

图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->

时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

21AB x x =- 推导过程：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

?-=+2121,()

()

a a ac

b a c

a b x x x x x x x x AB ?=

-=-??

? ??-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2

-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点； 当?<0时，图像与x 轴没有交点。

一、单选题

1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,4,6,8B =，则A B =（ ）

A ．{}1,3,5

B ．{}2,4,6

C ．{}2,3,4,5,6

D ．{}1,2,3,4,5,6,8

【答案】B 【分析】

由集合间的基本运算即可求解. 【详解】 解：

{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,4,6,8B =，

{}2,4,6A B =.

故选：B.

2．已知命题p ：x ?∈R ，33x x >，则它的否定形式为（ ） A ．x ?∈R ，33x x ≤ B ．x ?∈R ，33x x > C ．x ??R ，33x x ≤ D ．x ?∈R ，33x x ≤

【答案】D 【分析】

利用特称命题的否定形式，直接判断选项. 【详解】

因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论， 所以命题p ：x ?∈R ，33x x >， 则它的否定形式为：x ?∈R ，33x x ≤. 故选：D.

3．b 克糖水中含a 克糖()0b a >>，若再加入m 克糖()0m >，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（ ） A ．

a m a

b m b

+<+ B ．

a m a

b m b

+>+ C ．

a a m

b b m

-<- D ．

a a

b b m

<

+ 【答案】B 【分析】

根据题意得出加糖前后糖水中糖的浓度的表达式，结合题意可得出不等关系，进而可得出结果. 【详解】

b 克糖水中含a 克糖，糖水中糖的浓度为a b

，

再加入m 克糖()0m >后，糖水中糖的浓度为

m a

m b

++， 加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有a m a

b m b

+>+. 故选：B. 【点睛】

本题考查不等关系的求解，属于基础题.

4．在R 上的定义运算*:*2a b ab a b =++，则满足*(2)0x x -<的解集为（ ） A ．(0,2) B ．(2,1)-

C ．(,2)

(1,)-∞-+∞ D ．(1,2)-

【答案】B 【分析】

根据运算的定义可得关于x 的不等式，从而可求不等式的解集. 【详解】

*(2)0x x -<即为()2220x x x x -++-<，整理得到220x x +-<，

故21x -<<， 故选：B ．

5．(

){

}

2

4

14M x R k

x k

=∈+≤+，对任意的k ∈R ，总有（ ）

A ．2,0M M ??

B ．2,0M M ∈∈

C ．2,0M M ∈?

D ．2,0M M ?∈

【答案】B 【分析】

依次将0x =和2x =代入讨论求解即可得答案. 【详解】

解：将0x =代入得440k +≥显然成立，故0M ∈

将2x =代入不等式得42422k k +≥+，即()

2

2110k +≥﹣ ，显然成立，∴2M ∈； 所以2,0M M ∈∈ 故选：B .

6．下列命题中是全称命题并且是假命题的是（ ） A ．π是无理数

B ．若2x 为偶数，则任意x ∈N

C ．对任意x ∈R ，2210x x ++>

D ．所有菱形的四条边都相等

【答案】C 【分析】

先根据全称命题的定义判断排除选项A 、B ，再判断命题真假即可得正确选项. 【详解】

含有全称量词的命题是全称命题，故选项A 、B 不是全称命题，排除选项A 、B ； 对于选项C ：对任意x ∈R ，2210x x ++>是全称命题，当1x =-时，2210x x ++=，所以是假命题，故选项C 合乎要求；

对于选项D ：所有菱形的四条边都相等是全称命题并且是真命题，故选项D 不合乎要求； 故选：C.

7．“x ＝3”是“x 2－2x －3＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】

解出2230x x --=即可判断. 【详解】

由2230x x --=可解得1x =-或3， 故“x ＝3”是“x 2－2x －3＝0”的充分不必要条件.

故选：A.

