新人教版高二数学必修5知识点归纳

高二数学期中考知识点归纳资料
第一章 解三角形
1、三角形的性质：
①.A+B+C=π,⇒sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-
222A B C π+=-⇒sin cos 22
A B C
+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,
A ＞
B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B
③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞
2π,B+C ＞2π,A+C ＞2
π
; 2
2
a b +＞2
c ，2
2
b c +＞2
a ，2
a ＋2
c ＞2
b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = （边化角）
sin 2a A R =
、 sin 2b B R =、 sin 2c C R
= （角化边） 面积公式：111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===
②.余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-、2
2
2
2cos b a c ac B =+-、2
2
2
2cos c a b ab C =+-
222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222
cos 2a b c C ab
+-=（角化边）
3、常见的解题方法：（边化角或者角化边）
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值 ②. n a 的求法： i.归纳法
ii. 11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ 若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段
iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m + iv. 若()n n S f a =，先求1a ，再构造方程组：11()
()
n n n n S f a S f a ++=⎧⎨
=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式
例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：1
121
21n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-
2.等差数列：
① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项: 1(1)n a a n d =+-,0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；
d ＞0时，n a 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 项和：1()2n n n a a S +=
1(1)
2
n n na d -=+， 0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：i. m n p q a a a a +=+ （m+n=p+q ）
ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2
a b
A +=。

3.等比数列： ① 定义：
1
n n
a q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项: 1
1n n a a q -= (q=1时为常数列)。

③.前n 项和, ()111,11,111n n n na q S a q a a q q q
q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩,需特别注意,公比为字母时要讨论.
④.性质：
i. ()q p n m a a a a q p n m +=+•=•。

ii.{}
仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k
q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±= 4.数列求和的常用方法:
①.公式法:如1
3,32+=+=n n n a n a
②.分组求和法:如52231
-++=+n a n n n ，可分别求出{}3n ，{}
12n +和{}25n -的和，然后把
三部分加起来即可。

③.错位相减法:如()n
n n a ⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+=2123，
()2
3
1
11111579(31)3222222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
12n S =2
3
4
111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＋()()1
11313222n
n n n +⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相减得：()2
3
1
111111522232222222n
n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，以下略。

④.裂项相消法:如()n n n
n a n n n n a n n -+=++=
+-=+=
111;1
1
111，
()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
等。

⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等差数列， 求：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，（答案：3
2
n S n =
）
第三章 不等式
1.不等式的性质:
① 不等式的传递性:c a c b b a >⇒>>,
② 不等式的可加性:,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:
d b c a d c b a +>+⇒⎭
⎬⎫
>> ③ 不等式的可乘性:
000;0;0>>⇒⎭
⎬⎫
>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a
④ 不等式的可乘方性:00;00>>⇒>>>>⇒>>n n
n
n b a b a b a b a
2.一元二次不等式及其解法:
①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++2
2
2
,0,0注重三者之间的密切联系。

如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2
ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==；
函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。

对于函数()c bx ax x f ++=2
，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。

②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：若方程2
280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有
(0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞0
3.不等式的应用： ①基本不等式：
()()2
22220,0,
,2,22
a b a b ab a b ab a b a b +>>≥+≥+≥+ 当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值； 当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。

②简单的线性规划:
()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域. ()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是： ①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

③.画可行域，找最优点，得最优解。

需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，
当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。