8．若对任意的(0,)x ∈+∞都有1

x a x

+

≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(]2-∞，

B ．()2-∞，

C ．(2,)+∞

D ．[2,)+∞

【答案】A 【分析】

利用基本不等式，可求得1

x x

+的最小值，即可求得答案. 【详解】

因为(0,)x ∈+∞，则11

2x x x x

+≥?=， 当且仅当1

x x

=，即x =1时等号成立， 所以2a ≤， 故选：A

9．函数2()32f x x x =-+在区间（1，2）内的函数值为（ ） A ．大于等于0 B ．等于0

C ．大于0

D ．小于0

【答案】D 【分析】

将()f x 因式分解，根据x 的范围，可得()f x 的正负，即可得答案. 【详解】

由已知得f （x ）＝x 2﹣3x +2＝（x ﹣1）（x ﹣2）， 因为1＜x ＜2，所以x ﹣1＞0，x ﹣2＜0，

所以f （x ）＜0，即f （x ）＝x 2﹣3x +2在区间（1，2）内的函数值小于0； 故选：D ．

10．函数21(R)y x x x =++∈的单调递减区间是（ ） A ．1,2??

-

+∞????

B ．[)1,-+∞

C ． 1,2??-∞-

??

? D ．(,)-∞+∞

【答案】C 【分析】

根据二次函数的开口和对称轴可得结果. 【详解】

∵2

213124y x x x ??=++=++ ??

?，

∴其对称轴为直线1

2x =-，图象开口向上，∴函数的单调递减区间是 1,2??-∞- ??

?，

故选：C.

11．设,a b ∈R ，那么“0a b >>”是“

1a

b

>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不

必要条件 【答案】A 【分析】

利用充分条件和必要条件的定义，结合特殊值法以及不等式的基本性质判断可得出结论. 【详解】

充分性：若0a b >>，则1a

b

>，充分性成立； 必要性：若

1a

b

>，可取2a =-，1b =-，则0a b <<，必要性不成立. 因此，“0a b >>”是“1a

b

>”的充分不必要条件.

故选：A.

12．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．

12

C ．

13

D ．

14

【答案】D 【分析】

根据基本不等式x y +≥化简得到1

4

≤xy ，当且仅当x y =时取最大值. 【详解】

因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，

所以有2

111()2

4

x y xy =+≥≤=， 当且仅当1

2

x y ==时取等号. 故选：D. 【点睛】

本题考查基本不等式的应用，尤其要注意的是等式成立的条件,属于基础题型.

二、填空题

13．用描述法表示正偶数集______. 【答案】{|2,}x x n n N *

=∈ 【分析】

用描述法表示出正偶数集即可. 【详解】

因为偶数可以表示为2()n n

N ，

所以正偶数集为{|2,}x x n n N *

=∈， 故答案为：{|2,}x x n n N *

=∈.

14．已知:1p x ≤，

:q x a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________.

【答案】(),1-∞ 【分析】

根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【详解】 ∵:1p x ≤，:q x

a ，p 是q 的必要不充分条件，

∴(],a -∞是(],1-∞的真子集，因此1a <，即a 的取值范围为(),1-∞. 故答案为：(),1-∞. 【点睛】 结论点睛：

根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；

（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，

q 对的集合与p 对应集合互不包含．

15．命题“0x R ?∈，满足不等式2

0040x mx ++<”是假命题，则m 的取值范围为

__________. 【答案】[]4,4- 【分析】

根据命题“0x R ?∈，满足不等式2

0040x mx ++<”是假命题，转化为x R ?∈，不等式

240x mx ++≥，恒成立，利用判别式法求解.

【详解】

因为命题“0x R ?∈，满足不等式2

0040x mx ++<”是假命题，

所以x R ?∈，不等式240x mx ++≥，恒成立， 则2160m ?=-≤， 解得44m -≤≤， 所以m 的取值范围为[]4,4-， 故答案为：[]4,4-

16．当0x >时，函数2

()1

x

f x x =+的最大值为________. 【答案】12

【分析】

分子分母同除以x ，再利用基本不等式求解即可． 【详解】

0x

，

∴

21

1

()1

1212x f x x x x x

=

=

=

++?

，当且仅当1x =时取等号，

即函数2

()1

x f x x =+的最大值为1

2， 故答案为：1

2

．

三、解答题

17．解下列不等式：

（1）2

12302x x -+-≤；

（2）

53

31

x x +-≤.

【答案】（1）35,???

+-∞+∞ ?? ???

??

；（2）[3,1)-. 【分析】

（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；

（2）根据分式不等式的解法，53

31x x +-≤等价于(26)(1)010x x x +-≤??-≠?

，再求解即可. 【详解】

（1）由2

1

2302

x x -+-

≤可得： 20461x x ≤-+，

解得：x 或x ≥，

故解集为：35,???

+-∞+∞ ?? ??

???

（2）由

5331

x x +-≤化简为：

53

1x x +--3≤0， 即26

1x x +-≤0，等价于(26)(1)010x x x +-≤??-≠?

， 解得31x -≤<，故解集为[3,1)-.

18．已知全集U =R .集合{}28A x x =≤≤，{}17B x x =<<，{}

C x x a =>. （1）求A

B ；

（2）如果A C ?=?，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}

18A B x x ?=<≤；（2）[)8,+∞. 【分析】

（1）由并集定义直接得到结果；

（2）根据交集结果知两集合无相同元素，由此得到结果. 【详解】

（1）由并集定义知：{}

18A B x x ?=<≤； （2）

A C =?，8a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)8,+∞.

19．已知全集U =R ，集合{

}0

213A x R

x =∈-≤∣，集合{12}B x R

x =∈-<≤∣． （1）求A

B 及()R A B ；

（2）若集合{2,0}C x R

a x a a =∈≤<>∣，C B ?，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{11}A B x

x ?=-<≤∣，(

){1}R

A B x x ?=>-∣；（2）01a <≤.

【分析】

（1）解出集合A 中的不等式，化简集合A 即可. （2）由条件C B ?建立不等式即可. 【详解】

（1）由02131-≤=x 得1x ≤，所以{1}A x

x ∣=≤，R

{1}A x x =>∣

由{12}B x

x =-<≤∣ 所以{11}A B x

x ?=-<≤∣ 所以

(

){1}R

A B x x ?=>-∣

（2）因为C B ?，且0a > 所以2a ≤2，1a ≤

所以a 的取值范围为：01a <≤ 【点睛】

本题为基础题，考查集合的运算. 20．已知23(6)6y x a a x =-+-+.

（1）当1x =时，求关于a 的不等式大于0的解集；

（2）若不等式2

3(6)6x a a x b -+-+>的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值.

【答案】（1

）(3-+；（2

）33

a b ?=?

?=-??【分析】

（1）当1x =时，得2630a a -++>，解此不等式即可；

（2）由题意可知1,3-是方程2

3(6)60x a a x b --+-=的两根，再利用根与系数的关

系可得(6)133

6133a a b -?

-+=???-?-?=??

，从而可求出a ，b 的值.

【详解】

（1）当1x =时，263y a a =-++.

∴不等式为2630a a -++>

，解得33a -<<+ ∴

所求不等式的解集为(3-+.

（2）∵2

3(6)6x a a x b -+-+>，

∴23(6)60x a a x b --+-<，

∴1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根，

∴(6)1336133a a b -?

-+=???-?-?=

??

，解得33a b ?=±??

=-??21．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}． （1）求a 的取值范围；

（2）若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）a ≥0；（2）{a |0≤a ≤2}． 【分析】

（1）因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即可得出结果.

（2）根据充分、必要条件的知识得到P Q ，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】

解 （1）因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0． （2）若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，

即122150a a a +≥-??

+≤??>?

且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得， 解得0≤a ≤2，

即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}． 【点睛】

本小题主要考查集合的概念，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围.

22．已知x 、y 都是正数，求证：

（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值 （2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值2

14

S . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】

（1）利用基本不等式可证明出结论成立； （2）利用基本不等式可证明出结论成立. 【详解】

因为x 、y 都是正数，所以

2x y

+≥

（1）当积xy 等于定值P 时，2

x y

+≥=x y +≥，

当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，和x y +有最小值；

（2）当和x y +等于定值S 22x y S +≤=，所以21

4

xy S ≤， 当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，积xy 有最大值2

14

S .

【点睛】

本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.